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1、第二章第二章 晶体的晶体的X X射线衍射射线衍射本章重点本章重点: :1. 1. 晶体衍射的基本方法晶体衍射的基本方法 4. 4. 晶体晶体X X射线衍射的几种方法射线衍射的几种方法2. X2. X射线衍射劳埃方程射线衍射劳埃方程5. 5. 原子散射因子和几何结构因子原子散射因子和几何结构因子3. 3. 布拉格反射方程布拉格反射方程第一节 晶体衍射的基本方法 1、X射线衍射方法射线衍射方法2、电子衍射方法、电子衍射方法3、中子衍射方法、中子衍射方法第一节 晶体衍射的基本方法 一、一、X X射射线衍射衍射X射射线线又又称称伦伦琴琴射射线线，是是德德国国科科学学家家伦伦琴琴在在1895年年发发现现
2、的的。1901年年伦伦琴琴获获得得了了第第一一个物理学个物理学Nobel奖奖金。金。伦琴琴1845-1923）X射射线线具具有有穿穿越越磁磁场场不不偏偏转转，使使底底片片感感光光和和气气体体电电离离，杀杀死死生生物物细细胞胞，开开展展医医疗疗影影像像技技术术 如如CT 等等作作用用。直直到到1912年年，劳劳厄厄将将其其利利用用到到晶晶体体学学中中，来来研研究究晶晶体体的的结结构构，才揭示了才揭示了X射射线线的真的真谛谛。（1 1X X射射线的性的性质（2 2X X射射线的本的本质研研究究表表明明，X X射射线与与可可见光光、红外外线等等相相同同，都都属属于于电磁磁波波，同同时具有波具有波动性
3、和粒子性。性和粒子性。X X射射线线的波的波长长很短，很短，=10 nm=10 nm0.01 nm0.01 nm，其波，其波长长位置如下位置如下: : X射射线线在在空空间间传传播播具具有有粒粒子子性性，或或者者说说X射射线线是是由由大大量量以以光光速速运运动动的的粒粒子子组组成成的的不不连连续续的的粒粒子子流流。这这些些粒粒子子叫叫光光量量子子，每每个个光光量子具有能量量子具有能量:定定义：指指单位位时间内内通通过垂垂直直X射射线方方向向的的单位位面面积上上的的光光子子数数目目单位面位面积上的光子流率）上的光子流率）单位位：尔格格/厘厘米米2秒秒实际使使用用的的单位位是是CPS表表示示每每秒
4、秒钟探探测到光子数）到光子数）(3)X射射线线的的强强度度X射射线线的的强强度度用用大大写写字字母母I表表示示，X射射线线的的剂剂量量表表示示光光子子的的能能量量大大小小，单单位位用用伦伦琴琴 R 表表示示。在在X射射线线衍衍射射分分析析中中，用用的的是是强强度度而不是而不是剂剂量。量。1895年年，德德国国物物理理学学家家伦伦琴琴作作阴阴极极射射线线实实验验时时，发发现现了了一一种种不不可可见见的的射射线线，由由于于当当时时不不知知它它的的性性能能和和本本质质，故故称称X射射线线，也也称称伦伦琴射琴射线线。（3 3X X射射线实验技技术的的发展概况展概况 19081909年，德国物理学家年，
5、德国物理学家Walte.Pohl，将，将X射射线线照金属照金属 相当相当于光于光栅栅），），产产生了干涉条生了干涉条纹纹，证证明明X射射线线是一种是一种电电磁波。磁波。1912年，年，劳劳厄和他的研究生厄瓦厄和他的研究生厄瓦尔尔德提出非凡德提出非凡预预言：言：X射射线线照射照射晶体晶体时时，将，将产产生衍射。并且利用生衍射。并且利用CuSO45H2O晶体作晶体作样样品，品，实验实验得到了第一得到了第一张张衍射花衍射花样样照片。照片。为为了解了解释该释该衍射衍射图图象，象，劳劳埃提出了埃提出了劳劳埃方程；埃方程；1913年，布拉格父子年，布拉格父子导导出了出了简单实简单实用的布拉格方程；用的布拉
6、格方程；（4 4X X射射线衍射在材料衍射在材料领域中的主要域中的主要应用用 物相分析物相分析点点阵常数的精确常数的精确测定定织构的构的测定定晶粒大小的晶粒大小的测定，定，应力力测定等等。定等等。（5 5X X射射线的的产生生X射射线线是是由由高高电电压压V加加速速了了的的电电子子，打打击击在在“靶靶极极物物质质上上而而产产生的一种生的一种电电磁波。波磁波。波长长随加速随加速电压电压而改而改变变。(nm)(nm)在在晶晶体体衍衍射射中中，常常取取U-40U-40千千伏伏，所所以以 min-0.03nm min-0.03nm 。常常用用CuKCuK，波，波长约为0.15418nm0.15418n
7、m。产生并生并发射自由射自由电子的子的电子源，如加子源，如加热钨丝发射射热电子；子；在真空中一般在真空中一般为10-6mmHg），使），使电子作定向的高速运子作定向的高速运动；在高速在高速电子流的运子流的运动路程上路程上设置一阳极靶，使高速运置一阳极靶，使高速运动的的电子子突然受阻而停止下来。突然受阻而停止下来。这样，靶面上就会，靶面上就会发射出射出X射射线。因此，要因此，要获得得X射射线，必，必须满足以下条件：足以下条件：（6 6X X射射线谱I KK1、定、定义义：X射射线线强强度随波度随波长变长变化的曲化的曲线线。2、分、分类类（a 连续连续的的X射射线谱线谱（b 特征的特征的X射射线谱
8、线谱（a连续的的X射射线谱具有从某个最短波具有从某个最短波长(短短波极限波极限0)开始的开始的连续的的各种波各种波长的的X射射线(即：波即：波长范范围为0)。I 由若干条特定波由若干条特定波长的的谱线构成。当管构成。当管电压超超过一定的数一定的数值激激发电压V激激时产生。生。这种种谱线的波的波长与与X射射线管管电压、管、管电流流等工作条件无关，只决定于阳极材料，不同元素的阳极材料等工作条件无关，只决定于阳极材料，不同元素的阳极材料发出不同波出不同波长的的X射射线。因此叫特征。因此叫特征X射射线。（b特征特征X射射线谱特征特征X射射线谱产生的原因：生的原因：原子内原子内层电子的子的跃迁。迁。K射
