《高等数学上十六讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学上十六讲（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学（上）高等数学（上） 第十六讲第十六讲第一章第一章主讲主讲 杜潮河（教授）杜潮河（教授）第九节第九节闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质教学内容教学内容有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理零点定理与介值定理备注备注教学要求教学要求了解了解闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值最有界性、最大值最小值、零点定理与介值定理）小值、零点定理与介值定理）利用利用连续函数的性质求解数学问题连续函数的性质求解数学问题教学重点教学重点连续函数的性质连续函数的性质教学难点教学难点连续函数的性质连续函数的性质11.9 闭区间上连续函数的性质闭区间
2、上连续函数的性质定义定义1.1. 设设 f (x)在区间在区间I上有定上有定义义. 若若 x0 I, 使使 x I.有有 f (x) f (x0)则称则称f (x0)为为f (x)在在I上的最大上的最大 值值.记作记作闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理(或或 f (x) f (x0), (或最小或最小)例如例如,. . . . . . . . . . . . .符号函数符号函数1-1xyo定理定理1.1. 若若f (x)在在a, b上上连连续续, 则则 f (x)在在a, b上上一定取得一定取得最大值最大值和和最小值最小值.注意注意若若f
3、(x)在在(a, b)上上连续连续,或在闭区间内有间断或在闭区间内有间断点点则则 f (x)在在该区间该区间上不一定取得上不一定取得最大值最大值和和最小值最小值.如如f(x)=x在开区间在开区间(a,b)内是内是连续的连续的,但在但在(a,b)内内既无既无最大值最大值又无又无最小值最小值又如又如f(x)=x-x在在闭区闭区间间内的内的x=1处不连续处不连续,在在该区间该区间上没有上没有最大值最大值. . . .0abxyx1x2BAM1M2看图看图定理定理2.2. 若若f (x)在在a, b上连续上连续, 则则f (x)在在a, b上有界上有界.例例2.2.0yx1二、介值定理二、介值定理定义
4、定义: :定理定理3.3. (零点定理零点定理), 若若f (x)在在a, b上连续上连续. 且且 f (a) f (b)0.则至少存在一点则至少存在一点x0 (a, b), 看图看图.0abxyABx0x0x0定理定理1中的中的x0, 就是就是方程方程 f (x) = 0的根的根. 也称根的存在定理也称根的存在定理使得使得 f (x0) = 0.定理定理4.4. (介质定理介质定理),若若f (x)在在a, b上连上连续续. 则对于介于则对于介于f (a) 和和 f (b)之间的任意一值之间的任意一值c, 看图看图.x0C0bxyf (a)af (b)y=f (x)且且f (a) f (b)
5、,至少存在点至少存在点x0 (a, b), 使得使得 f (x0) = c.证证: : 令令F(x) = f (x)c.则则 F(x)在在a, b上连续上连续,且且 F (a) F (b)由根的存在定理由根的存在定理, 至少存在至少存在x0 (a, b), 使使得得 F(x0) =f (x0) c = 0.c介于介于f (a) 和和 f (b)之间之间= (f (a)c)(f (b)c) 0即即, f (x0) = c.推论推论. . 若若f (x)在在a, b上连续上连续, 则对任何满足则对任何满足 m c M的值的值c, x0 a, b, 使得使得f (x0)=c.例例3 3证证由零点定理由零点定理,三、小结三、小结三个定理三个定理有界性与最值定理有界性与最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立作业作业 P77习题习题1-91、2、3、 结束思考题思考题思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点
