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1、空间解析几何简介空间解析几何简介v向量及其线性运算向量及其线性运算v数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积v空间平面及其方程空间平面及其方程v空间直线及其方程空间直线及其方程v二次曲线及其方程二次曲线及其方程v二次曲面及其方程二次曲面及其方程数量关系数量关系 第一部分第一部分 向量向量第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运
2、算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 表示法:向量的模 : 向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同
3、, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .2. 向量的减法向量的减法三角不等式3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,规定 :可见 与 a 的乘积是一个新向量, 记作总之:运算律 :结合律分配律因此三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐
4、标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;坐标轴 : 坐标面 :2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.设点 M的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对
5、应坐标成比例:五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作方向余弦的性质:*三、三、向量的混合积向量的混合积 第二节一、一、两向量的内积两向量的内积二、二、两向量的向量积两向量的向量积数量积 向量积 *混合积一、两向量的内积一、两向量的内积沿与
6、力夹角为的直线移动,1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作内积 (点积，数量积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为记作故2. 性质性质为两个非零向量, 则有 3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律事实上, 当时, 显然成立 ;4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式 , 得例例2. 已知三点 AMB . 解解:则求故为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积的
7、夹角为且为单位向量二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称引例中的力矩思考思考: 右图三角形面积S2. 性质性质为非零向量, 则3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律证明证明:4. 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法例例4. 已知三点角形 ABC 的面积 解解: 如图所示,求三一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 .
8、 解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 ,向径*三、向量的混合积向量的混合积1. 定义定义 已知三向量称数量混合积混合积 .记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设3. 性质性质(1) 三个非零向量共面的充要条件是(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)例例6. 已知一四面体的顶点4 ) , 求该四面体体积 . 解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故例例7. 证明四点共面 .解解: 因故 A
9、 , B , C , D 四点共面 .内容小结内容小结设1. 向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2. 向量关系:第三节一、平面的方程平面的方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角平面及其方程 定义：定义：设 是 中一个平面，定义如上，则 中与二维子空间 正交的非零向量称为平面 的法向量；平面 的所有法向量添上零向量组成 的一个一维子空间， 中以平面 的法向量为方向向量的直线称为平面 的法线。设设在在 中给定一个平面中给定一个平面 ，采用线性代数的术语来描述，采用线性代数的术语来描述平面平面 ， 是是 中的一个集合，则集合中的一个集合，则集合是是 中的一个二
10、维线性子空间。反之，给了中的一个二维线性子空间。反之，给了 中一个二中一个二维子空间维子空间 ，存在，存在 中的平面中的平面 使得使得 实际上，任实际上，任取点取点 记记 则则 可充当平面可充当平面 的，可见这种平面有无限多。的，可见这种平面有无限多。一、平面的方程一、平面的方程设一平面通过已知点，法向量是称式为平面 的坐标形式方程（坐标形式方程（点法式）。故称为平面 的向量形式方程。还可以采用两个参数来表述平面。设 是 的一个二维子空间。设 是两个不共线的向量。设 是一个固定点，设 是 上的任意点，则并得到平面 的参数方程。例例1.1.求过三点即解解: 取该平面 的法向量为的平面 的方程.
11、利用点法式得平面 的方程此平面的三点式方程三点式方程也可写成 一般情况一般情况 : 过三点的平面方程为说明说明:特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. 时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价, 的平面, 因此方程的图形是法向量为 方程方程.特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时,
12、B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常
13、为锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：特别有下列结论：因此有例例4. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为 且外一点,求例例5. 设解解: :设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为(点到平面的距离公式)例例6.解解: 设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而内容小结内容小结1.平面平面基本方程:一般式点法式截距式三点式2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行
14、:夹角公式:第四节一、空间直线方程一、空间直线方程 二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系 空间直线及其方程1. 参数方程参数方程设直线上的动点为 则已知直线上一点和它的方向向量 或者这两个方程称为直线的参数方程。一、空间直线方程一、空间直线方程2. 对称式方程对称式方程故有说明说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如, 当和它的方向向量 因此其一般式方程3 3. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.再求直
15、线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路解题思路: 先找直线上一点;再找直线的方向向量.二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为特别有特别有:例例2. . 求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为从而的方向向量为的方向向量为当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平
16、面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直特别有特别有: :解解: : 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结内容小结 直线2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:平面 :L L / 夹角公式：3. 面与线间的关系面与线间的关系直线 L :第五节二次曲线定义：设在 中取定了正交坐标系 ，则有形如的方程所确定的点的轨迹统称二次曲线，其中二次项系数 不全为零。消去交叉项消去交叉项若 ，要利用旋转坐标变换使得在新坐标系下方程不含交叉项
17、。其中 待定。则方程在新坐标系 下变为其中那么当有无无交叉项方程简化及曲线分类交叉项方程简化及曲线分类标准方程：（1）设 ，用配完全平方法，记分类（分类（1），不妨设），不妨设椭圆椭圆一点一点无轨迹无轨迹双曲线双曲线过原点的两直线过原点的两直线（2）设 ，不妨设不妨设 ,则则（2a）设 ，有（2b）设 ，有分类（分类（2），），抛物线抛物线两条平行直线两条平行直线无轨迹无轨迹一条直线一条直线第六节二次曲面定义：设在 中取定了正交坐标系 ，则有形如的方程所确定的点的轨迹统称二次曲面，其中二次项系数 不全为零。（同二次曲线的处理方法，可用旋转变换消去交叉项）1 1. 椭球面椭球面(1)范围：(2)
18、与坐标面的交线：椭圆标准方程有如下标准方程有如下1616种：种：与的交线为椭圆：(4)同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)2 2. 3 3. 4. 单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线: 虚轴平行于x 轴）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线: 双曲线: 5 双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面6. 二次锥面（二次锥面（椭圆锥面）椭圆锥面）椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.7. 椭圆抛物面8. 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 a =b 时为绕 z 轴的旋转抛物面.9 9、 椭圆柱面椭圆柱面1010、 直线直线 11 11、 无轨迹无轨迹1212、 一对相交平面一对相交平面1313、 双曲柱面双曲柱面1414、 抛物面抛物面1515、 一对平行平面一对平行平面1616、 平面平面斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面平面解析几何和空间解析几何的一些比较
