《版人教A版高中数学必修四导练课件：1.1.1 任意角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版人教A版高中数学必修四导练课件：1.1.1 任意角（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章三角函数第一章三角函数1.11.1任意角和弧度制任意角和弧度制1.1.11.1.1任意角任意角目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.了解任意角的概念及角的分类了解任意角的概念及角的分类. .2.2.理解象限角的概念理解象限角的概念. .3.3.理解终边相同角的含义理解终边相同角的含义, ,并能熟练写出终边相同的角的集合并能熟练写出终边相同的角的集合表示表示. .素养达成素养达成1.1.通过任意角、象限角及终边相同的角等有关概念的学习通过任意角、象限角及终边相同的角等有关概念的学习, ,逐逐步形成数学抽象、直观想象的核心素养步形成数学抽象、直观想象的核心素养. .2.2.通过对角有关概念
2、的探究和应用提高逻辑推理能力通过对角有关概念的探究和应用提高逻辑推理能力, ,增强应增强应用意识用意识. .新知导学新知导学课堂探究课堂探究新知导学新知导学素养养成素养养成1.1.任意角的概念与分类任意角的概念与分类(1)(1)角的概念角的概念: :角可以看成是平面内一条角可以看成是平面内一条 绕着端点从一个位置绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形旋转到另一个位置所形成的图形. .射线射线(2)(2)角的表示角的表示: :如图如图,顶点顶点: :射线的端点射线的端点O;O;始边始边: :射线的起始位置射线的起始位置OA;OA;终边终边: :射线的终止位置射线的终止位置OB.OB.(3
3、)(3)角的分类角的分类: :按照旋转方向可将角分为如下三类按照旋转方向可将角分为如下三类: :正角正角: :按按 时针方向旋转形成的角时针方向旋转形成的角; ;负角负角: :按按 时针方向旋转形成的角时针方向旋转形成的角; ;零角零角: :一条射线一条射线 作任何旋转形成的角作任何旋转形成的角. .思考思考1 1: :零角的始边与终边重合零角的始边与终边重合, ,如果一个角的终边和始边重合如果一个角的终边和始边重合, ,那么这个那么这个角一定是零角吗角一定是零角吗? ?提示提示: :不一定不一定. .若角的终边未作旋转若角的终边未作旋转, ,则这个角是零角则这个角是零角; ;若角的终边作了旋
4、若角的终边作了旋转转, ,则这个角不是零角则这个角不是零角. .如如360360角角. .2.2.象限角象限角在直角坐标系内在直角坐标系内, ,使角的顶点与原点重合使角的顶点与原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合, ,那么角的那么角的 在第几象限就是第几象限角在第几象限就是第几象限角. .如果角的如果角的 落在坐标轴上落在坐标轴上, ,就认为这个角不属于任何一个象限就认为这个角不属于任何一个象限. .逆逆顺顺没有没有终边终边终边终边思考思考2 2: :把角的顶点放在平面直角坐标系的原点把角的顶点放在平面直角坐标系的原点, ,角的始边与角的始边与x x轴的非负
5、半轴的非负半轴重合轴重合, ,旋转该角旋转该角, ,则其终边则其终边( (除端点外除端点外) )可能落在什么位置可能落在什么位置? ?提示提示: :终边可能落在坐标轴上或四个象限内终边可能落在坐标轴上或四个象限内. .3.3.终边相同的角终边相同的角所所 有有 与与 角角 终终 边边 相相 同同 的的 角角, ,连连 同同 角角 在在 内内, ,可可 构构 成成 一一 个个 集集 合合S S = = , ,即任一与角即任一与角终边相同的角终边相同的角, ,都可都可以表示成角以表示成角与整数个与整数个 的和的和. .|=+k|=+k360360,k,kZ Z 周角周角名师点津名师点津(1)(1)