9、射线的的强度大度大约是是K射射线强度的度的5倍，因倍，因此，在此，在实验中均采用中均采用K射射线。实验中中发现Cu靶的靶的K谱线的的强度大度大约是是连续谱线及及临近射近射线强度的度的90倍。倍。K谱线又可分又可分为K1和和K2，K1的的强度是度是K2强度的度的2倍，且倍，且K1和和K2射射线的波的波长非常非常接近，接近，仅相差相差0.004左右，通常无法分辨，因左右，通常无法分辨，因此，一般用此，一般用K来表示。但在来表示。但在实际实验中有可能中有可能会出会出现两者分开的情况。两者分开的情况。老老Bragg发现了了X射射线的特征的特征谱，莫塞莱，莫塞莱(Moseley对其其进行了行了研究，并推
10、研究，并推导出了出了K射射线的波的波长K的的计算公式算公式为：K=4/3R(Z)2式中：式中：Z:阳极靶的原子序数阳极靶的原子序数;R:常数常数;:屏蔽系数。屏蔽系数。该式就是著名的莫塞莱定律，表示式就是著名的莫塞莱定律，表示K系特征系特征X射射线的波的波长与阳与阳极靶的原子序数的平方近似成反比关系。极靶的原子序数的平方近似成反比关系。(7)X射射线线与物与物质质的相互作用的相互作用入射入射X射线射线透过透过X射线射线热能热能散射散射X射线射线电子电子荧光荧光X射线射线(a)X射射线线的散射的散射相干相干散射散射与原子内紧束缚电子与原子内紧束缚电子刚性碰撞刚性碰撞波长与入射波波长与入射波相同，
11、有一定相同，有一定的位相关系的位相关系相互干涉产生衍相互干涉产生衍射条纹射条纹非相非相干散干散射射(康康普顿普顿效应效应)与自由电子或原子内与自由电子或原子内紧束缚电子非刚性碰紧束缚电子非刚性碰撞撞波长与入射波波长与入射波不同不同不互相干涉由于不互相干涉由于散射于各个方向，散射于各个方向，强度很低，形成强度很低，形成连续的背景连续的背景(b)X射射线线的吸收的吸收定定义：当：当X射射线穿穿过物物质时，因受到散射、光，因受到散射、光电效效应等的影响，等的影响，强度减弱的度减弱的现象。象。强度衰减度衰减规律：律：对于一定的物于一定的物质1是常数。是常数。实验证明明1与物与物质的密度的密度成正比成正
12、比即：即：1=mm：质量系数系数只与吸收体的原子序数量系数系数只与吸收体的原子序数Z和和X射射线的波的波长有关）。有关）。线吸收系数吸收系数1和和质量系数系数量系数系数m都是物都是物质的固有特性。的固有特性。I0 ：原始：原始强强度；度；线线吸收系数吸收系数1 ：单单位厚度物位厚度物质对质对X射射线线的吸收的吸收能力；能力；x: X射射线线穿穿过过物物质质的距离的距离穿穿过物体后的物体后的强度可表示如下：度可表示如下： m = 1 m1 + 2 m2 + 3 m3 + 1 、 2 、 3 ：吸收体中各元素的：吸收体中各元素的质量百分数。量百分数。多种元素多种元素组成的吸收体其成的吸收体其质量吸
13、收系数是其量吸收系数是其组成元素的成元素的质量吸量吸收系数的加收系数的加权平均平均值：元素的元素的质量吸收系数与入射波量吸收系数与入射波长和原子序数有以下关系和原子序数有以下关系 m m =KZ3 3 k L1 L2 L3波波长愈短，吸收体原子愈愈短，吸收体原子愈轻，透，透过率愈大。率愈大。吸收限两吸收限两边吸收系数相差吸收系数相差悬殊。殊。(c)光光电电效效应应当当入入射射光光子子的的能能量量足足够大大时，可可以以从从被被照照射射物物质的的原原子子内内部部(如如K壳壳层)击出出一一个个电子子(被被击出出的的电子子称称为光光电子子)，同同时外外层的的高高能能态电子子要要向向内内层的的K空空位位
14、跃迁迁，导致致有有一一部部分分能能量量释放放。一一方方面面该能能量量导致致辐射射出出波波长一一定定的的特特征征x射射线。为与与入入射射x射射线相相区区别，称称由由x射射线激激发所所产生生的的特特征征x射射线为二二次次特特征征x射射线或或荧光光x射射线。当当入入射射光光子子的的能能量量足足够大大时，可可以以从从被被照照射射物物质的的原原子子内内部部(如如K壳壳层)击出出一一个个电子子(被被击出出的的电子子称称为光光电子子)，同同时外外层的的高高能能态电子子要要向向内内层的的K空空位位跃迁迁，导致致有有一一部部分分能能量量释放放，从从而而导致致包包括括空空位位层在在内内的的邻近近电子子或或较外外层
15、电子子(比比如如另另一一个个LII电子子)所所吸吸收收，促促处该电子子受受激激发逸逸出出原原子子变为二二次次电子子。也也就就是是说K层一一个个空空位位被被L层两两个个空空位位所所代代替。此二次替。此二次电子被称子被称为俄歇俄歇电子。子。上上述述这种种以以光光子子激激发原原子子所所发生生的的激激发和和辐射射过程称程称为光光电效效应，例、典型的例、典型的X射线衍射谱射线衍射谱(衍射方向和衍射强度）衍射方向和衍射强度）X射线德拜相射线德拜相二、电子衍射当当电子子波波(具具有有一一定定能能量量的的电子子)落落到到晶晶体体上上时，被被晶晶体体中中原原子子散散射射，由由于于晶晶体体中中原原子子排排列列的的
16、周周期期性性，各各原原子子所所散散射射的的电子子波波在在叠叠加加时互互相相干干涉涉，散散射射束束强度度随随空空间分分布布的的不不连续性性，即即晶晶体体对电子的衍射子的衍射现象。象。电子衍射示意图(nm)nm 缺陷：缺陷：电子波受子波受电子和原子核散射，散射很子和原子核散射，散射很强透射力透射力较弱，弱，电子衍射主要用来子衍射主要用来观察薄膜。察薄膜。高能电子衍射：电子的加速电压一般为数万伏至十万伏左右高能电子衍射：电子的加速电压一般为数万伏至十万伏左右低能电子衍射：为了研究表面结构，电子加速电压也可低达低能电子衍射：为了研究表面结构，电子加速电压也可低达数千甚至数十伏。数千甚至数十伏。透射电子
