第三章资金的等值计算介绍

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1、技技 术术 经经 济济 学学 谭萍第三章第三章 资金的等值计算资金的等值计算一、利息的计算；名义利率与实际利率的计算。一、利息的计算；名义利率与实际利率的计算。二、资金时间价值的普通复利计算。（六个公二、资金时间价值的普通复利计算。（六个公式的应用）式的应用）三、资金时间价值的其他复利计算。（复利周三、资金时间价值的其他复利计算。（复利周期与支付周期不等情况下的复利计算）期与支付周期不等情况下的复利计算） 如果将一笔资金存人银行，这笔资金就称如果将一笔资金存人银行，这笔资金就称为本金。经过一段时间之后，储户可在本金之为本金。经过一段时间之后，储户可在本金之外再得到一笔利息，这一过程可表示为：外

2、再得到一笔利息，这一过程可表示为： F=P+I利率几个习惯说法的解释：利率几个习惯说法的解释： “利率为利率为8%”指：年利率为指：年利率为8%，一年计息一次。，一年计息一次。式中式中: F本利和本利和 P本金本金 I利息利息 “利率为利率为8%，半年计息一次，半年计息一次”指：年利率为指：年利率为8%，每年计息两次，或半年计息一次，每次计息的利率为每年计息两次，或半年计息一次，每次计息的利率为4%。计息的方式计息的方式单利与复利单利与复利1）单利：仅以本金为基数计算利息，利息不）单利：仅以本金为基数计算利息，利息不再计息。再计息。例：例：本金本金100元元,三年后本利和为三年后本利和为 (i

3、=10%,单位：元）单位：元） 单利计算公式为：单利计算公式为： FP（l i n） 总利息总利息 :IF - P P i n年份年份年初帐面余额年初帐面余额年利息年利息年末本利和年末本利和110010110 2110101203120101302）复利：以本金与累计利息之和为基数计算）复利：以本金与累计利息之和为基数计算利息，即利息，即“利滚利利滚利”。例：例：本金本金100元元,三年后本利和为三年后本利和为 (i=10%，单位：元，单位：元)复利计算公式为：复利计算公式为： 终值终值FP（1 i ）n 总利息：总利息： IF-P 年份年份年初帐面余年初帐面余额额年利息年利息年末本利和年末本

4、利和110010110 211011121312112.1133.1通常，商业银行的贷款是按复利计息的。通常，商业银行的贷款是按复利计息的。例例 某企业以某企业以6%的年利率向银行贷款的年利率向银行贷款1000万元，贷万元，贷款期款期5年，分别以单利、复利计算。问年，分别以单利、复利计算。问5年后企业支付年后企业支付多少利息多少利息?如果贷款期为十年呢？如果贷款期为十年呢？复利法：复利法：I=F P =1000 (1+6%)5 1000 =338.23万元万元 单利法：单利法：I= F P = P i n =10005 6%=300万元万元从例中可以看到，从例中可以看到，当单利计算和复利计算的

5、利率相等时，资金的复利当单利计算和复利计算的利率相等时，资金的复利值大于单利值，且时间越长，差别越大。值大于单利值，且时间越长，差别越大。由于利息是货币时间价值的体现，而时间是连续不由于利息是货币时间价值的体现，而时间是连续不断的，所以利息也是不断地发生的。从这个意义上来断的，所以利息也是不断地发生的。从这个意义上来说，说，复利计算方法比单利计算更能反映货币的时间价复利计算方法比单利计算更能反映货币的时间价值。值。因此在技术经济分析中，绝大多数情况是采用复因此在技术经济分析中，绝大多数情况是采用复利计算利计算.复利复利间断复利间断复利连续复利连续复利间断复利：计息周期为一定的时间断复利：计息周

6、期为一定的时 间区间（年、季、月）间区间（年、季、月）连续复利：计息周期无限缩短连续复利：计息周期无限缩短 从理论上讲，资金是在不停地运动，每时每刻都通过从理论上讲，资金是在不停地运动，每时每刻都通过生产和流通在增值。但在实际商业活动中，计息周期不可能生产和流通在增值。但在实际商业活动中，计息周期不可能无限缩短，因而采用较为简单的间断复利计息。无限缩短，因而采用较为简单的间断复利计息。例例：某某人人把把1000010000元元，按按利利率率10%10%（以以单单利利计计息息）借借给给朋朋友友3 3年年。3 3年年后后，改改以以复复利利计计息息，朋朋友友又又使使用用了了4 4年。最后他从朋友那里