6、准确认识终边相同的角准确认识终边相同的角所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角, ,连同角连同角在内在内( (而且只有这样的角而且只有这样的角) )可以用式子可以用式子+k+k360360,k,kZ Z表示表示. .在运用时在运用时, ,需注意以下几点需注意以下几点: :kk是整数是整数, ,这个条件不能漏掉这个条件不能漏掉; ;是任意角是任意角; ;kk360360与与之间用之间用“+ +”号连结号连结, ,如如k k360360-30-30应看成应看成k k360360+ +(-30(-30)(k)(kZ Z););终边相同的角不一定相等终边相同的角不一定相等, ,但相等的角终边一定相同
7、但相等的角终边一定相同, ,终边相同的角有终边相同的角有无数个无数个, ,它们相差周角的整数倍它们相差周角的整数倍. .( (教师备用教师备用) )提醒提醒: :一般地一般地, ,终边相同的角的表达式形式不唯一终边相同的角的表达式形式不唯一, ,可利用图形来验证可利用图形来验证, ,如如=90=90+k+k180180与与=-90=-90+k+k180180(k(kZ Z) )都表示终边在都表示终边在y y轴上轴上的角的角. .(2)(2)象限角及终边落在坐标轴上的角的集合表示象限角及终边落在坐标轴上的角的集合表示象限角的集合象限角的集合: :第一象限角的集合第一象限角的集合:|k:|k360
8、360kk360360+90+90,k,kZ Z;第二象限角的集合第二象限角的集合:|k:|k360360+90+90kk360360+180+180,k,kZ Z;第三象限角的集合第三象限角的集合:|k:|k360360+180+180kk360360+270+270,k,kZ Z;第四象限角的集合第四象限角的集合:|k:|k360360+270+270kk360360+360+360,k,kZ Z.终边落在坐标轴上的角的集合终边落在坐标轴上的角的集合: :a.a.终边落在终边落在x x轴的非负半轴上的角的集合轴的非负半轴上的角的集合:|=k:|=k360360,k,kZ Z;b b. .终
9、终边边落落在在x x轴轴的的非非正正半半轴轴上上的的角角的的集集合合: : | |= =k k3 36 60 0+ +1 18 80 0, ,kkZ Z;c c. .终终边边落落在在y y轴轴的的非非负负半半轴轴上上的的角角的的集集合合: : | |= =k k3 36 60 0+ +9 90 0, ,kkZ Z;d d. .终终边边落落在在y y轴轴的的非非正正半半轴轴上上的的角角的的集集合合: : | |= =k k3 36 60 0+ +2 27 70 0, ,kkZ Z;e.e.终边落在终边落在x x轴上的角的集合轴上的角的集合:|=k:|=k180180,k,kZ Z;f.f.终边落
10、在终边落在y y轴上的角的集合轴上的角的集合:|=k:|=k180180+90+90,k,kZ Z;g.g.终边落在坐标轴上的角的集合终边落在坐标轴上的角的集合:|=k:|=k9090,k,kZ Z.课堂探究课堂探究素养提升素养提升题型一象限角的判定题型一象限角的判定 例例11 已知角的顶点与坐标原点重合已知角的顶点与坐标原点重合, ,始边落在始边落在x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上, ,作出作出下列各角下列各角, ,并指出它们是第几象限的角并指出它们是第几象限的角. .(1)-75(1)-75;(2)855;(2)855;(3)-510;(3)-510. .解解: :作出各角作出各角, ,
11、其对应的终边如图所示其对应的终边如图所示: :(1)(1)由图可知由图可知:-75:-75是第四象限的角是第四象限的角; ;(2)(2)由图可知由图可知:855:855是第二象限的角是第二象限的角; ;(3)(3)由图可知由图可知:-510:-510是第三象限的角是第三象限的角. .方法技巧方法技巧象限角的判定方法象限角的判定方法(1)(1)根据图象判定根据图象判定. .利用图象实际操作时利用图象实际操作时, ,依据是终边相同的角的概念依据是终边相同的角的概念, ,因为因为0 0360360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系; ;(2)(2