17、衍射：研究厚度小于透射电子衍射：研究厚度小于0.2微米的薄膜结构微米的薄膜结构会聚束电子衍射：入射电子束聚焦在试样上会聚束电子衍射：入射电子束聚焦在试样上反射电子衍射：研究大块试样的表面结构反射电子衍射：研究大块试样的表面结构选区电子衍射：利用试样后面的透镜，选择小至选区电子衍射：利用试样后面的透镜，选择小至1微米的区域微米的区域进行衍射观察进行衍射观察例、典型的电子衍射例、典型的电子衍射三、中子衍射热中中子子流流被被固固体体、液液体体或或气气体体中中的的原原子子散散射射引引起起的的衍衍射射现象象，称称为中子衍射。主要用于研究物中子衍射。主要用于研究物质金属的微金属的微观结构。构。1932年，
18、年，发现发现中子，但是由于当中子，但是由于当时时中子源太弱，得到的中子束中子源太弱，得到的中子束能量不均匀，能量不均匀，难难以找到具体以找到具体应应用，用，40年代，当核反年代，当核反应应堆建立以后，才有可能利用中子衍射效堆建立以后，才有可能利用中子衍射效应应探探索物索物质质内部的内部的结结构。构。从从核核反反应堆堆发出出的的中中子子经过减减速速慢慢化化以以后后，其其能能量量与与热平平衡的分子原子及晶格相当，所以衡的分子原子及晶格相当，所以这种慢中子又称种慢中子又称为热中子。中子。热中子的德布中子的德布罗意波意波长约为0.1nm，和，和X射射线的波的波长一一样，正好，正好与晶格与晶格间距同数量
19、距同数量级，因此如果将，因此如果将这样的中子束打到物的中子束打到物质靶上，靶上，一定会像一定会像X射射线那那样发生衍射生衍射现象。象。中子不中子不带电，主要依靠自旋的中子，主要依靠自旋的中子产生中子磁矩，尤其适合于生中子磁矩，尤其适合于研究磁性物研究磁性物质的的结构。构。中子衍射和中子衍射和X X射射线衍射衍射虽然相似，本然相似，本质上却并不一上却并不一样，X X射射线衍衍射是射是X X射射线的能量子与原子中的的能量子与原子中的电子相互作用的子相互作用的结果，而中子衍果，而中子衍射射则是中子与原子核相互作用的是中子与原子核相互作用的结果，所以中子衍射可以果，所以中子衍射可以观测到到X X射射线
20、衍射衍射观测不到的物不到的物质内部内部结构，特构，特别有利的是中子衍射有利的是中子衍射可以确定原子，特可以确定原子，特别是是氢原子，在晶体中的位置和分辨周期表原子，在晶体中的位置和分辨周期表中中邻近的各种元素。近的各种元素。第二节第二节 X X射线衍射劳埃方程射线衍射劳埃方程第二第二节 X X射射线衍射衍射劳埃方程埃方程劳埃方程可以确定衍射埃方程可以确定衍射线的方向。的方向。做如下假做如下假设：(1)(1)入射入射线和衍射和衍射线为单色平行光色平行光线；(2)(2)略去康普略去康普顿效效应；(3)(3)只只讨论布拉菲晶格。布拉菲晶格。一、一一、一维衍射衍射0AB如如图一原子列，点一原子列，点阵
21、周期周期为a散射散射线的光程差的光程差为：aM1M2N1N2DC = AC-BD =a(cos-cos0) = a(cos-cos0) = H -劳劳埃第一方程埃第一方程H：劳劳埃第一干涉指数，取整数，但有限制，埃第一干涉指数，取整数，但有限制，为为波波长长所限。所限。留意：原子向空留意：原子向空间各个方向各个方向散射的射散射的射线，满足足劳埃第一埃第一方程，互相干涉的方程，互相干涉的结果，使果，使与原子列成与原子列成角的方向可以角的方向可以叠加加叠加加强，这表明衍射表明衍射线分分布在一个布在一个圆锥面上，面上，顶角角为2。H不同，不同，不同，得到不同，得到一系列同一系列同轴圆锥。0ABaM1
22、M2N1N2DC底片：双曲底片：双曲线底片：同心底片：同心圆所以在所以在N1,N2方向上散射方向上散射线加加强的条件的条件:h = 0、1、2、3二、二二、二维衍射衍射同理，同理，对于二于二维原子衍射，可以看作由一系列平行的原子列所原子衍射，可以看作由一系列平行的原子列所组成，当成，当X射射线入射二入射二维原子列原子列时，每个原子列的衍射，每个原子列的衍射线均分均分布在自身的同布在自身的同轴圆锥簇上，因此，除了在一个方向簇上，因此，除了在一个方向满足足劳埃第埃第一方程，在另一个方向也要一方程，在另一个方向也要满足足劳埃方程，称埃方程，称劳埃第二方程：埃第二方程：b(cos -cos 0) =
23、Kab00可见，当可见，当X射线照射到原子网时，若要发生衍射，就必须满足射线照射到原子网时，若要发生衍射，就必须满足劳埃第第一、二方程，也就是说衍射线只能出现在沿劳埃第第一、二方程，也就是说衍射线只能出现在沿X方向和方向和Y方向的两系列圆锥簇的交线或公共切线上，每对双曲线的交点方向的两系列圆锥簇的交线或公共切线上，每对双曲线的交点即为衍射斑点。不同的即为衍射斑点。不同的H、K值可以得到不同的衍射斑点。值可以得到不同的衍射斑点。一对衍射圆锥及交线一对衍射圆锥及交线原子网的衍射图原子网的衍射图三、三三、三维衍射衍射对于于三三维空空间格格子子，可可以以看看作作由由一一系系列列平平行行的的原原子子网网
24、所所组成成。当当X射射线照照射射到到理理想想晶晶体体时，各各层原原子子网网的的衍衍射射线，必必然然有有一一部部份份由由于于相相互互干干涉涉而而被被抵抵消消，所所能能保保留留下下来来的的那那部部分分衍衍射射线，必必然然满足第三个方向的衍射条件：足第三个方向的衍射条件：c(cos -cos 0) = L-劳劳埃第三方程埃第三方程所以晶体的所以晶体的X射射线衍射必衍射必须满足足劳埃三个方程。埃三个方程。这样就确定了衍就确定了衍射射线的方向：即衍射的方向：即衍射线与三个方向的与三个方向的夹角分角分别为、。a(cos-cos0) = Hb(cos -cos 0) = Kc(cos -cos 0) = L
25、劳埃埃方方程程解解决决了了X射射线的的衍衍射射方方向向问题。当当单色色X射射线单晶晶时，其其中中的的原原子子便便向向各各个个方方向向发射射散散射射线。散散射射线与与三三个个原原子子列列的的方方向向夹角角、取取决决于于晶晶体体的的点点阵周周期期，入入射射X射射线与与三三个个基基本本方方向向的的夹角角0、0、0，X射射线的的波波长以以及及干干涉涉指指数数H、K、L，如如果果满足足劳埃埃方方程程，则夹角角、所所决决定定的的方方向向就就是是衍衍射射方向。方向。从从劳埃方程可以埃方程可以发现，除了，除了夹角角、外，其余各量均外，其余各量均为常常数，似乎方程数，似乎方程组有唯一的解。有唯一的解。a(cos
