有限元原理(加权余量法和变分法)

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1、l第三讲l1.偏微分方程求解有限元法的原理（加权余量法和变分法）1.解析法2.应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程）3.某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解2. 数值法工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可以找到数值解（数学方法）l2.数值求解方法2/41. 基本思想： 以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。2. 基本方法：1.假假设设一一个个近近似似解解，该该解解为为一

2、一组组（形形式式上上）简简单单函函数数 的的线线性性组组合合来表示，线性组合的系数就是一组待定系数来表示，线性组合的系数就是一组待定系数2.然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 和近似解和近似解间误差的目标函数间误差的目标函数 F3.用用适适当当的的算算法法使使得得该该目目标标函函数数最最小小化化最最小小化化的的过过程程就就确确定定了了待待定系数，从而也就得到了问题的近似解。定系数，从而也就得到了问题的近似解。尝试函数，基函数，形函数l2.数值求解方法2/4目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解；目标函数最小化的目的：一

3、方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得构成近似解的待定系数。另一方面，求得构成近似解的待定系数。数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的数数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述两两个个偏偏微微分分方方程程形形式式相相同同，故故以以电电位位方方程程的的求求解解过过程程为为例例。磁磁位位

4、矢矢量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。在求解场域内，偏微分方程的真解为在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为，近似解为 它由一组简单函数它由一组简单函数 的线性组合表达，表达中有待定系数的线性组合表达，表达中有待定系数 即：即：l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法加权余量法加权余量法简单函数，一般选用简单形式的函数，一旦选定就是已知的了待定系数是真正的求解目标问题的自由度近似解l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法加加权权余余量量法法就就是是一一种种定定义义近近似似解解与与真真解解之之间间误误差差（即即余余数

5、数），并并设设法使其最小的方法。法使其最小的方法。加权余量法误差（即余数）的定义：加权余量法误差（即余数）的定义：注注意意：一一般般余余数数并并不不表表示示近近似似解解与与真真解解间间的的代代数数差差（场场域域内内），加加权权余余量量法法的的采采用用拉拉普普拉拉斯斯算算子子作作用用后后的的差差别别（即即余余数数），来来代代表表近近似似解解整体接近偏微分方程真解的程度。整体接近偏微分方程真解的程度。问题的自由度l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。要减少余数，我们

6、可以通过寻求适当的待定系数来实现。要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。为为有有效效表表达达减减小小余余数数的的效效果果，还还选选取取适适当当的的加加权权函函数数，以以使使余余数数和和该该加加权函数的积分为权函数的积分为0。“加权余量法加权余量法”的来由。的来由。l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法加权余数的定义：加权余数的定义：加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。效果较好的、运用较多的是迦辽金法：效果较好的、运用较多的是迦辽金法：即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数即

7、：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数l3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法由此构建加权量法的目标函数：由此构建加权量法的目标函数：上述过程中，已经将偏微分方程转化为上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。个代数方程组，便于计算机求解。关于函数的函数，称为：泛函数，或泛函l3. 加权余量法例1例例1.两极电容板内部电场分布问题：两极电容板内部电场分布问题：根据问题特点将根据问题特点将3维问题简化为维问题简化为2维，维，进一步简化为进一步简化为1维。维。该问题是静态电场问题，该问题是静态电场问题，偏微分方程和边界条件：偏微分方程和边界条件：加权余量法求解：加

8、权余量法求解：1.选取尝试函数、构造近似解：选取尝试函数、构造近似解：2.结合问题，写出余数表达式：结合问题，写出余数表达式：l3. 加权余量法例1理论上任意选取，操作中越简单越好2.结合问题，写出余数表达式：结合问题，写出余数表达式：l3. 加权余量法例13. 加权余数表达式：加权余数表达式：l3. 加权余量法例13. 加权余数表达式：加权余数表达式：l3. 加权余量法例14. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解l3. 加权余量法例1加权余量法求解流程：加权余量法求解流程：1.选取尝试函数、构造近似解选取尝试函数、构造近似

