高等数学课件：v-12-11 变系数方程----常数变易法与欧拉方程

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1、12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学一、常数变易法一、常数变易法 第十一节第十一节 变系数方程变系数方程 -常数变易法与欧拉方程常数变易法与欧拉方程1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解代入代入(1)式式, 得得则有则有12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学解得解得刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为降阶降阶的一阶方程的一阶方程 12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为设设(4)12-11 欧拉方程欧拉方程高等

2、数学高等数学(5)(4),(5)联立方程联立方程组组12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学积分可得积分可得非齐次方程通解为非齐次方程通解为12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学解解对应的齐次方程的一特解为对应的齐次方程的一特解为由刘维尔公式得由刘维尔公式得所以对应齐次方程的通解为所以对应齐次方程的通解为例例1？12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学设原方程的通解为设原方程的通解为解得解得原方程的通解为原方程的通解为12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学解解对应齐方通解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为原方程通解为例例2 212-

3、11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量变量代换代换可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.二、欧拉方程二、欧拉方程的方程的方程(其中其中形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同量的方次数相同12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学作变量变换作变量变换将自变量换为将自变量换为12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学用用表示对自变量表示对自变量求导的运算求导的运算上述结果可以写为上述结果可以写为12-11 欧拉方

4、程欧拉方程高等数学高等数学将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以t为自变量为自变量的常系数的常系数线性微分方程线性微分方程.求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，把把 换为换为 ，即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，例例求欧拉方程求欧拉方程的通解的通解解解作变量变换作变量变换12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学原方程化为原方程化为即即或或(1)方程方程(1)所对应的齐次方程为所对应的齐次方程为其特征方程其特征方程12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学特征方程的根为特征方程的根为所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为设特解为设特解为代入原方程，得

5、代入原方程，得所给欧拉方程的通解为所给欧拉方程的通解为12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学三、小结三、小结主要内容主要内容1.常数变易法；常数变易法；2. 欧拉方程欧拉方程补充内容补充内容可观察出一个特解可观察出一个特解变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线变系数的线性微分方程性微分方程常系数的线常系数的线性微分方程性微分方程变量代换变量代换注意注意：欧拉方程的形式欧拉方程的形式12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学思考题思考题 作作 业业P376: 5, 6; P397: 3, 4.12-11 欧拉方程欧拉方程高等数学高等数学思考题解答思考题解答都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数所求通解为所求通解为