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1、排列组合的综合应用 引入：引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题、应用问题。础上，学习和讨论排列、组合的综合问题、应用问题。 问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？什么问题？ 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用根据加法原理，可用分类法分类法；当问题考虑先后；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用次
2、序时，根据乘法原理，可用位置法位置法；上述两；上述两种称种称“直接法直接法”当问题的反面简单明了时，可通当问题的反面简单明了时，可通过求差过求差排除法排除法；采用；采用“间接法间接法”；另外，排列中；另外，排列中“相邻相邻”问题可采用问题可采用捆绑法捆绑法；“分离分离”问题可用问题可用插插空法空法等。等。解排列组合问题，一定要做到解排列组合问题，一定要做到“不重不重”、“不漏不漏”。例例1.(2005年高考浙江年高考浙江)从集合从集合O,P,Q,R,S与与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任中各任取两个元素排成一排取两个元素排成一排(字母和数字均不能重复字母和数字均不能重复),每排每排
3、中字母中字母O,Q和数字和数字0至多只出现一个的不同排法有多至多只出现一个的不同排法有多少种少种?例例2.用用1,2,3,4,5,6,7组成无重复数不同字的七位数中组成无重复数不同字的七位数中,若若2,4,6次序一定次序一定,有多少种不同的七位数有多少种不同的七位数?一一. .排列组合综合问题排列组合综合问题 例例3：有：有12 人。按照下列要求分配，求不同的人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。分法种数。分为两组，一组分为两组，一组7人，一组人，一组 5人；人；分为甲、乙两组，甲组分为甲、乙两组，甲组 7人，乙组人，乙组5人；人； 分析：把12 人分成两组，一组7人，一组5人与把12人分成
4、甲、乙两组，甲组7人，乙组5人，实质上是一样的，都必须分成两步： 第一步从12 人中选出7人组成一组（或甲组）有C127种方法； 第二步，剩余的5人组成一组（或乙组）有C55种方法。所以总的分配种数为C127.C55种。所以、 分配种数都为C127.C55 例例1：有：有12 人。按照下列要求分配，求不同的人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。分法种数。分为甲、乙两组，一组分为甲、乙两组，一组 7人，一组人，一组5人；人； 思考：思考：把把12 人分为甲、乙两组，一组人分为甲、乙两组，一组7人，人， 一组一组5人人,与与 比较比较,有何相同和不同地方有何相同和不同地方? 相同地方都是分成甲乙
5、两组相同地方都是分成甲乙两组,一组一组7 人人,一组一组5 人人,有有C127.C55种；所不同的是一组种；所不同的是一组7人，一组人，一组5人，人，并没有指明甲乙谁是并没有指明甲乙谁是7人，谁是人，谁是5人，要考虑甲乙人，要考虑甲乙的顺序，所以要再乘以的顺序，所以要再乘以A22 ，所以，所以总的种数为总的种数为C127.C55.A22。 点评：上述问题是非平均分配问题，点评：上述问题是非平均分配问题， 没有指没有指出组名出组名给出了组名，而且指明了谁是几个人。给出了组名，而且指明了谁是几个人。这在非平均分配中是一样的。而这在非平均分配中是一样的。而 虽然给出了虽然给出了组名，却没有指明谁是几
6、个人，所以这时必须考组名，却没有指明谁是几个人，所以这时必须考虑顺序问题。虑顺序问题。 必须注意到：题目中具体指明甲乙与没有具必须注意到：题目中具体指明甲乙与没有具体指明是有区别的，若在解题过程中不加以区体指明是有区别的，若在解题过程中不加以区别，就会出现别，就会出现“ 重复重复”与与“遗漏遗漏”问题，这是解问题，这是解决排列组合时要特别注意的。决排列组合时要特别注意的。分为甲、乙两组，每组分为甲、乙两组，每组6人；人； 例例1：有：有12 人。按照下列要求分配，求不同的人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。分法种数。分为两组，每组分为两组，每组 6人；人； 分析：把12个人分为甲、乙两组，
7、每组6人，可分成两步，第一步，从12人中抽出6人给甲组，有C126种，余下的6人给乙组有C66种，所以共有C126.C66种. 把12个人分为两组，每组6人，与把12个人分为甲、乙两组，每组6人，相比较，显然分成甲、乙两组，这里有顺序关系，如123456分在甲组与123456分在乙组是不一样的，但作为分成两组却是一样的，所以把 12个人分为两组，每组 6人的种数为C126.C66 / A22种。 点评：上述点评：上述 属于平均分配问题，属于平均分配问题，必须注意，在平均分配问题中如果没有必须注意，在平均分配问题中如果没有给出组名，一定要除以组数的阶乘！给出组名，一定要除以组数的阶乘！分为三组，
8、一组5人，一组4人，一组3人；分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人， 丙组3人；分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；分为甲、乙、丙三组，每组4人；分为三组，每组4人。 练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。C122.C105.C55 A22 C124.C84.C44 A33 点评点评:例例1与练习与练习1说明了非平均分配、平均分配说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。以及部分平均分配问题。 非平均分配
9、问题中，没有给出组名与给出组名非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，但若给出了组名而没指明谁是几个，是一样的，但若给出了组名而没指明谁是几个，这时又有顺序问题，所以必须乘以组数的全排列数。这时又有顺序问题，所以必须乘以组数的全排列数。 平均分配问题中，若没给出组名，一定要除以平均分配问题中，若没给出组名，一定要除以组数的全排列数。组数的全排列数。 部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是平均分配。这样分配问题就解决了。剩下的就是平均分配。这样分配问题就解决了。例例4.(1)以正方体的顶点为顶点以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体可以确定多少个四面体? (2)以正方体的顶点为顶点以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥可以确定多少个四棱锥?