7、收回的本利和年。最后他从朋友那里收回的本利和F F是多少？是多少？解：解： 单利计息法公式：单利计息法公式：F F前前3 3年年P(1P(1 i n)i n) 复利计息法公式：复利计息法公式：F F后后4 4年年P(1P(1 i)i)n n F=10000(1+10%3)(1+10%) F=10000(1+10%3)(1+10%)4 4 =19033=19033元元 最后可收回本利和是最后可收回本利和是1903319033元。元。讨论：讨论：现在存入银行现在存入银行100元，年利率为元，年利率为12%，一年末，一年末一次性可以取出本利和多少？一次性可以取出本利和多少？若一个月计息一次，则一年末

8、可以取出本利若一个月计息一次，则一年末可以取出本利和多少？和多少？名义利率与实际利率的计算名义利率与实际利率的计算 在复利计算中，利率周期通常以年为单位，计在复利计算中，利率周期通常以年为单位，计息周期可以与之相同，也可以不同。当计息周期小息周期可以与之相同，也可以不同。当计息周期小于一年时，于一年时，一年内计算利息的次数不止一次了，在一年内计算利息的次数不止一次了，在复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息，复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息，因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。 假如按月计算利息，且其月利率为假如按月计算

9、利息，且其月利率为1%，通常，通常称为称为“年利率年利率12%，每月计息一次，每月计息一次”。 这个年利率这个年利率12%12%称为称为“名义利率名义利率”。也就是说。也就是说, ,名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息周期数的乘积。周期数的乘积。 但是，按复利计算，上述但是，按复利计算，上述“年利率年利率12%12%，每月，每月计息一次计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应的实际年利率则不等于名义利率，应比比12%12%略大些。略大些。设名义利率为设名义利率为r，一年中计息次数为，一年中计息次数为m，则一个计息周，则一个计息周期的利率应为期的

10、利率应为rm，求一年后本利和、年利率？求一年后本利和、年利率？复利方法：复利方法： 一年后本利和一年后本利和 F=P(1+i期期) m 利息利息 P(1+i期期) m - P 年利率：年利率：i = P(1+i期期) m P/ P = (1+i期期) m -1 单利方法：单利方法： 一年后本利和一年后本利和 F=P(1+iF=P(1+i期期m)m) 利息利息 PiPi期期mm 年利率：年利率：PiPi期期m / P = im / P = i期期m = rm = r所以，名义利率与实际利率的换算公式为所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i = (1+i期期) m 1= (1+r/m) m 1

11、当当m1时，名义利率等于实际利率；时，名义利率等于实际利率；当当m1时，实际利率大于名义利率。时，实际利率大于名义利率。当当m 时，即按连续复利计算时，时，即按连续复利计算时，i与与r的的关系为：关系为： 注意：注意： 如果没有特别指出时，通常计算中所给定的利率都是名义利率，而且多数如果没有特别指出时，通常计算中所给定的利率都是名义利率，而且多数情况下都是年名义利率。情况下都是年名义利率。例例:住房按揭贷款住房按揭贷款名义利率名义利率i =5.04%，每年计息，每年计息12次次计息期利率：计息期利率：r/m=4.2 （月息）（月息）实际利率：实际利率：i=5.158%（年利率）（年利率）i （

12、1+rm）m - 1 （1+5.0412）12 - 1 5.158例（例（P36P36）现设年名义利率）现设年名义利率r r6%6%，则年、半年、季、，则年、半年、季、月、星期、日的年实际利率如下表所示。月、星期、日的年实际利率如下表所示。计息期计息期年计息次数年计息次数计息周期利率（计息周期利率（%）年实际利率（年实际利率（%）年年16.00006.0000半年半年23.00006.0900季度季度41.50006.1364月月120.50006.1678星期星期520.11546.1797日日3650.01646.1799连续连续0.00006.1837每年计息周期越多，年实际利率和名义利

13、率相差就每年计息周期越多，年实际利率和名义利率相差就越大。越大。在技术经济分析中，如果各技术方案的计息期不同，在技术经济分析中，如果各技术方案的计息期不同，就不能使用名义利率来评价，而必须换算成实际利就不能使用名义利率来评价，而必须换算成实际利率进行评价，否则会得出不正确的结论。率进行评价，否则会得出不正确的结论。总结 当利率周期与计息周期不等时，一般有两种当利率周期与计息周期不等时，一般有两种处理方法：处理方法： (1)将其换算为实际利率后，再进行计算；将其换算为实际利率后，再进行计算； (2)直接按单位计息周期利率来计算，但计息直接按单位计息周期利率来计算，但计息期数要作相应调整。期数要作