26、-cos0) = Hb(cos -cos 0) = Kc(cos -cos 0) = L劳埃方程的重要性：埃方程的重要性：但但实际上上、之之间有有一一个个约束束方方程程。比比如如对于于直直角角坐坐标系系，还存在一个存在一个约束方程：束方程：由由于于不不可可能能从从四四个个方方程程中中解解出出三三个个变量量，必必须增增加加一一个个变量量，或或者者是是波波长，或或者者是是入入射射角角。这就就构构成成了了X射射线分分析析的的几几种种主主要方法：要方法：a(cos-cos0) = Hb(cos -cos 0) = Kc(cos -cos 0) = L1连续的的X射射线照射不照射不动的的单晶体晶体劳埃法
27、）；埃法）；实验条件：条件：连续X射射线射、射、单晶晶样品品功能：功能：测定晶体的定晶体的对称性、确定晶体的取向和称性、确定晶体的取向和单晶的定向切割晶的定向切割2单色色X射射线照射照射单晶体，同晶体，同时单晶体的某一晶晶体的某一晶轴或某一重要或某一重要的晶向垂直于的晶向垂直于X射射线安装周安装周转晶体法）；晶体法）；第三第三节 布拉格方程布拉格方程由于由于劳埃方程中衍射埃方程中衍射圆锥过于复于复杂，布拉格反射方程也可以，布拉格反射方程也可以确定衍射确定衍射线的方向，是的方向，是对劳埃方程的埃方程的简化。化。3 粉粉末末法法，利利用用单单色色X射射线线照照射射多多晶晶体体。即即利利用用晶晶粒粒
28、的的不不同同取取向来改向来改变变入射角。入射角。布拉格反射方程的推布拉格反射方程的推导：OBBAAPMS0S晶面晶面LL1N2N1CD1同一晶面上的原子的散射加同一晶面上的原子的散射加强条件：条件：Nd下面分两种情况下面分两种情况讨论：可可以以看看出出X射射线到到达达NN2时，光光程程差差为零零，满足足衍衍射射条条件件，这说明明同同一一晶晶面面上上反反射射线方方向向可可以以作作为同同一一晶晶面面原原子子的的衍衍射射线方向。方向。由上由上图知道，两束知道，两束X射射线到达到达NN1处的光程差的光程差为：=OC+OD=dsin+dsin=2dsin同理可以同理可以证明两束明两束X射射线到达到达N2
29、N1处的光程差也的光程差也为2dsin2不同晶面上的原子的散射加不同晶面上的原子的散射加强条件：条件：在在这个方向散射个方向散射线互相加互相加强的条件是：的条件是：2dsin =n 布拉格方程 ：称：称为为掠射角或布拉格角；掠射角或布拉格角；2 ：衍射角；：衍射角；n ：反射：反射级级数。数。结论：当一束：当一束单色且平行的色且平行的X射射线照射到晶体照射到晶体时，同一晶面上，同一晶面上的原子散射的原子散射线在反射在反射线方向上是加方向上是加强的；不同晶面的反射的；不同晶面的反射线若若要加要加强，只要，只要满足布拉格方程，反射足布拉格方程，反射线亦表示衍射亦表示衍射线的方向。的方向。布拉格方程
30、的布拉格方程的讨论： 2dsin =n 在在布布拉拉格格方方程程中中，其其基基础是是将将X射射线衍衍射射看看成成反反射射。但但衍衍射射是是本本质，反反射射仅是是为了了描描述述方方便便。可可以以发现布布拉拉格格方方程程在在解解决决衍衍射射方方向向时是是极极其其简单而而明明确确的的。当当波波长为的的X射射线，以以角角照照射射到到晶晶面面间距距为d的的晶晶面面时，有有可可能能在在晶晶面面的的反反射射方方向向上上产生生衍衍射射线，其条件其条件为相相邻晶面的反射晶面的反射线的光程差的光程差为波波长的整数倍。的整数倍。留意：布拉格方程是留意：布拉格方程是获得衍射的必要条件而不是充分条件。得衍射的必要条件而
31、不是充分条件。布布拉拉格格方方程程联系系了了晶晶面面间距距d、入入射射角角、波波长和和反反射射级数数n。当当知知道道其其中中三三个个量量时就就可可以以求求出出另另一一个个量量，所所以以该方方程程是是衍衍射射中最重要的方程。中最重要的方程。入射入射线反射反射线（100）（200）d100d200（1反射反射级数数n若若X射射线照照射射到到(100)晶晶面面，刚好好产生二生二级反射，那么反射，那么2d100 sin =2设在在两两个个(100)晶晶面面中中间插插入入一一个个原原子子分分布布完完全全相相同同的的(200)面，面，并且相并且相邻面光程差面光程差为一半，即一半，即入射入射线反射反射线（1
32、00）（200）d100d200那么那么(200)面面间距距为100面面间距的一半，即距的一半，即d100=2d2002d200 sin =上式上式说明明X射射线在在(200)面面发生了生了一一级反射。反射。由于由于d100=2d200，所以，所以2(d100/2) sin =而而上上式式可可以以看看作作是是式式2d100sin=2右右边的的2移移到到了了左左边，也也就就是是说将将(100)面的二面的二级反射看成反射看成2(100)即即(200)的一的一级反射。反射。更更一一般般地地，可可以以把把(hkl)的的n级反反射射看看作作n(hkl)的的一一级反反射射。假假设(hkl)面面间距距为d，
33、则n(hkl)的的面面间距距为d/n，于于是是布布拉拉格格方方程可以表示如下程可以表示如下 2dsin =n 2(d/n)sin = 为方方便便我我们将将上上式式2(d/n)sin=写写成成2dsin=。该式式认为反反射射级数数永永远为1，而而反反射射级数数n实际上上包包含含在在d之之中中。也也就就是是说，(hkl)的的n级反射可以看成某种虚反射可以看成某种虚拟晶面的晶面的1级反射。反射。由由上上面面知知，晶晶面面(hkl)的的n级反反射射看看作作n(hkl)的的一一级反反射射，n(hkl)可可以以表表示示为(HKL)，其其中中H=nh，K=nk，L=nl，定定义(HKL)为反反射射面面或或干