12、)将角转化到将角转化到0 0360360范围内范围内. .在直角坐标平面内在直角坐标平面内, ,在在0 0360360范围内没有两个角终边是相同的范围内没有两个角终边是相同的. .即时训练即时训练1-1:1-1:已知角的顶点与坐标原点重合已知角的顶点与坐标原点重合, ,始边落在始边落在x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上, ,作出下列各角作出下列各角, ,指出在指出在0 0360360范围内与其终边相同的角范围内与其终边相同的角, ,并指出它们并指出它们是第几象限的角是第几象限的角. .(1)360(1)360;(2)1 440;(2)1 440. .解解: :作出各角的终边如图所示作出各角的终
13、边如图所示(1)360(1)360=0=0+1+1360360, ,所以在所以在0 0360360范围内范围内, ,与与360360终边相同的角是终边相同的角是0 0. .(2)1 440(2)1 440=0=0+4+4360360, ,所以在所以在0 0360360范围内范围内, ,与与1 4401 440终边相同的角是终边相同的角是0 0. .以上两个角的终边落在以上两个角的终边落在x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上, ,是不属于任何象限的角是不属于任何象限的角. . 备用例备用例11 在在0 0360360范围内范围内, ,找出与下列各角终边相同的角找出与下列各角终边相同的角, ,并判定
14、并判定它们是第几象限角它们是第几象限角. .(1)-150(1)-150;(2)650;(2)650;(3)-950;(3)-95015.15.解解: :(1)(1)因为因为-150-150=-360=-360+210+210, ,所以在所以在0 0360360范围内范围内, ,与与-150-150角终边相同的角是角终边相同的角是210210角角, ,它是第三象限角它是第三象限角. .(2)(2)因为因为650650=360=360+290+290, ,所以在所以在0 0360360范围内范围内, ,与与650650角终边角终边相同的角是相同的角是290290角角, ,它是第四象限角它是第四象
15、限角. .(3)(3)因为因为-950-95015=-315=-3360360+129+12945,45,所以在所以在0 0360360范围内范围内, ,与与-950-9501515角终边相同的角是角终边相同的角是1291294545角角, ,它是第二象限角它是第二象限角. .题型二终边相同的角题型二终边相同的角 例例22 已知角已知角=2 020=2 020. .(1)(1)把把改写成改写成k k360360+(k+(kZ Z,0,0360360) )的形式的形式, ,并指出它是并指出它是第几象限角第几象限角; ;解解: :(1)(1)由由2 0202 020除以除以360360, ,得商为
16、得商为5,5,余数为余数为220220. .所以取所以取k=5,=220k=5,=220, ,=5=5360360+220+220. .又又=220=220是第三象限角是第三象限角, ,所以所以为第三象限角为第三象限角. .(2)(2)求求,使使与与终边相同终边相同, ,且且-360-360720720. .方法技巧方法技巧(1)(1)把任意角化为把任意角化为+k+k360360(k(kZ Z且且0 0360360) )的形式的形式, ,关键是关键是确定确定k.k.可以用观察法可以用观察法(的绝对值较小的绝对值较小) )也可用除法也可用除法; ;(2)(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的
17、角要求适合某种条件且与已知角终边相同的角, ,其方法是先求出与已其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式知角终边相同的角的一般形式, ,再依条件构建不等式求出再依条件构建不等式求出k k的值的值. .解析解析: :由于由于y=-|x|y=-|x|的图象是三、四象限的平分线的图象是三、四象限的平分线, ,故在故在0 0360360间所间所对应的两个角分别为对应的两个角分别为225225及及315315, ,从而角从而角的集合为的集合为S=|=kS=|=k360360+225+225或或=k=k360360+315+315,k,kZ Z.即时训练即时训练2-12-1: :若角若角的终边和函数的