14、相应调整。 例：某年的住房按揭贷款年利率是例：某年的住房按揭贷款年利率是6.39%6.39%，每月计息一次，则，每月计息一次，则年初借款年初借款1010万元，则万元，则1 1年末一次性需偿还本利和多少？年末一次性需偿还本利和多少？ 年名义利率：年名义利率：6.39%6.39%； 月实际利率：月实际利率：6.39%/12=0.5325%6.39%/12=0.5325% 年实际利率：（年实际利率：（1+6.39%/121+6.39%/12）12 12 1=6.58%1=6.58% 10* 10*（1+6.39%/121+6.39%/12）1212=10.658=10.658万万 10*10*（1+

15、6.58%1+6.58%）=10.658=10.658万万 但若计息周期为但若计息周期为1 1年，则年，则1 1年末一次性需偿还本利和：年末一次性需偿还本利和： 10*10*（1+6.39%1+6.39%）=10.639=10.639万万（20062006年时年时5 5年以上年贷款利率年以上年贷款利率6.39%6.39%，年存款利率，年存款利率4.14%4.14%，其实存贷利率差不仅是，其实存贷利率差不仅是6.39%6.39%与与4.14%4.14%的差距，而是的差距，而是6.58%6.58%与与4.14%4.14%的差距，所以银行有误导倾向）的差距，所以银行有误导倾向） 案例分析案例分析方案

16、一：借款方案一：借款100万，年利率为万，年利率为8%，一个季度计息一次。，一个季度计息一次。方案二：借款方案二：借款100万，年利率为万，年利率为8.5%，半年计息一次。，半年计息一次。问：若两年后还款，则选择哪种借款方式？问：若两年后还款，则选择哪种借款方式？解答：方案一：解答：方案一：100100（1+8%/41+8%/4）8 8=1001.172=117.2=1001.172=117.2（万元）（万元） 或：或： 实际利率：实际利率：i= i= （1+8%/41+8%/4）4 4 -1=8.24%-1=8.24% 100 100 （1+8.24%1+8.24%）2 2=117.2=11

17、7.2（万元）（万元） 方案二：方案二：100100（1+8.5%/21+8.5%/2）4 4=1001.181=118.1=1001.181=118.1（万元）（万元） 或：或： 实际利率：实际利率：i= i= （1+8.5%/21+8.5%/2）2 2 -1=8.68%-1=8.68% 100 100 （1+8.68%1+8.68%）2 2=118.2=118.2（万元）（万元）资金的等值计算资金的等值计算 不同时期、不同数额但其不同时期、不同数额但其“价值等效价值等效”的资金的资金称为等值，又叫等效值。在方案比较中，由于资金称为等值，又叫等效值。在方案比较中，由于资金时间价值的作用，使得

18、各方案在不同时间点上发生时间价值的作用，使得各方案在不同时间点上发生的现金流量无法直接比较，利用等值的概念，可以的现金流量无法直接比较，利用等值的概念，可以将一个时点发生的资金额换算成另一时点的等值金将一个时点发生的资金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金等值计算。额，这一过程叫资金等值计算。说明：说明： 影响资金等值的因素有三个影响资金等值的因素有三个资金额大小资金额大小资金发生的时间资金发生的时间利率利率举例举例例如：现在的例如：现在的100元与一年后的元与一年后的106元，数量上并元，数量上并不相等，但如果将这笔不相等，但如果将这笔100元的资金存入银行，且元的资金存入银行，且年利

19、率为年利率为6%时，一年后的本金和利息之和为时，一年后的本金和利息之和为:F=100(1+6%)=106即，在年利率为即，在年利率为6%的条件下，现在的的条件下，现在的100元元与一年之后的与一年之后的106元，则两者是等值的。元，则两者是等值的。几个相关的概念几个相关的概念“折现折现”或或“贴现贴现”、“现值现值”、 “终值终值”、“年金年金”等等把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额称为额称为“折现折现”或或“贴现贴现”。将来时点上的资金折现后的资金金额称为将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值现值”。与现值等值的将来某时点的资金