34、干涉涉面面。晶晶面面(hkl)是是实际存存在在的的面面，而而(HKL)只只是是为使使问题简化化而而引引入入的的虚虚拟晶晶面面。干干涉涉面面的的面面指指数数成成为干干涉涉面面指指数数。如如无无特特别说明，布拉格方程所用的面明，布拉格方程所用的面间距一般指干涉面距一般指干涉面间距。距。（3入射角入射角：表示衍射的方向：表示衍射的方向根根据据布布拉拉格格方方程程可可以以得得到到：sin=/2d，可可以以看看出出1当当波波长一一定定时，面面间距距相相同同的的镜面面必必然然在在相相同同的的情情况况下下获得得衍衍射射。就就是是说当当用用单色色X射射线照照射射多多晶晶体体时，各各晶晶粒粒中中d相相同同的的晶
35、晶面面，其其反反射射线将有确定的方向。将有确定的方向。（2干涉面指数干涉面指数根根据据sin=/2d，可可以以看看出出2当当波波长一一定定时，面面间距距d减减小小，增大。就是增大。就是说面面间距小的晶面，其衍射角必距小的晶面，其衍射角必须是大的。是大的。2 干干涉涉面面的的划划分分是是无无限限的的，但但并并非非所所有有的的干干涉涉面面均均能能参参与与衍衍射射，由由于于dsin=/2，所所以以d/2。这这表表明明只只有有间间距距大大于于等等于于波波长长的的一一半半的的那那些些干干涉涉面面才才能能参参与与反反射射。很很明明显显，当当采采用用短短X射射线线照照射射时时，能参与反射的干涉面将会增多。能
36、参与反射的干涉面将会增多。（4衍射极限条件衍射极限条件入射角入射角的极限范的极限范围从从0-90，但，但过大或大或过小都会造成衍射的小都会造成衍射的观测困困难。由于。由于sin1，这就使得衍射中反射就使得衍射中反射级数数n或干涉面或干涉面间距距d受到限制。受到限制。 2dsin =n 1 当当d一一定定时时，波波长长减减小小，n可可以以增增大大，这这就就说说明明对对同同一一晶晶面面，当当采采用用短短X射射线线照照射射时时，可可以以获获得得较较多多的的反反射射级级数数，即即衍衍射射花花样样比比较较复复杂杂。2 用用一一种种已已知知面面间间距距的的晶晶体体来来反反射射从从试试样样发发射射出出来来的
37、的X射射线线，再再通通过过衍衍射射角角的的测测量量求求得得X射射线线的的波波长长，并并且且从从X射射线线的的波波长长可以确定可以确定试样试样的的组组成元素。成元素。（5布拉格方程的布拉格方程的应用用1 用用已已知知波波长长的的X射射线线照照射射晶晶体体，通通过过衍衍射射角角的的测测量量求求得得面面间间距距d-这这就是就是结结构分析。构分析。衍射方程和衍射方程和发射公式都可以确定衍射射公式都可以确定衍射线的方向。衍射方程是根的方向。衍射方程是根据散射据散射线的干涉来确定衍射方向；而反射公式是根据晶面的干涉来确定衍射方向；而反射公式是根据晶面对X X射射线的反射来确定衍射方向。二者是一致的，可以通
38、的反射来确定衍射方向。二者是一致的，可以通过衍射方程衍射方程推推导出反射公式。出反射公式。留意：衍射方程与反射公式是等价的a(cos-cos0) = Hb(cos -cos 0) = Kc(cos -cos 0) = L将将劳埃三个方程平方：埃三个方程平方：为简单见，设晶体晶体为立方晶系，所以立方晶系，所以a=b=c，将以上三式相加得：，将以上三式相加得：cos2=入射入射线矢量：矢量：衍射衍射线矢量：矢量：设两矢量两矢量夹角角为2：两两边开方：开方：该干涉面的面干涉面的面间距距为dhkl/n，干涉面指数，干涉面指数HKL），），H=nh，K=nk，L=nl。代入上式得：。代入上式得：这里里(
39、HKL)称称为干涉面指数。所干涉面指数。所谓干涉面定干涉面定义如下：晶面如下：晶面(hkl)的的n级反射面反射面n(hkl)。对于晶面于晶面(hkl)反射方程：反射方程：2dhklsin=n而而该晶面的晶面的n级反射可以看成干涉面的一反射可以看成干涉面的一级反射，即反射，即2 （dhkl/ n） sin= 2dhklsin=n2dhkl sin =n 布拉格方程布拉格方程问题：是否可以用可：是否可以用可见光光进行晶体衍射呢？行晶体衍射呢？不能用可见光进行晶体衍射。由上式可以看出：由上式可以看出：利用矢量利用矢量讨论衍射衍射现象：象：AOCD波程差波程差设O O 为点点阵原点，原点，A A为任任
40、一格点，格矢可以表示一格点，格矢可以表示为衍射加衍射加强条件条件为：-劳厄衍射方程又波矢又波矢得到得到令令那么那么-劳厄衍射方程设其中其中面指数，面指数，干涉面指数。干涉面指数。令令那么那么O反射公式与衍射方程是等价的-劳厄衍射方程又又所以所以倒格空倒格空间的衍射方程的衍射方程布拉格方程布拉格方程衍射方向的确定-反射球AAk0k0knKh则nKh两端的倒格点必落在以两端的倒格点必落在以k和和k0的交的交点点为中心，中心，2/ 为半径的球面上；半径的球面上；反之，落在球面上的倒格点必反之，落在球面上的倒格点必满足足，这些倒些倒格点所格点所对应的晶面族将的晶面族将产生反射，所以生反射，所以这样的球
41、称的球称为反射球。反射球。又称又称为爱瓦瓦尔德球德球Ewald)B留意：反射球中心并非倒格点位置，留意：反射球中心并非倒格点位置，O O为倒格原点。倒格原点。O如何作反射球呢如何作反射球呢? ?CO2/ 1 1 设设入射入射线线沿沿COCO方向，取方向，取线线段段CO = 2CO = 2/ / ；2 2 再以再以C C为为心，以心，以 2 2/ / 为为半径半径所作的球就是反射球。所作的球就是反射球。3 3 若若P P是球面上的一个倒格点，是球面上的一个倒格点，则则CPCP就是以就是以OPOP为为倒格矢的一族倒格矢的一族晶面晶面 hklhkl 的反射方向。虚的反射方向。虚线线表示晶面族表示晶面
