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1、第四章第四章线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构1其通解的结构如何其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解如何写出其向量形式的通解?齐次线性方程组齐次线性方程组解的结构解的结构本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构主要内容主要内容:非齐次线性方程组非齐次线性方程组解的结构解的结构如果当齐次线性方程组如果当齐次线性方程组有无穷多解时有无穷多
2、解时,问题问题:1.2.如果当非齐次线性方程组如果当非齐次线性方程组有无穷多解时有无穷多解时,其通解的结构如何其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解如何写出其向量形式的通解?24.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理对于对于非齐次非齐次非齐次非齐次方程组方程组非齐次方程组解的判别定理非齐次方程组解的判别定理非齐次方程组解的判别定理非齐次方程组解的判别定理 齐次方程组解的判别定理齐次方程组解的判别定理齐次方程组解的判别定理齐次方程组解的判别定理对于对于齐次齐次齐次齐次方程组方程组3第四章第四章线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何
3、中的应用4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构4记记 Ax = 0 的解集为的解集为:(1) 1.解向量解向量:的一个解向量的一个解向量.2.解向量的性质解向量的性质:(2) 不妨设不妨设是是 N(A) 的最大无关组的最大无关组(称为基础解系称为基础解系)则则:由由(1),(2)可知可知( 取任意实数取任意实数)4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构5通过下面的例子通过下面的例子, 来解决以上问题来解决以上问题例例1问题问题:对于给定的方程组如何求其基础解
4、系对于给定的方程组如何求其基础解系?解解:6是解吗是解吗?线性无关吗线性无关吗?任一解都任一解都 可由可由 表示吗表示吗?基础解系所含向量的个数基础解系所含向量的个数 = ?是基础解系吗是基础解系吗?令自由变量为任意实数令自由变量为任意实数 说明说明: :1.1.基础解系不惟一基础解系不惟一2.2.但所含向量的但所含向量的个数唯一且等于个数唯一且等于n-R(A)n-R(A)7齐次方程组解的结构定理齐次方程组解的结构定理齐次方程组齐次方程组 的基础解系所含向量个数为的基础解系所含向量个数为设一个基础解系为设一个基础解系为:则通解为则通解为:例例设阶矩阵的秩为，设阶矩阵的秩为， 的每行元素之和的每
5、行元素之和为零，写出的通解为零，写出的通解解：解：的基础解系所含向量个数为的基础解系所含向量个数为则通解为：则通解为：8例例2设设 , 是是 的的两个不同的解向量两个不同的解向量, k 取任意实数取任意实数, 则则 Ax = 0 的通解是的通解是例例3设设 ,证明证明重要结论重要结论重要结论重要结论证证记记则由则由说明说明都是都是的解的解因此因此移项移项9例例4.已知已知的列向量组是齐次线性的列向量组是齐次线性方程组方程组的基础解系的基础解系, B是是m阶可逆矩阵阶可逆矩阵,试试证证:AB的列向量组也是齐次线性方程组的列向量组也是齐次线性方程组的基础解系的基础解系.证明证明:则则AB的列向量组
6、是齐次线性方程组的列向量组是齐次线性方程组的解向量的解向量由条件可知由条件可知A的列向量组线性无关且含的列向量组线性无关且含m个向量个向量所以所以AB的列向量组线性无关的列向量组线性无关, 即是方程组即是方程组的基础解系的基础解系.10第四章第四章线性方程组解的结构线性方程组解的结构4.4 线性方程组在几何中的应用线性方程组在几何中的应用4.2 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构4.1 线性方程组解的存在性定理线性方程组解的存在性定理4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构11(1 1) 设设 都是都是(1)的解的解,则则是是(2)的解的解.(2 2) 设设 是是(1
7、)的解的解, 是是(2)的解的解,则则 仍是仍是(1)的解的解.设设 是是(1)的一个解的一个解(固定固定), 则对则对(1)的任一解的任一解 x是是 (2)的解的解,从而存在从而存在 使得使得由此得由此得:1.解向量解向量:2.性质性质:4.3 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构12非齐次方程组解的结构定理非齐次方程组解的结构定理 的一特解解的一特解解, 则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为:例例5.的三个解向量的三个解向量解解:的基础解系的基础解系 含一个向量含一个向量13例例6解解14例例7设设 是非齐次是非齐次 Ax = b 的
8、两个不同的解的两个不同的解其对应的齐次方程组的基础解系其对应的齐次方程组的基础解系, 则则 Ax = b 的通解是的通解是(多选多选)15例例8.已知方程组已知方程组问问:a为何值时为何值时,方程组有唯一解方程组有唯一解?无解无解?无穷多解无穷多解?有无穷多解时求出通解有无穷多解时求出通解.解解:所以有无穷多解所以有无穷多解,16因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,所以方程组无解所以方程组无解.例例9.的三个的三个解向量解向量,17例例10 设线性方程组设线性方程组的系数矩阵为的系数矩阵为A,存在存在解解:则则B的列向量组为的列向量组为AX=0的解向量的解向量例例11齐次线性方程组齐次线性方程组,则下列结论正确的是则下列结论正确的是18例例2已知方程组已知方程组问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？问为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？在方程组有无穷多个解时求出通解在方程组有无穷多个解时求出通解（考试题）（考试题）解：解：方程组有唯一解方程组有唯一解即即当时当时当时当时19思考题思考题:1.求求:2.设设A为为3阶方阵阶方阵,且且3.如果非齐次方程组的增广矩阵经过初等行变换化为如果非齐次方程组的增广矩阵经过初等行变换化为求该方程组的通解求该方程组的通解?20方程组方程组21作业作业22个人观点供参考，欢迎讨论