9、解2.结合问题，写出余数表达式结合问题，写出余数表达式3. 写出加权余数表达式写出加权余数表达式4. 令令各各加加权权余余数数表表达达式式为为0，得得到到代代数数方方程程组组，解解之之得得到到待待定定系数，从而确定近似解系数，从而确定近似解该静态电场问题的真解（解析解：）该静态电场问题的真解（解析解：）l3. 加权余量法例1真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常是有差别的，如选用三角函数，但求解过程会复杂，可见尝试函数的选取是有技巧的。l4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳一般化偏微分方程：线性线性微分算子则其余数为：令加权余数为0，构建代数方程：l4. 加权余量法求解一般化偏微

10、分方程的归纳由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：有j个代数方程，通常等于待定系数个数l4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳代数方程写成矩阵形式：系数激励边界条件系数矩阵nn待定系数矩阵、源矩阵、边界矩阵n1矩阵元素值：虽然元素值还需要积分、微分的求得，还难以借助计算机求解，但至少化为了代数方程组。通过选择合适的加权函数和尝试函数可以大大简化矩阵元素的矩阵方程。有限元方法就是如此l5. 加权余量法的进一步优化（边界条件的处理）适当的选取加权函数，并对加权余数积分进行处理，可使某些边界条件从加权余数的表达式中消失，从而简化矩阵方程及其系数的求解。以有源静电场问题为

11、例（帕松方程）由近似解表述的加权余数为：l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化注意余数的实质通过尝试函数，简化加权余数后：l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化上式第一项，由格林第一定律得：降了微分阶数，等于降了近似解（尝试函数）的连续性要求，从而扩展了其选择范围代入后：l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化由于近似解在1类边界上常数，所以此项为0选取特殊加权函数后，两项和为0第二类边界条件也消失了，说明已经自动满足了令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程：l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化这里加权函数只有一个了，进一步，用迦辽金法，选加权函数为尝试函数

12、本身l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：对比简化前的代数方程：已经大大简化，关键是边界条件项全部消失，微积分计算也降阶、简化l5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化代数方程写成矩阵形式：对称矩阵，简化计算还有积分（求和），梯度（差分），有限元将作处理小结：简化后1、2类边界条件自动满足； （尝试函数、加权函数选取） 微分降阶，简化计算 对称矩阵，简化计算 根据情况源矩阵、边界矩阵可能为0对拉普拉斯方程和帕松方程问题适合l6. 简化后加权余量法 例2例1中的静电场问题，变为两电极板接地，中间充满电荷。帕松方程加权余量法求

13、解：加权余量法求解：1.初选尝试函数、构造近似解：初选尝试函数、构造近似解：利用问题，对近似解进行简化，对尝试函数进行优化利用问题，对近似解进行简化，对尝试函数进行优化l6. 简化后加权余量法 例2通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失由此，尝试函数和近似解优化为：由此，尝试函数和近似解优化为：2. 修正尝试函数，以满足修正尝试函数，以满足1类边界条件：类边界条件：l6. 简化后加权余量法 例23.代公式计算矩阵元素代公式计算矩阵元素 （边界矩阵（边界矩阵b为为0）l6. 简化后加权余量法 例24. 封装矩阵：封装矩阵：l6. 简化后加权余量法 例25. 求解

14、矩阵，得近似解：求解矩阵，得近似解：该有源静态电场问题的真解（解析解：）该有源静态电场问题的真解（解析解：）l6. 简化后加权余量法 例2真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常有差别。如例3l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3偏微分方程描述的问题如下：加权余量法求解：加权余量法求解：1.初选尝试函数、构造近似解：初选尝试函数、构造近似解：利用问题及其边界条件，对尝试函数进行优化（使近似解满足边界条件）利用问题及其边界条件，对尝试函数进行优化（使近似解满足边界条件）通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失两两个个方方程程，两两个个独独立立未