42、族 hklhkl 的的轨轨迹。迹。P留意：留意：1做反射球做反射球时，C并非倒格点位置，并非倒格点位置，O为倒格原点倒格原点;2)OP间无倒格点无倒格点,所以所以CP方向的反射是方向的反射是n=1的一的一级衍射。衍射。OPQC3)而倒格矢量而倒格矢量OQ联线联线上上还还有一倒格有一倒格点，所以点，所以CQ方向的反射是二方向的反射是二级级衍射。衍射。问题：如如果果入入射射方方向向一一定定，波波长一一定定，一一族族晶晶面面是是否否可可能能同同时产生生不不同的反射同的反射级呢？呢？第四节 晶体X射线衍射的几种方法a(cos-cos0) = Hb(cos -cos 0) = Kc(cos -cos 0
43、) = L由由于于不不可可能能从从四四个个方方程程中中解解出出三三个个变量量，必必须增增加加一一个个变量量，或或者者是是波波长，或或者者是是入入射射角角。这就就构构成成了了X射射线分分析析的的几几种种主主要要方方法法：1连续的的X射射线照照射射不不动的的晶晶体体劳埃埃法法）；2周周转单晶晶体法体法(改改变入射角入射角)；3粉末法，利用粉末法，利用单色色X射射线照射多晶体。照射多晶体。1.劳厄法该方法采用方法采用连续X X射射线照射不照射不动的的单晶体，入射光方向不晶体，入射光方向不变；凡是落到凡是落到这两个球面之两个球面之间的区域的倒易格点，均的区域的倒易格点，均满足布拉格条足布拉格条件，它件
44、，它们将与将与对应某一波某一波长的反射球面相交而的反射球面相交而获得衍射。倒格得衍射。倒格点和各点和各对应球心的球心的连线都表示衍射方向。都表示衍射方向。O利用反射球来解利用反射球来解释转动单晶法：晶法：可可以以发现连续X射射线的的波波长存存在在一一个个范范围，对应的的反反射球也有一套，其半径从射球也有一套，其半径从，球心均在入射，球心均在入射线方向上。方向上。2.转动单晶法该方方法法采采用用单色色X X射射线照照射射转动的的单晶晶体体。通通常常单晶晶体体的的转动轴为某某已已知知的的主主晶晶轴，即即转动轴垂垂直直于于X X射射线。底底片片在在单晶晶体体四四周周围成成圆筒形。筒形。依依靠靠旋旋转
45、单晶晶体体以以连续改改变各各个个晶晶面面与与入入射射线的的角角来来满足足布布拉拉格格方方程程的的条条件件。在在单晶晶体体不不断断旋旋转的的过程程中中，某某组晶晶面面会会于于某某个个瞬瞬间和和入入射射线的的夹角角恰恰好好满足足布布拉拉格格方方程程，于于是是在在此此瞬瞬间便便产生生一一根根衍衍射射线束束，在在底底片片上上感感光光出出一个感光点。一个感光点。因此因此结果就构成以果就构成以转轴为轴的一系列的一系列圆锥。OOCPA利用反射球来解利用反射球来解释转动单晶法：晶法：由于由于X射射线单色，反射球只有一个，固定不色，反射球只有一个，固定不动。由于晶体由于晶体转动，倒格点，倒格点阵也会也会转动。为
46、讨论方便，方便，设倒格点倒格点阵不不动，反射球，反射球绕过O的的轴转动。反反射射球球绕轴转动一一周周，落落在在球球面面上上的的倒倒格格点点都都满足足布布拉拉格格条条件件，可可以以确确定定反反射射线的的方方向向。实际中中的的反反射射线是是通通过晶晶体体O的的，所所以以反射反射线CP就是就是OA的方向。的方向。留留意意：如如果果转轴不不是是任任意意的的，而而是是晶晶轴，则底底片片上上衍衍射射斑斑点点的分布的分布规律就特律就特别有意有意义。所所以以对应于于晶晶面面(0kl)，(1kl)，(2kl)，(hkl)的的倒倒格格点点就就分分别位位于于垂垂直直于于转轴平平面面上上。这样底底片片上上的的衍衍射射
47、斑斑点点就就和和晶晶体体的的参数存在参数存在简单的关系。的关系。OCPA例例如如：对于于正正交交系系的的晶晶体体，如如果果以以a轴为转轴，则同同a轴相相应的的倒倒格子基矢格子基矢a*的方向与的方向与转轴a重合。重合。3.粉末法该方方法法用用单色色的的X X射射线照照射射多多晶晶体体。多多晶晶体体式式样多多采采用用粉粉末末、块状、板状、状、板状、丝状等状等试样。从从反反射射球球方方面面解解释：反反射射球球只只有有一一个个，而而多多晶晶体体中中，各各个个晶晶粒粒随随机机取取向向，每每种种取取向向导致致倒倒易易点点阵的的轴矢矢发生生变化化，倒倒易易阵点点的的位位置置随随之之变化化，使使得得倒倒易易阵
48、点点与与Ewald球面相交球面相交产生衍射。生衍射。OCPhklhkl22由由于于众众多多颗粒粒在在空空间随随机机分分布布，就就使使得得在在空空间任任意意方方位位都都可可以以找找到到某某一一晶晶面面hkl），在在2方方向向上上产生生衍衍射射，结果果衍衍射射线形形成成一一个个顶角角为4，以以入入射射线为轴的的圆锥。结果果在在以以式式样为中中心心围成的成的圆筒底片上出筒底片上出现了了许多多圆环。 例例1 1：设有某一晶体具有简单正交格子的结构，其棱边长度：设有某一晶体具有简单正交格子的结构，其棱边长度分别为分别为a a、b b、c c，现在沿该晶体的，现在沿该晶体的1 1，0 0，0 0方向入射方
49、向入射X X射线。射线。（1 1确定在哪些方向上出现衍射极大？并指出在什么样的波长确定在哪些方向上出现衍射极大？并指出在什么样的波长下，能观察到这些衍射极大。（下，能观察到这些衍射极大。（2 2如果采用劳厄法作如果采用劳厄法作X-X-射线衍射线衍射实验，请指出衍射斑点的分布。射实验，请指出衍射斑点的分布。解：解：简单正交格子正格基矢：正交格子正格基矢：表示沿三个坐表示沿三个坐标轴方向的方向的单位矢量。位矢量。其倒格基矢：其倒格基矢：倒格矢：倒格矢：据据题意，入射的意，入射的X X射射线的波矢的波矢设衍射波矢衍射波矢为（衍射前后波（衍射前后波长保持不保持不变）简单正交格子正格基矢：简单正交格子正
