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1、23离散型随机离散型随机变量的均量的均值与方差与方差23.1离散型随机离散型随机变量的均量的均值学学习目目标1.通通过实例理解离散型随机例理解离散型随机变量均量均值的概念，的概念，能能计算算简单离散型随机离散型随机变量的均量的均值2理解离散型随机理解离散型随机变量均量均值的性的性质3掌握两点分布、二掌握两点分布、二项分布的均分布的均值4会利用离散型随机会利用离散型随机变量的均量的均值，反映离散，反映离散型随机型随机变量取量取值水平，解决一些相关的水平，解决一些相关的实际问题 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练23.1课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基
2、2两点分布的分布列是两点分布的分布列是X01P1pp1一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的分布列是的分布列是知新益能知新益能Xx1x2xixnPp1p2pipn则称则称_为随机变量为随机变量X的均值或数学期望的均值或数学期望2离散型随机变量的均值反映了离散型随离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平机变量取值的平均水平3若若X、Y是离散型随机变量，且是离散型随机变量，且YaXb，其中，其中a，b为常数，则有为常数，则有E(Y)_.4若随机变量若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则_.5若若XB(n，p)，则，则E(X)_.E(X)x1p1x2p2xipixn
3、pnaE(X)bE(X)pnp1若随机变量若随机变量X等可能地取等可能地取1,2,3，n，其均值为多少？其均值为多少？问题探究问题探究2离散型随机变量的均值与分布列有什么离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？区别？提示：提示：离散型随机变量的分布列和均值虽然离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者有所不同分布列只给了随机变量取所有者有所不同分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平值的平均水平课堂互动讲练课堂互动讲练考点突破考点突破考点一考点一求离散型
4、随机变量的均值求离散型随机变量的均值求数学期望求数学期望(均均值)的关的关键是求出其分布列，是求出其分布列，然后套用数学期望然后套用数学期望(均均值)公式求解公式求解在在10件件产品中，有品中，有3件一等品、件一等品、4件二等件二等品、品、3件三等品从件三等品从这10件件产品中任取品中任取3件，件，求取出的求取出的3件件产品中一等品件数品中一等品件数X的分布列和的分布列和数学期望数学期望例例1所以随机变量所以随机变量X的分布列是的分布列是【题后小结题后小结】随机变量的均值是一个常数，随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量及相应的概
5、率即可计算及相应的概率即可计算互动探究互动探究1在本例中，求取出的在本例中，求取出的3件产品中件产品中二等品件数二等品件数的均值的均值若若X是随机变量，且是随机变量，且YaXb，其中，其中a，b为为常数，则常数，则Y也是随机变量且也是随机变量且E(Y)aE(X)b.已知随机变量已知随机变量X的分布列为：的分布列为：考点二考点二离散型随机变量均值性质应用离散型随机变量均值性质应用例例2(1)求求E(X)；(2)若若Y2X3，求，求E(Y)【思路点拨思路点拨】根据分布列、期望定义和性根据分布列、期望定义和性质求解质求解【思维总结思维总结】(1)该类题目属于已知离散型该类题目属于已知离散型分布列求期
6、望，求解方法直接套用公式，分布列求期望，求解方法直接套用公式，E(X)x1p1x2p2xnpn求解求解(2)对于对于aXb型的随机变量，可利用均值的型的随机变量，可利用均值的性质求解，即性质求解，即E(aXb)aE(X)b；也可以；也可以先列出先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，的分布列，再用均值公式求解，比较两种方法显然前者较简便比较两种方法显然前者较简便互动探究互动探究2在本例中，若在本例中，若Z|X|，求，求E(Z)解：解：当当X2时，时，|Z|2，当当X1时，时，|Z|1，当当X0时，时，|Z|0，Z的分布列为的分布列为若若B(n，p)，则，则E()np.某运动员投篮命中率为某运动
7、员投篮命中率为p0.6.(1)求一次投篮时命中次数求一次投篮时命中次数的均值；的均值；(2)求重复求重复5次投篮时，命中次数次投篮时，命中次数的均值的均值考点三考点三二项分布的均值二项分布的均值例例3【思路点拨思路点拨】第一问中第一问中只有只有0,1两个结果，两个结果，服从两点分布；第二问中服从两点分布；第二问中服从二项分布服从二项分布【解解】(1)投篮一次，命中次数投篮一次，命中次数的分布列的分布列为，则为，则E()p0.6.01P0.40.6(2)由题意，重复由题意，重复5次投篮，命中的次数次投篮，命中的次数服从服从二项分布，二项分布，即即B(5,0.6)则则E()np50.63.【误区警
