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1、一、条件概率一、条件概率二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式三、小结三、小结1.4 1.4 条件概率条件概率 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式1. 定义定义1.8 ABAB一、条件概率一、条件概率2. 性质性质例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解解: 解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义3. 3. 乘法定理乘法定理例例2 一盒子装有一盒子装有4 只产品只产品,其中有其中有3 只一等品只
2、一等品,1只只二等品二等品.从中取产品两次从中取产品两次,每次任取一只每次任取一只,作不放回作不放回抽样抽样.设事件设事件A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品” ,事事件件B 为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”,试求条件概试求条件概 P(B|A).解解由条件概率的公式得由条件概率的公式得例例3 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 A 表示表示“
3、能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件的事件; B 表表示示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有解解例例4 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字, 三个阄内不写字三个阄内不写字 , 五人依次抓取五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?解解则有则有抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关? 依此类推依此类推故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.1. 样本空间的划分样本空间的划分二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式2. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式图示图示证明证明化整为零化整为零各个击破各个
4、击破说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.例例1 1 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生已知其中由一厂生产的占产的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少问从这批产品中任取一件
5、是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解解由全概率公式得由全概率公式得30%20%50%2%1%1%称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料证明证明证毕证毕例例2 2解解(1) 由由全概率公式得全概率公式得(2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得上题上题中中概率概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率解解例例3 3由由贝叶斯
6、公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为即即平均平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.1.条件概率条件概率全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式三、小结三、小结乘法定理乘法定理例例1 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随无放回随机地抽取两次机地抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次抽取中至求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率多抽到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次, 每次抽取一球每次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情况第一次是白球的情况下下, 第二次与第三次均是白
7、球的概率第二次与第三次均是白球的概率? (b) 第一第一次与第二次均是白球的情况下次与第二次均是白球的情况下 , 第三次是白球第三次是白球的概率的概率?备份题备份题解解则有则有例例2 掷两颗骰子掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为求其中有一颗为1点的概率点的概率.解解设设事件事件A 为为“ 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 ”, 事件事件 B为为 “ 一颗点数为一颗点数为1 ”.故所求概率为故所求概率为掷骰子试验掷骰子试验 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 的种数为的种数为 3,其中有一颗为其中有一颗为 1 点的种数为点的种数为 1,例例3 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品, 其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”, 分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知由题设知解解故故解解例例4 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为