20、金额称为与现值等值的将来某时点的资金金额称为“终值终值”。资金等值计算：利用等值的概念，可以把在一个时资金等值计算：利用等值的概念，可以把在一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额，这点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金等值计算。一过程叫资金等值计算。需要说明的是，需要说明的是，“现值现值”并非专指一笔资金并非专指一笔资金“现现在在”的价值，它是一个的价值，它是一个相对相对的概念。一般地说，的概念。一般地说，将将 t+k时点上发生的资金折现到第时点上发生的资金折现到第t 时点，所得的时点，所得的等值金额就是第等值金额就是第 t+k时点上资金金额的现值。时点上资金金额的

21、现值。进行资金等值计算中使用的反映资金时间价值的进行资金等值计算中使用的反映资金时间价值的参数叫参数叫折现率折现率。年金：分期等额收支的资金值。年金：分期等额收支的资金值。进行资金等值计算要涉及到五个基本参数，它们是：进行资金等值计算要涉及到五个基本参数，它们是： i每一利息期的利率，通常是年利率。每一利息期的利率，通常是年利率。n计息周期数，通常是年数。计息周期数，通常是年数。P资金的现值，或本金。资金的现值，或本金。F资金的未来值，或本利和、终值。资金的未来值，或本利和、终值。A资金的等年值，表示的是在连续每期期末等额资金的等年值，表示的是在连续每期期末等额 支出或收入中的每一期资金支出或

22、收入额。支出或收入中的每一期资金支出或收入额。资金等值计算最基本的六个形式：资金等值计算最基本的六个形式： 等额支付资本回收计算等额支付资本回收计算等额支付现值计算等额支付现值计算等额支付偿债基金计算等额支付偿债基金计算等额支付终值计算等额支付终值计算一次支付现值计算一次支付现值计算一次支付终值计算一次支付终值计算（一）一次支付终值计算（一）一次支付终值计算 已知已知P，求，求F?4321n065PF=? 终值又称将来值，是指将现在一定量的资金折算到终值又称将来值，是指将现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额。未来某一时点所对应的金额。 一次支付终值公式为一次支付终值公式为 F=P(1

23、+i)n=P(F/P,i,n)一次支付终值现金流量图一次支付终值现金流量图例例3.2（P38）某公司现在向银行借款）某公司现在向银行借款100万元，年利万元，年利率为率为10%，借款期为，借款期为5年，问年，问5年末一次偿还银行的年末一次偿还银行的本利和是多少？本利和是多少？【解答解答】由一次支付终值公式可得：由一次支付终值公式可得： F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)=161.1（万元）（万元） 查表得：查表得：(F/P,10%,5)=1.611 复利系数表复利系数表i=10%年年份份一次支付一次支付终值系数终值系数一次支付一次支付现值系数现值系数等额支付等额支付终值系数终值系数偿债基

24、金偿债基金系数系数等额分付等额分付现值系数现值系数资金回收资金回收系数系数n(F/P,i,n)(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/F,i,n)(P/A,i,n)(A/P,i,n)11.1000.90911.0001.00000.9091.100021.2100.82642.1000.47621.7360.576231.3310.75133.3100.30212.4870.402141.4640.68304.6410.21553.1700.315551.6110.62096.1050.16383.7910.263861.7720.56457.7160.12964.3550.2296例：一份

25、遗书上规定有例：一份遗书上规定有250 000元留给未成年元留给未成年的女儿，但是，暂由她的保护人保管的女儿，但是，暂由她的保护人保管8年。年。若这笔资金的利率是若这笔资金的利率是 5，问，问8年后这位女年后这位女孩可以得到多少钱？孩可以得到多少钱？计算公式：计算公式： F= P（1 i ）n F250 000(1+5%）8 = 250 000 1.477 = 369 250（元）（元）102n-13nPF=?（二）一次支付现值计算（二）一次支付现值计算 已知已知F，求，求P？4321n065P=?F一次支付现值现金流量图一次支付现值现金流量图 现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到现值是指

26、未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额。现在所对应的金额。 一次支付现值公式为一次支付现值公式为 P=F /(1+i)n=F(P/F,i,n)例：某人为了例：某人为了5 5年后能从银行取出年后能从银行取出100100元，在复利年利元，在复利年利率率2%2%的情况下，求当前应存入金额。的情况下，求当前应存入金额。【解答解答】P=F/ (1+i)P=F/ (1+i)n n=100/ (1+2%)=100/ (1+2%)5 5 =100=100（P/F,2%,5P/F,2%,5） =100=1000.9057=90.570.9057=90.57（元）（元）（三）等额支付终值计算（三）等额支

