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1、1. 空间直线方程空间直线方程一般式一般式对称式对称式参数式参数式8.6内容回顾内容回顾（点向式，标准式）（点向式，标准式）两点式两点式过两点过两点直线直线2. 线与线的关系线与线的关系直线直线夹角公式夹角公式:平面平面 :L L / 夹角公式：夹角公式：3.线与面间的关系线与面间的关系直线直线 L :4、有轴平面束、有轴平面束5、点到直线的距离、点到直线的距离(知道怎么求知道怎么求) 四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面8.3 曲面及其方程 第八章 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和
2、B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的化简得化简得即即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程. .解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为轨迹方程轨迹方程. (已知轨迹求方程已知轨迹求方程)定义定义1. 如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;那么那
3、么 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). (主要研究旋转面主要研究旋转面)(主要研究柱面和二次曲面主要研究柱面和二次曲面)故所求方程为故所求方程为例例1. 求动点到定点求动
4、点到定点方程方程. 特别特别, ,当当M0M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为解解: 设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹表示表示 球面球面 .(已知轨迹求方程已知轨迹求方程)上上下下例例2. 2. 研究方程研究方程解解: : 配方得配方得此方程表示此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. .其图形可能是其图形可能是的曲面的曲面. . 表示怎样表示怎样半径为半径为的球面的球面. .球心为球心为 一个球面一个球面, , 或点或点, , 或虚轨迹或虚轨迹
5、. .(已知方程求轨迹已知方程求轨迹)定义定义2. 2. 一条平面曲线一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转绕其平面上一条定直线旋转一周一周所形成的曲面叫做旋转曲面所形成的曲面叫做旋转曲面. .该定直线称为旋转该定直线称为旋转轴轴 . .(已知轨迹求方程已知轨迹求方程)可推广到空间曲线绕某直线旋转可推广到空间曲线绕某直线旋转建立建立yozyoz面上曲线面上曲线C C 绕绕 z z 轴旋转所成曲面的方程轴旋转所成曲面的方程: :故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,若点若点给定给定 yoz yoz 面上曲线面上曲线 C: C: 则有则有则有则有该
6、点转到该点转到考虑：当曲线考虑：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何轴旋转时，方程如何？总之总之,绕谁谁不变绕谁谁不变,另外一个正负根号换另外一个正负根号换.(根号下为另两个的平方和根号下为另两个的平方和)例例3. 试试建建立立顶顶点点在在原原点点, 旋旋转转轴轴为为z 轴轴, 半半顶顶角角为为的圆锥面方程的圆锥面方程. 解解: : 在在yozyoz面上直线面上直线L L 的方程的方程为为绕绕z z 轴旋转时轴旋转时, ,圆锥面的方程为圆锥面的方程为两边平方两边平方例例4. 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周
7、所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕绕 x x 轴旋转轴旋转绕绕 z 轴旋转轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面这两种曲面都叫做旋转双曲面. .所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为单叶单叶双叶双叶三、柱面三、柱面引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程解解: :在在 xoy xoy 面上，面上，表示圆表示圆C, 沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线形成圆柱面轴的一切直线形成圆柱面.故在空间上故在空间上过此点作过此点作对任意对任意 z ,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,表示圆柱面表示圆柱面在圆在圆C上任取一点上
8、任取一点 (已知方程求轨迹已知方程求轨迹)定义定义3. 平行定直线并沿定曲线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形成形成的轨迹叫做柱面的轨迹叫做柱面. 表示抛物柱面表示抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面轴的椭圆柱面. z 轴的平面轴的平面. 表示母线平行于表示母线平行于 (且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于C 叫做准线叫做准线, l 叫做母线叫做母线.一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x x 轴轴; ;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行
9、于 z 轴轴;准线准线 xoz xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.l3.母线母线柱面柱面, ,准线准线 xoy xoy 面上的曲线面上的曲线 l1. l1.母线母线准线准线 yoz yoz 面上的曲线面上的曲线 l2. l2. 母线母线缺谁母线缺谁母线谁谁四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:放缩法和截痕法放缩法和截痕法 其基本类型有其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
10、椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )1. 1. 椭球面椭球面(1)范围：范围：(2)图形图形: 对球面对球面令令代入得代入得则椭球面的草图为则椭球面的草图为:(3)围成图形的体积为围成图形的体积为:(4) 当当 ab 时或时或为旋转椭球面为旋转椭球面; 当当a ab bc c 时为球面时为球面. .2. 椭圆锥面椭圆锥面椭圆椭圆在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕为过原点的两直线上的截痕为过原点的两直线 .可以证明可以证明, 椭圆椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆
11、锥面经椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或或 y 方向的伸缩变换得到）方向的伸缩变换得到）曲面沿曲面沿y轴方向伸缩轴方向伸缩倍倍,得椭圆锥面得椭圆锥面3.3.单叶双曲面单叶双曲面xoz面上双曲线面上双曲线绕绕z轴旋转一周得旋转单叶双曲面轴旋转一周得旋转单叶双曲面曲面沿曲面沿y轴方向伸缩轴方向伸缩倍倍,得单叶双曲面得单叶双曲面其草图可用旋转单叶双曲面代替其草图可用旋转单叶双曲面代替4. 双叶双曲面双叶双曲面注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面考查考查yoz面上双曲线面上双曲线绕绕z轴旋转得旋转双叶双曲面轴旋转得旋转双叶双曲面曲面沿
12、曲面沿y轴方向伸缩轴方向伸缩倍倍,得双得双 叶双曲面叶双曲面5. 椭圆抛物面椭圆抛物面特别特别, ,当当 a = b a = b 时为绕时为绕 z z 轴的旋转抛物轴的旋转抛物面面. .考查考查xoz面上抛物线面上抛物线绕绕z轴旋转得旋转抛物面轴旋转得旋转抛物面曲面沿曲面沿y轴方向伸缩轴方向伸缩倍倍,得椭圆抛物面得椭圆抛物面6. 双曲抛物面双曲抛物面（鞍形曲面）（鞍形曲面）7. 椭圆柱面椭圆柱面8. 双曲柱面双曲柱面9. 抛物柱面抛物柱面用截痕法讨论用截痕法讨论(略略),得其图形得其图形(草图草图)作业作业 P31 2 ; 4; 7 ; 8 (1), (5) ; 11内容小结内容小结1. 空间
13、曲面空间曲面三元方程三元方程 球面球面 旋转曲面旋转曲面如如, 曲线曲线绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面: 柱面柱面如如,曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面, 双曲柱面双曲柱面, 抛物柱面等抛物柱面等 .2. 二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 椭球面椭球面 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面) 双曲面双曲面: 单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面: 椭圆、双曲、抛物柱面椭圆、双曲、抛物柱面斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平
14、行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yoz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面思考与练习思考与练习1. 指出下列方程的图形指出下列方程的图形:2. P31 题题10绕绕y轴旋转一周得轨迹且方程为轴旋转一周得轨迹且方程为3. 空间一动点到两定点空间一动点到两定点为定值为定值2a(ac0)的轨迹的标准方程为的轨迹的标准方程为( ) . 解解:距离之和距离之和在在zoy面上动点的轨迹为面上动点的轨迹为为旋转椭球面为旋转椭球面若任取轨迹上一点若任取轨迹上一点再化简整理则复杂的多再化简整理则复杂的多.由由
