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1、 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节机动 目录 上页 下页 返回 完毕 数列的极限数列的极限.“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入.正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积.极限方法是微积分的基本方法极限方法是微积分的基本方法典型问题典型问题2: 面积问题面积问题(2500年前的古希腊年前的古希腊, 阿基米德阿基米德).例
2、例1 求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.(3) 取取Sn的极限，得曲边梯形面积：的极限，得曲边梯形面积： (2)以n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值：x yOy=x21xi(1) 用直线用直线把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个窄条，个窄条，第第i个窄条的面积用高为个窄条的面积用高为的小矩形面积的小矩形面积近似之近似之.二、数列的定义二、数列的定义例如例如.注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数.播放播放三、数列的
3、极限三、数列的极限.问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某是否无限接近于某一确定的数值一确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题: “无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学语如何用数学语言刻划它言刻划它.通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:“无限接近的等价含义无限接近的等价含义: 想要想要xn与与1有多接有多接近近, 就能有多接近就能有多接近.想要想要|xn1|10, 想要想要|xn1|104, 想要想要|xn1|10k, 想要想要|xn1| N2 时, 有使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假
4、设不真 !满足的不等式1、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .四、数列极限的性质四、数列极限的性质.2、有界性、有界性例如例如,有界有界无界无界.定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .说明说明由数列收敛的几何意义知落在由数列收敛的几何意义知落在(a-1, a+1)之外之外的只有有限项的只有有限项, 设此有限项为设此有限项为令令注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .证证: 设设取那么当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过
5、来不一定成立此性质反过来不一定成立 . 例如,虽有界但不收敛 .有数列定理定理2(2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性) ) 那么它那么它 一定有界。一定有界。 .例例4证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于长度为不可能同时位于长度为1的区间内的区间内.3 3、 收敛数列的保号性收敛数列的保号性. .假设且时, 有证证: 对 a 0 , 取推论推论: 若数列从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理3.4、子数列的收敛性、子数列的收敛性注意：注意：例如，例如，.*定理定理4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证
6、证: 设数列设数列是数列的任一子数列 .假设那么当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !则原数列一定发散 .说明说明: 此例也说明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列 .五、小结五、小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律; ;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义; ;收敛数列的性质收敛数列的性质: :唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性. .思考与练习思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 知, 求时,下述作法是否正确? 说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .作业作业P31 1， 3, 4, 6第三节 目录 上页 下页 返回 完毕 .故极限存在，备用题备用题 1.1.设设 , 且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 完毕 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 设设证证: 显然证明下述数列有极限 .即单调增, 又存在“拆项相消拆项相消” 法法.