27、付终值计算已知已知A，求，求F?01A432F=?n例：某人从例：某人从 30岁起每年末向银行存入岁起每年末向银行存入8 000元，元，连续连续 10年，若银行年利率为年，若银行年利率为 8，问，问 10年后年后共有多少本利和？共有多少本利和？10293108000F=?8000800080008000i=8%F=A（FA，i ，n） = 8 000（FA，8% ，10） =8 000 14.487 = 115 892（元）（元）例：某投资人若例：某投资人若10年内每年末存入年内每年末存入10000元，年利率元，年利率8%，问，问10年末本利和为多少？年末本利和为多少？【解答解答】 =1000

28、0 (F/A，8%，10) =10000 14.487=14.487（万元）（万元）（四）等额分付偿还基金计算（四）等额分付偿还基金计算 已知已知F，求，求A?01A=?432Fn例例3.53.5（P41P41）某公司计划自筹资金于）某公司计划自筹资金于5 5年后新建一个新产品生年后新建一个新产品生产车间，预计需要投资产车间，预计需要投资50005000万元。若年利率为万元。若年利率为5%5%，在复利计，在复利计息的情况下，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱？息的情况下，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱？【解答解答】 =5000 =5000(A/F,5%,5) =5000 =50000.

29、1810=905(万元万元) （五）等额支付现值计算（五）等额支付现值计算 已知已知A，求，求P?43210P=?nA例：某投资项目，计算期例：某投资项目，计算期5年，每年年末等额收回年，每年年末等额收回100万元，问万元，问在利率为在利率为10%时，开始需一次投资多少？时，开始需一次投资多少？【解答解答】 =100(P/A，10%，5) =1003.791=379.1(万元万元)（六）等额支付资本回收计算（六）等额支付资本回收计算 已知已知P，求，求A？43210PnA =?例例3.7（P43）某投资项目贷款）某投资项目贷款200万，银行万，银行4年内等年内等额收回全部贷款，已知贷款利率为额

30、收回全部贷款，已知贷款利率为10%，那么项目，那么项目每年的净收益应不少于多少万元？每年的净收益应不少于多少万元？【解答解答】 =200(A/P,10%,4) =2000.3155=63.09(万元万元)例：例：住房按揭住房按揭贷款年利率贷款年利率5.751% ，某人买房贷款，某人买房贷款15万元万元，2020年还清，每月计息一次（年还清，每月计息一次（5.751%/12=0.479%5.751%/12=0.479%），若采取），若采取每月等额本息还款，则每月等额本息还款，则客户每月还本息多少（银行每月回客户每月还本息多少（银行每月回收本息多少）？收本息多少）？10219320P=15A=?解

31、：解：AP（AP，i ，n） =15（AP，0.479% ，240） = 15* 0.00702=0.1053 万万 （共还款：（共还款：0.1053*240=25.272万）万） 等值计算公式小结：等值计算公式小结：类别类别 已已知知求求解解计算公式计算公式复利系数名称和符号复利系数名称和符号现金流量图现金流量图一一次次支支付付终终值值P FF=P(1+i)n =P(F/P,i,n)一次支付终值系数一次支付终值系数(F/P,i,n)现现值值F PP=F(1+i)-n =F(P/F,i,n)一次支付现值系数一次支付现值系数(P/F,i,n)等等额额支支付付终终值值A F等额支付终值系数等额支付

32、终值系数(F/A,i,n)偿偿债债基基金金F A等额支付偿债基金系数等额支付偿债基金系数(A/F,i,n)现现值值A P等额支付现值系数等额支付现值系数(P/A,i,n)资资本本回回收收P A等额支付资本回收系数等额支付资本回收系数(A/P,i,n)023n1PF031F2nA0 123nPA资金等值计算资金等值计算 例例3.9（P49）若年利率为）若年利率为8%，10年中每年年初都存入银行年中每年年初都存入银行1000元，求到第十年末的本利和为多少？元，求到第十年末的本利和为多少？【解答解答】方法一：方法一：F=1000（F/P，8%，10）+ 1000（F/A，8%，10）-1000=15

33、646（万元）（万元） 方法二：方法二：F=1000（F/A，8%，10）（）（F/P，8%，1） =15646（万元）（万元） 例例 ：一位发明者转让其专利使用权，一种收益方：一位发明者转让其专利使用权，一种收益方式在今后五年里每年收到式在今后五年里每年收到12000元，随后，又元，随后，又连续连续7年每年收到年每年收到6000元，另一种是一次性付元，另一种是一次性付款。在不考虑税收的情况下，如要求年收益率款。在不考虑税收的情况下，如要求年收益率为为10，他愿意以多大的价格一次性出让他的，他愿意以多大的价格一次性出让他的专有权？专有权？102536P=?A1 =12000 i=10%A2 =