50、格基矢：由劳厄衍射方程：由劳厄衍射方程：得：得： （2 2由波长一式可以看出，假设由波长一式可以看出，假设nh,nk,nlnh,nk,nl满足衍射极大满足衍射极大的话，那么的话，那么 也满足衍射极大。也满足衍射极大。与与 对应的衍射方向表示成对应的衍射方向表示成 。 它它们是以是以1 1，0 0，0 0为轴二度旋二度旋转对称的，所以其衍射称的，所以其衍射斑点将呈斑点将呈现出二度旋出二度旋转对称性。称性。第五节 原子散射因子和几何结构因子X射射线线与晶与晶体相互作用体相互作用X射射线线受受原子散射原子散射X射射线线受原子受原子中中电电子的散射子的散射各原子的散射各原子的散射波波间相互干涉相互干涉
51、某些方向干涉某些方向干涉极大某些方向极大某些方向干涉极小干涉极小原子散射因子原子散射因子几何几何结构因子构因子原子内每个原子内每个电子子对X X射射线散射波振幅散射波振幅AeAe原子内所有原子内所有电子子对X X射射线散射波振幅散射波振幅AaAa原子散射因子原子散射因子f=Aa/Aef=Aa/Ae1.原子散射因子(1)(1)定定义 原子内所有原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散子的散射波的振幅之比称射波的振幅之比称为该原子的散射因子。原子的散射因子。(2)计算计算OP为原子中某一点为原子中某一点P P的位矢，的位矢， 设O O处一个一个电子子产生的散
52、射波的振幅生的散射波的振幅为AeAe，则P P点的一个点的一个电子子产生的散射波的振幅就是：生的散射波的振幅就是： 和和 分别为入射方向和散射方分别为入射方向和散射方向的单位矢量，则向的单位矢量，则P P点和点和O O点散射波点散射波之间的位相差为：之间的位相差为： 设设 为电子分布函数为电子分布函数( (概率密度概率密度) )， 在在P P点附近体积元点附近体积元d d 内的内的电子个数为：电子个数为： 。 这这 个电子产生的散射波的振幅就是：个电子产生的散射波的振幅就是：原子中所有原子中所有电子引起的散射波的子引起的散射波的总振幅振幅为：原子散射因子：原子散射因子：讨论： (1) (1)由
53、于由于 一定，一定， 只依赖于散射方向，因此，只依赖于散射方向，因此，原子散射因子是散射方向的函数；原子散射因子是散射方向的函数； (2) (2)不同原子，不同原子， 不同，因此，不同原子具有不同的散射不同，因此，不同原子具有不同的散射因子；因子；(3)(3) 原子所引起的散射波的原子所引起的散射波的总振幅也是散射方向的函数，也因振幅也是散射方向的函数，也因原子而异。原子而异。若若电子分布函数是球面子分布函数是球面对称的，引入径向分布函数称的，引入径向分布函数U Ur)r) 则U(r)drU(r)dr表示表示电子在子在r r和和r+drr+dr球壳内的几率球壳内的几率把把用极坐用极坐标表示，取
54、以表示，取以S为极极轴的极坐的极坐标，那么，那么令令 即沿入射方向，原子散射波的振幅等于各个即沿入射方向，原子散射波的振幅等于各个电子散射波的子散射波的振幅的代数和。振幅的代数和。由傅里叶逆由傅里叶逆变换得：得：实验测知原子散射因子，可求出知原子散射因子，可求出电子在原子内的分布。子在原子内的分布。当当2.几何结构因子几何几何结构因子是相构因子是相对于复式格子而言的。于复式格子而言的。对于复式格子，由于复式格子，由两个以上的布拉菲格子套构而成，并且两个以上的布拉菲格子套构而成，并且这些布拉菲格子具有些布拉菲格子具有相同的周期，因而它相同的周期，因而它们衍射加衍射加强满足于相同的布拉格条件，足于
55、相同的布拉格条件，即一个布拉菲格子在某一方向得出衍射极大，即一个布拉菲格子在某一方向得出衍射极大，则其他的布拉其他的布拉菲格子也在同一方向得出衍射极大。菲格子也在同一方向得出衍射极大。很很显然，各布拉菲格子在然，各布拉菲格子在该方向的衍射极大又将相互干涉，方向的衍射极大又将相互干涉，总的衍射的衍射强度取决于各布拉菲格子的晶面度取决于各布拉菲格子的晶面间的相的相对位移，以及位移，以及这些晶面反射些晶面反射线的相的相对强度，即度，即总的衍射的衍射强度取决原胞中原子的度取决原胞中原子的相相对位置和原子的散射因子。位置和原子的散射因子。(1)(1)定定义 原胞内所有原子的散射波，在所考原胞内所有原子的
56、散射波，在所考虑方向上的振幅与一个方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。子的散射波的振幅之比。(2)(2)计算算设原胞内有原胞内有n n个原子，它个原子，它们的位矢分的位矢分别为位矢为位矢为 的原子和原点处的原子的散射波的原子和原点处的原子的散射波的位相差为：的位相差为：OP在所考虑方向上,几何结构因子为又 所以 根据 例例1 1：面心立方晶格的几何结构因子。：面心立方晶格的几何结构因子。面心立方平均每个布拉维原胞包含面心立方平均每个布拉维原胞包含4 4个原子，将其坐标个原子，将其坐标代入公式代入公式: :得：得： 当当 部分为奇数或部分为偶数时，几何结构因子为部分为奇数或部分为偶数时，几
57、何结构因子为零，相应的反射消失。零，相应的反射消失。例例2 2：体心立方晶格的几何结构因子。：体心立方晶格的几何结构因子。体心立方平均每个布拉维原胞包含体心立方平均每个布拉维原胞包含2 2个原子，将其坐标个原子，将其坐标代入公式代入公式: :得：得：例例3 3： 金金刚石石结构的几何构的几何结构因子构因子金金刚石石结构平均每个布拉构平均每个布拉维原胞包含原胞包含8 8个原子，将其坐个原子，将其坐标：代入代入S1正是在面心立方格点上所放置的基元正是在面心立方格点上所放置的基元的结构因的结构因子子。 例例4 4：一氯化铯结构的：一氯化铯结构的ABAB晶体，晶体，A A与与B B离子的散射因子分别为