15、未知知数数，消消a1、a2，重重定定尝尝试试函函数数，边边界界条条件件自自动动满满足足，简化求解过程简化求解过程l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例32. 修正尝试函数，以满足修正尝试函数，以满足1、2类边界条件：类边界条件：l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3余数为：余数为：l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3结合问题，余数的具体表达式为：结合问题，余数的具体表达式为：问题的加权余数（目标泛函）为：问题的加权余数（目标泛函）为：4. j=2,3时得代数方程：时得代数方程：5. 求解矩阵，得近似解：求解矩阵，得近似解：l7. 简化后加权余量法 求解

16、一般化的微分方程 例35. 求解矩阵，得待定系数和近似解：求解矩阵，得待定系数和近似解：l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3真解（解析解：）真解（解析解：）l7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3l8. 归纳加权余量求解偏微分方程步骤加权余量法求解流程：加权余量法求解流程：1.初步选取尝试函数、构造近似解初步选取尝试函数、构造近似解2.结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解3.写出余数表达式写出余数表达式3. 写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数）写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数）4. 令令权

17、权余余数数表表达达式式在在各各尝尝试试函函数数下下为为0，得得到到代代数数方方程程组组，解解之得到待定系数，从而确定近似解之得到待定系数，从而确定近似解l8. 归纳加权余量求解偏微分方程步骤加权余数法求解一般性偏微分方程的方法：方程的近似解被表示为一系列独立的尝试函数的线性组合，其中包括未知的待定系数。通常用迦辽金原理选取加权函数，（即令加权函数等于尝试函数本身），从而完成对加权余数的定义，(尝试函数的选取满足边界条件)通过对加权函数在区域内和在边界上的积分使其平均值为零，也就是说，使近似解与精确解之间的差别在某种指标下达到最小化。如此可以形成一个矩阵形式的代数方程组，求解该矩阵方程可以确定待

18、定系数从而得到偏微分方程的唯一近似解。l9. 变分法简介另外一种求解偏微分方程的一般方法，即变分法。变分法与加权余数法类似，近似解也用一系列线性独立的尝试函数表示包括未知的待定系数。与加权余数法不同的是，变分法用另外的方法来形成求解待定系数的矩阵方程。在变分法中，首先要构成一个近似解的函数，称为泛函。从广义来说，加权余数积分(即平均值)也是一种泛函。然后使该泛函最小化，从而减小近似解的误差。一般说来，要找到一个适合于偏微分方程及边界条件的泛函是一项难度很大的工作。由于前人已做了许多研究工作，已找到了适合于许多常见形式的偏微分方程的泛函。对于电磁场方程来说，偏微分方程常具有拉普拉斯、帕松和赫姆霍

19、兹等形式。变分法的思想：另外一种构造目标泛函的方法，由于求解中要求目标泛函最小，变分法将目标泛函的构造与电磁场储能表达式联系起来，（因为电磁场储能物理上讲有趋于最小化的趋势）。通过物理原理来构造的目标泛函是其特点。l9. 变分法简介拉普拉斯方程拉普拉斯类方程描述的无源静电场或静磁场问题，用变分法求解：l9. 变分法简介拉普拉斯方程尝试函数选择时，仍然要使近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失拉普拉斯类方程描述的无源静电场或静磁场问题，用变分法求解：l9. 变分法简介帕松方程帕松方程描述的有源静电场或静磁场问题，用变分法求解：l9. 变分法简介帕松方程帕松方程描述的有源静电场或静磁场问题，用变分法求解：尝试函数选择时，仍然要使近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失l9. 变分法简介赫姆霍兹和一般化偏微分方程（省略）l9. 变分法简介赫姆霍兹和一般化偏微分方程（省略） 泛函适应于二阶线性偏微分方程及狄利克莱和诺伊曼边界条件，亦即适应于一般形式的电磁场问题。由此可以很容易地获得常见微分方程的泛函，例如拉普拉斯方程、帕松方程、赫姆霍兹方程等等。泛函数中：k,a,q,h,g都是位置的一般函数，对于简单的问题也可以是常数。这里再次强调，在选取尝试函数相构成近似解时，应该使近似解满足问题的边界条件。