34、60001112解：解：PA1（PA，i ，n）+ A2（PA，i ，n） （PF，i ，n） 12000（PA，10% ，5）+ 6000（PA，10% ，7） （PF，10%，5） = 63625 （元）（元）例：如果某工程例：如果某工程1年建成并投产，寿命年建成并投产，寿命10年（投年（投产后），每年净收益为产后），每年净收益为10万元，按万元，按10的折现的折现率计算，恰好能够在寿命期内把期初投资全部率计算，恰好能够在寿命期内把期初投资全部收回。问该工程期初所投入的资金为多少？收回。问该工程期初所投入的资金为多少？ 012311PA=10解：解：P10（PA，10，10）（）（PF，1

35、0，1） = 10 6.145 0.909 55.86（万元）（万元） 该工程期初所投入的资金为该工程期初所投入的资金为55.86万元。万元。 例：某项工程第一年投资例：某项工程第一年投资 1000万元万元, 1年后又投年后又投资资 1500万元，万元，2年后再投入年后再投入 2000万元，第万元，第3年年建成投产。投资全部由一银行贷款，年利率为建成投产。投资全部由一银行贷款，年利率为8。贷款从第三年开始每年年末等额偿还，。贷款从第三年开始每年年末等额偿还，还款期还款期10年。每年应偿还银行多少万元？年。每年应偿还银行多少万元？解：方案投产年年初的总投资额为：解：方案投产年年初的总投资额为：

36、P1000（FP，8，2）+1500（ FP，8，l）+ 2000 10001.1664 15001.080 2000 4786.4（万元）（万元） AP（AP，8，10）4786.4 0.1490 713.11（万元）（万元） 012312A=?100015002000资金等值计算时必须注意：资金等值计算时必须注意： 1）判断已知和要求的变量是属于现值、终值还）判断已知和要求的变量是属于现值、终值还是年金是年金 2）画现金流量图，看是否能够直接运用系数表）画现金流量图，看是否能够直接运用系数表 3）注意计息周期，若小于利率周期，应进行相应）注意计息周期，若小于利率周期，应进行相应的转化的转化

37、（七）等差序列终值公式（七）等差序列终值公式 已知等差序列得的已知等差序列得的公差公差G，求终值，求终值F（P44）:A0 1 2 3 nF=?A+GA+2GA+(n-1)G整付现值系数整付现值系数整付终值系数。整付终值系数。 倒数关系倒数关系等额分付终值系数等额分付终值系数等额分付偿债基金系数。等额分付偿债基金系数。等额分付现值系数等额分付现值系数等额分付资本回收系数。等额分付资本回收系数。公式分析公式分析 等额分付现值系数的置换等额分付现值系数的置换 等额分付资本回收系数的置换等额分付资本回收系数的置换( P/A, i , n )= ( P/F, i , n )( F/A, i , n )

38、( A/P, i , n )= ( F/P, i , n )( A/F, i , n )置换关系置换关系现值公式中，现值公式中，n对贴现系数的影响对贴现系数的影响以以(1+i)-n为例，取为例，取i=10%（3） n对贴现系数的影响对贴现系数的影响序号序号 n (1+i)-n 1 10.90909 2 50.62092 3100.38554 4150.23939 5200.14864 6250.09229 7300.057308 8400.022094 9600.003284表明：表明：60年后的年后的100万元，其现值只有万元，其现值只有3284元元 或者，现在的或者，现在的3284元按元按

39、10%复利，复利，60年后可获得年后可获得100万元。万元。 未来未来2030年时的收益，其现值已经很小了。所以，建设年时的收益，其现值已经很小了。所以，建设项目评价中，分析期一般不超过项目评价中，分析期一般不超过30年。年。 资金等值计算式的应用资金等值计算式的应用 举举例例1 1：某某企企业业获获得得一一笔笔1010万万元元的的贷贷款款，偿偿还还期期为为5 5年年，按按年年利利率率8%8%计复利，有以下计复利，有以下4 4种还款方式，试计算各还款方式所付出的总金额。种还款方式，试计算各还款方式所付出的总金额。 已知：（已知：（ F/PF/P，8%8%，5 5） = 1.469= 1.469