58、离子的散射因子分别为fAfA和和fBfB，且为实数。，且为实数。(1)(1)求出晶体的几何结构因子；求出晶体的几何结构因子；(2)(2)设设fA=fBfA=fB，求衍射消光条件；，求衍射消光条件； (3) (3)设设fA=fBfA=fB，粉末衍射中最小衍射角为，粉末衍射中最小衍射角为300300，X X光波长为光波长为求晶格常数。求晶格常数。解解: (1)A A离子坐标为离子坐标为 ,B ,B离子坐标为离子坐标为(2)为奇数时消光。为奇数时消光。(3)对应于最小的衍射角于最小的衍射角=300=300， 例例5 5：采用转动单晶法对某一具有简单四角格子结构的单晶：采用转动单晶法对某一具有简单四角
59、格子结构的单晶体作体作X X射线衍射实验，晶体绕四度旋转轴射线衍射实验，晶体绕四度旋转轴-C-C轴进行转动，波长轴进行转动，波长 = 0. 1542nm= 0. 1542nm的的X X射线沿着垂直于射线沿着垂直于C C轴的方向入射。感光胶卷的轴的方向入射。感光胶卷的半径半径r=3cmr=3cm。第。第0 0层线上的衍射斑点离中心点层线上的衍射斑点离中心点( (即入射线的斑点即入射线的斑点) )的距离分别为的距离分别为0.540.54，0.750.75，1.081.08，1.191.19，1.521.52，1.631.63，1.711.71，1.97cm1.97cm。而第。而第1 1层线与第层线
60、与第0 0层线间的距离为层线间的距离为0.66cm0.66cm。试求该晶体。试求该晶体的晶格常量的晶格常量a a和和c c。解：四方晶系：解：四方晶系：正格基矢：正格基矢：倒格基矢：倒格基矢：中心点中心点第第0层第第1层O第第2层层(1)(1)求求c c：转轴沿转轴沿C C方向，所以所有倒格矢方向，所以所有倒格矢分别处在第分别处在第0，1，2等平面层内等平面层内,这些平面层都与这些平面层都与C轴垂直。轴垂直。OCA BOCA B第第0层第第1层第第2层 =2 中心点中心点晶面晶面L第第0 0层线上的截面上的截面图(2)(2)求求a a：10.540.751.081.521.631.711.97
61、1.1912345678(320)(320)(100)(100)(110)(110)(210)(210)(220)(220)(300)(300)(310)(310)(200)(200)0.090.1250.180.1980.2530.2720.2850.328i L(hk0)(hk0) (弧度弧度)sin 0.2840.1250.1780.1960.2500.2680.2810.3221245891013o.8590.8740.8610.8770.8710.8610.8670.863(100)(100)(110)(110)(210)(210)(220)(220)(300)(300)(310)(
62、310) (320) (320)(200)(200)Na(hk0)(hk0) 1245891013 例例6 6：已知：已知TaTa晶体属于立方晶系，现以波长晶体属于立方晶系，现以波长 =0.15405nm =0.15405nm的的X X射线对射线对TaTa晶体粉末作德拜法晶体粉末作德拜法( (粉末法粉末法) )衍射实验，假设胶卷的半衍射实验，假设胶卷的半径径r=5cmr=5cm。在胶卷上测得一系列衍射谱线，其中离中心点最近的。在胶卷上测得一系列衍射谱线，其中离中心点最近的5 5条谱线离中心点的距离分别如下表所示：条谱线离中心点的距离分别如下表所示：12345L/cm3.424.916.147.
63、308.45(1)(1)决定决定TaTa晶体属于体心立方结构还是面心立方结构；晶体属于体心立方结构还是面心立方结构；(2)(2)求出求出TaTa晶体的晶格常量。晶体的晶格常量。解：解：(1)(1)确定结构：确定结构：对于立方晶系：于立方晶系：正格正格基矢：基矢：倒格倒格基矢：基矢： =2 中心点中心点晶面晶面L =2 中心点中心点晶面晶面Lr=5cm.1 1123453.423.424.914.91 6.146.147.307.308.458.4519.619.628.128.135.235.241.841.848.448.40.3350.3350.470.470.5760.576 0.667
64、0.6670.7470.7470.5590.5590.1130.113 0.2220.222 0.3320.332 0.4440.444 /度度iLsin sin2 TaTa晶体属于什么晶体属于什么结结构呢构呢? ?考考虑到几何到几何结构因子：构因子：对于体心立方必于体心立方必须满足：足：nh+nk+nl=nh+nk+nl=偶数。偶数。对于面心立方必于面心立方必须满足：足：nhnh，nknk，nlnl全全为奇数或全奇数或全为偶数。偶数。12345(110)(110) (200)(200)(211)(211)(220)(220) (310)(310)24681012345348111211.33
65、2.6673.6674(111(111) )(200)(200) (220)(220) (311)(311)(222)(222)i(nhnknl)(bcc)(nhnknl)(bcc)N(bcc)(bcc)(bcc)N(fcc)(fcc)(fcc)(nhnknl)(fcc)(nhnknl)(fcc)TaTa晶体属于体心立方晶体属于体心立方结结构。构。由由 值比较可知，值比较可知，TaTa晶体属于体心立方结构。晶体属于体心立方结构。13.424.916.147.308.4512345246810(110)(110)(200)(200)(211)(211) (220)(220)(310)(310)(2)(2)求求a a：19.628.135.241.848.40.3350.470.5760.6670.7470.5590.1130.2220.3320.4440.3250.3270.3270.3270.326 /度度sinsin iL/cm sin2sin2 a/nmN (nhnknl)(nhnknl)