8、示误区警示】对于两点分布，找清成功率对于两点分布，找清成功率p，本题分布列不可写为，对于二项分布关，本题分布列不可写为，对于二项分布关键找对试验次数键找对试验次数01P0.60.4(1)求求的分布列；的分布列；(2)求求和和的数学期望的数学期望的分布列为的分布列为在实际生活中，常利用随机变量均值的大小在实际生活中，常利用随机变量均值的大小决定某些方案的优劣，解决一些决策问题决定某些方案的优劣，解决一些决策问题两名战士在一次射击比赛中，战士甲两名战士在一次射击比赛中，战士甲得得1分、分、2分、分、3分的概率分别为分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得；战士乙得1分、分、2分、分、3分的概
9、率分别为分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的，那么两名战士获胜希望较大的是谁？是谁？考点四考点四均值在实际生活中的应用均值在实际生活中的应用例例4【思路点拨思路点拨】希望的大小，只能通过均值希望的大小，只能通过均值来比较故先写出战士甲、乙在这次比赛中来比较故先写出战士甲、乙在这次比赛中得分的概率分布，通过计算看谁得分的均值得分的概率分布，通过计算看谁得分的均值大，从而解决问题大，从而解决问题【解解】设这次射击比赛战士甲得设这次射击比赛战士甲得X1分，战分，战士乙得士乙得X2分，则分布列分别如下：分，则分布列分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.1
10、0.6 0.3根据均值公式，根据均值公式，得得E(X1)10.420.130.52.1；E(X2)10.120.630.32.2.E(X2)E(X1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大所以乙获胜希望大【思维总结思维总结】均值是表示随机变量的平均均值是表示随机变量的平均水平，一般情况取均值较大者为优水平，一般情况取均值较大者为优变式训练变式训练4某商场要根据天气预报来决定某商场要根据天气预报来决定促销活动节目是在商场内还是在商场外开展促销活动节目是在商场内还是在商场外开展统计资料表明，每年国庆节商场内的促销统计资料表明，每年国庆节商场内的促
11、销活动可获得经济效益活动可获得经济效益2万元；商场外的促销万元；商场外的促销活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益10万元，如果促销活动中遇到有雨天气则带来万元，如果促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失经济损失4万元，万元，9月月30日气象台预报国庆节日气象台预报国庆节当地有雨的概率是当地有雨的概率是40%，商场应该采取哪种，商场应该采取哪种促销方式？促销方式？解：解：设该商场国庆节在商场外的促销活动获设该商场国庆节在商场外的促销活动获得的经济效益为得的经济效益为万元，则：万元，则：P(10)0.6，P(4)0.4，E()100.6(4)0.44.4(万元万元
12、)即国庆节在当地有雨的概率是即国庆节在当地有雨的概率是40%的情况下，的情况下，在商场外促销活动的经济效益的期望为在商场外促销活动的经济效益的期望为4.4万万元，超过在商场内促销活动可获得的经济效元，超过在商场内促销活动可获得的经济效益益2万元所以，商场应该选择商场外的促万元所以，商场应该选择商场外的促销活动销活动方法技巧方法技巧1求离散型随机变量均值的步骤求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量确定离散型随机变量X的取值；的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式求出均值如例根据公式求出均值如例12若若X、Y是两个随机变量，
13、且是两个随机变量，且YaXb，则则E(Y)aE(X)b，即随机变量，即随机变量X的线性函的线性函数的数学期望等于这个随机变量的期望数的数学期望等于这个随机变量的期望E(X)的同一线性函数如例的同一线性函数如例2方法感悟方法感悟失误防范失误防范1计算随机变量的均值，关键是把分布列计算随机变量的均值，关键是把分布列写正确写正确2对于离散型随机变量的均值，要理解随对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值机变量的均值E()是一个数值，是随机变量是一个数值，是随机变量本身所固有的一个数字特征，它不具有随机本身所固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平正性，反映的是随机变量取值的平均水平正如概率作为随机变量发生的频率一样，要在如概率作为随机变量发生的频率一样，要在大量现象中才能显现出来大量现象中才能显现出来知能优化训练知能优化训练