40、； （A/PA/P，8%8%，5 5） =0.25046=0.25046 （1 1）每年年末只偿还所欠利息，第）每年年末只偿还所欠利息，第5 5年末一次还清本金年末一次还清本金 10* 8% *5+10=1410* 8% *5+10=14万万 （2 2）第）第5 5年末一次还清本息；年末一次还清本息； F/PF/P：P*P*（ F/PF/P，8%8%，5 5）=10*1.469=14.69=10*1.469=14.69万万 （3 3）在）在5 5年中每年年末等额偿还；年中每年年末等额偿还； A/PA/P：P*P*（ A/PA/P，8%8%，5 5） =10*0.25046= 2.5046 共还

41、款：共还款：2.5046*5=12.523万万 （4 4）每年年末等额偿还本金，并付清当年的全部利息；）每年年末等额偿还本金，并付清当年的全部利息； 2*5+10*8%+（10-1*2）*8%+（10-2*2）*8%+（10-3*2） *8% +（10-4*2）*8% =10+（10*8%+8* 8% +6 * 8% +4 * 8% +2 * 8% ）=12.4万万 举举例例2 2：某某人人购购房房申申请请1515万万元元的的贷贷款款，偿偿还还期期为为1010年年，年年利利率率5.5.814814% %，按月计息（，按月计息（0.4845%0.4845%），有），有3 3种还款方式：种还款方式

42、： （1 1）第第1010年年末末一一次次还还清清本本息息；（2 2）在在1010年年中中每每月月月月末末等等额额偿偿还（等额本息）；还（等额本息）；（3 3）每每月月月月末末等等额额偿偿还还本本金金，并并付付清清当当月月的的全全部部利利息息（等等额额本本金）；金）； 解答：解答： （1 1）15*15*（F/PF/P，0.4845%0.4845%，120120）=15*1.7860314=26.7905=15*1.7860314=26.7905（万元）（万元） （2 2） 15*15*（A/PA/P， 0.40.484845%5%，120120）=15*0.0110089=1651.34=1

43、5*0.0110089=1651.34（元）（元） 总数额：总数额： 0.0165134*120=19.81600.0165134*120=19.8160（万元）（万元） （3 3）1250*120+150000*0.4845%+ 1250*120+150000*0.4845%+ （150000-1*1250150000-1*1250）* *0.4845% +0.4845% + （150000-2*1250150000-2*1250）* *0.4845%+0.4845%+（150000-119*1250150000-119*1250）* * 0.4845% 0.4845% = =150000+

44、150000*120-150000+150000*120-（1*1250+2*1250+ +119*12501*1250+2*1250+ +119*1250）*0.4845%*0.4845% =19.3942 =19.3942（万元）（万元） 第一个月：第一个月：1250+150000*0.4845%=1976.751250+150000*0.4845%=1976.75（元）（元） 第二个月：第二个月：1250+1250+（150000-1*1250150000-1*1250）* *0.4845%=1970.690.4845%=1970.69（元）（元） 第三个月：第三个月：1250+ 125

45、0+ （150000-2*1250150000-2*1250）* *0.4845%=1964.630.4845%=1964.63（元）（元） 最后一个月：最后一个月：1250+1250+（150000-119*1250150000-119*1250）* * 0.4845%=1256.060.4845%=1256.06（元）（元） 【1250*0.4845%=6.061250*0.4845%=6.06；150000*0.4845%=726.75150000*0.4845%=726.75】i i、n n的小数处理的小数处理 当两个相邻系数相差较小时，假设呈现当两个相邻系数相差较小时，假设呈现线性变

46、化，用内插法求解。线性变化，用内插法求解。正相关正相关（F/P, i, n）,(A/P, i, n), (F/A, i, n)负相关负相关 （P/F, i, n）,(P/A, i, n), (A/F, i, n)i:n:正相关正相关（F/P, i, n）,(P/A, i, n), (F/A, i, n)负相关负相关 （P/F, i, n）,(A/P, i, n), (A/F , i, n)举例：当利率为举例：当利率为7.2%，n为为10年时，请问年时，请问（A/P,7.2%,10）是多少？）是多少？ i7%8%7.2%f2ff1xc计息周期与支付周期不等情况下的复利计算计息周期与支付周期不等情

47、况下的复利计算计息周期等于支付周期计息周期等于支付周期 例例: : 年利率为年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，每半年计息一次，从现在起，连续连续3年，每半年作年，每半年作100万元的等额支付，问与万元的等额支付，问与其等值的现值为多少？其等值的现值为多少？ 每计息期的利率每计息期的利率i=12%/2=6%P=A(P/A,i,n)100(P/A,6%,6)=1004.9173=491.73(万元万元) 例例: :年利率年利率12%12%，每季度计息一次计算利息，从现在，每季度计息一次计算利息，从现在起连续起连续3 3年的等额年末借款为年的等额年末借款为10001000元，问与其等值元，问