18、终边和函数y=-|x|y=-|x|的图象重合的图象重合, ,试写出角试写出角的集合的集合. .题型三区域角的集合表示题型三区域角的集合表示 例例33 已知已知, ,如图所示如图所示. .(1)(1)分别写出终边落在分别写出终边落在OA,OBOA,OB位置上的角的集合位置上的角的集合; ;(2)(2)写出终边落在阴影部分写出终边落在阴影部分( (包括边界包括边界) )的角的集合的角的集合. .解解: :(1)(1)终边落在终边落在OAOA位置上的角的集合为位置上的角的集合为|=90|=90+45+45+k+k360360,k,kZ Z=|=135=|=135+k+k360360,k,kZ Z,终
19、边落在终边落在OBOB位置上的角的集合为位置上的角的集合为|=-30|=-30+k+k360360,k,kZ Z.(2)(2)由图可知由图可知, ,阴影部分角的集合是由所有介于阴影部分角的集合是由所有介于-30-30,135,135 之间的与之之间的与之终边相同的角组成的集合终边相同的角组成的集合, ,故该区域可表示为故该区域可表示为|-30|-30+k+k360360135135+k+k360360,k,kZ Z.方法技巧方法技巧表示区间角的三个步骤表示区间角的三个步骤第一步第一步: :先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; ;第二步第二步: :按
20、由小到大分别标出起始和终止边界对应角按由小到大分别标出起始和终止边界对应角和和,写出最简写出最简区间区间x|x;x|x;第三步第三步: :起始、终止边界对应角起始、终止边界对应角,再加上再加上360360的整数倍的整数倍, ,即得区间即得区间角集合角集合. .解解: :在在-180-180180180内落在阴影部分角集合为大于内落在阴影部分角集合为大于-45-45小于小于4545, ,所所以终边落在阴影部分以终边落在阴影部分( (不含边界不含边界) )的角的集合为的角的集合为|-45|-45+k+k360360 4545+k+k360360,k,kZ Z.即时训练即时训练3-13-1: :写出
21、图中阴影部分写出图中阴影部分( (不含边界不含边界) )表示的角的集合表示的角的集合. . 备用例备用例22 已知角已知角的终边落在阴影所表示的范围内的终边落在阴影所表示的范围内( (包括边界包括边界),),试写出角试写出角的的集合集合. .解解: :在在0 0360360范围内范围内, ,终边落在阴影内的角为终边落在阴影内的角为9090135135或或270270315315. .所以终边落在阴影所表示的范围内的角所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为的集合为|90|90+k+k360360135135+k+k360360,k,kZ Z|270|270+k+k360360315315+k
22、+k360360,k,kZ Z =|90=|90+2k+2k180180135135+2k+2k180180,k,kZ Z|90|90+(2k+1)+(2k+1)180180135135+(2k+1)+(2k+1)180180,k,kZ Z=|90=|90+n+n180180135135+n+n18180 0,n,nZ Z.题型四易错辨析题型四易错辨析纠错纠错: :致错原因是把致错原因是把是第二象限角范围误认为是大于是第二象限角范围误认为是大于9090而小于而小于180180, ,而应是而应是|90|90+k+k360360180180+k+k360360,k,kZ Z 才完整才完整. .正解
23、正解: :(1)(1)由题意得由题意得9090+k+k360360180180+k+k360360(k(kZ Z),),所以所以180180+2k+2k36036023602120120, ,所以所以不正不正确确. .480480角是第二象限角角是第二象限角, ,但它不是钝角但它不是钝角, ,所以所以不正确不正确. .00角是小于角是小于180180角角, ,但它既不是钝角但它既不是钝角, ,也不是直角或锐角也不是直角或锐角, ,故故不正确不正确. .4.4.下列命题下列命题第一象限角一定不是负角第一象限角一定不是负角; ;第二象限角大于第一象限角第二象限角大于第一象限角; ;第二象限角是钝角第二象限角是钝角; ;小于小于180180的角是钝角、直角或锐角的角是钝角、直角或锐角. .其中不正确的序号为其中不正确的序号为. .答案答案: :点击进入点击进入 课时作业课时作业