48、与其等值的第的第3 3年年末的借款金额为多少？年年末的借款金额为多少？0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12100010001000F=?年季度计息周期小于支付周期计息周期小于支付周期第一种方法：第一种方法：0 1 2 3 41000239 239 239 2390 1 2 3 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12239 239 239 239 239 239 239 239 239 239 239 239 F=?第二种方法：第二种方法：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12100010001000F=?第三种方法：第三种方法：3.44

49、03.374X=?12% 12.55% 14%思考：某企业五年内每年末投资思考：某企业五年内每年末投资1000万元于某项目，万元于某项目，贷款利率贷款利率8%，若每年计息四次，问此项投资在第五，若每年计息四次，问此项投资在第五年末的本利和是多少？其现值又是多少？年末的本利和是多少？其现值又是多少？ 0 4 8 12 16 20 tP=?1000万元F=?方法方法1方法方法2方法方法3 用实际利率计算用实际利率计算 计息周期大于支付周期计息周期大于支付周期如何计息？如何计息？P55-P56P55-P56例例3.173.170 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

50、60 60 60 6080 80 80210P=?300需要几个系数的等值计算需要几个系数的等值计算i=5%0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1760 60 60 6080 80 80210P=?300i=5%0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 184000500015000A=?10000i=10%总结1、名义利率和实际利率、名义利率和实际利率每年计息期每年计息期m越多，越多，i与与r相差越大。相差越大。 在进行分在进行分析计算时，对名义利率一般有两种处理方法：析计算时，对名义利率一般有两种处理方法： 1

51、）将其换算为实际利率后，再进行计算；）将其换算为实际利率后，再进行计算； 2）直接按单位计息周期利率来计算，但计）直接按单位计息周期利率来计算，但计息期数要作相应调整。息期数要作相应调整。2、资金等值计算时必须注意、资金等值计算时必须注意 1）判断已知和要求的变量是属于现值、终）判断已知和要求的变量是属于现值、终值还是年金值还是年金 2）画现金流量图，看是否能够直接运用系）画现金流量图，看是否能够直接运用系数表数表 3）注意计息周期，若小于利率周期，应进）注意计息周期，若小于利率周期，应进行相应的转化行相应的转化 练习练习1：某企业获得一笔某企业获得一笔8 8万元的贷款，偿还期为万元的贷款，偿

52、还期为4 4年，按年，按年利率年利率10%10%计复利，有计复利，有4 4种还款方式，试计算各种还款方式种还款方式，试计算各种还款方式所付出的总金额：所付出的总金额： （1 1）每每年年年年末末只只偿偿还还所所欠欠利利息息，第第4 4年年末末一一次次还还清清本本金金 （2 2）第）第4 4年末一次还清本息；年末一次还清本息； （3 3）在）在4 4年中每年年末等额偿还；（等额本息）年中每年年末等额偿还；（等额本息） （4 4）每每年年年年末末等等额额偿偿还还本本金金，并并付付清清当当年年的的全全部部利利息息；（等额本金）（等额本金） 已知：已知： （ F/PF/P，10%10%，4 4） =

53、1.4641= 1.4641； （ A/PA/P，10%10%，4 4） =0.31547=0.31547 练习练习2：某债券是一年前发行的，面额某债券是一年前发行的，面额为为500500元，年限元，年限5 5年，年利率年，年利率10%10%，每年，每年支付利息，到期还本。若投资者要求在支付利息，到期还本。若投资者要求在余下的余下的4 4年中收益率为年中收益率为8%8%，问该债券现，问该债券现在的价格低于多少时，投资者才会买入在的价格低于多少时，投资者才会买入？ 练习练习3：某人为女儿上大学筹措资金，从某人为女儿上大学筹措资金，从女儿女儿5岁生日开始每年生日存入岁生日开始每年生日存入100元（

54、年元（年利率利率10%），直至），直至15岁生日。所有储蓄准岁生日。所有储蓄准备用于备用于18、19、20、21岁生日时等额取出岁生日时等额取出作为大学当年的生活费用。问：作为大学当年的生活费用。问： 女儿大学期间的年生活费是多少？女儿大学期间的年生活费是多少？ 如果女儿大学期间的年生活费每年需要如果女儿大学期间的年生活费每年需要2000元，那么其父母每年应存款多少？元，那么其父母每年应存款多少？人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。