《24.1.2垂直于弦的直径2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《24.1.2垂直于弦的直径2（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的它的跨度跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37m, 37m, 拱高拱高( (弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离) )为为7.23m7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 2 实践探究实践探究用纸剪一个圆用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直沿着圆的任意一条直径所在的
2、直线对折径所在的直线对折, 重复做几次重复做几次, 你发你发现了什么现了什么? 由此你能得到什么结论由此你能得到什么结论?可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴3如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所
3、在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧弧： 把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半两侧的两个半圆重合，点圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合， ， 分别与分别与 、 重合重合4动动脑筋动动脑筋 已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E。求证：。求证：AEBE，ACBC，ADBD。C.OAEBD叠叠 合合 法法证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB。因为垂直于弦因为垂直于弦AB的直径的直径CD所在的所在的直线既是等腰三角形直线既是等腰三角形OAB的对称轴的对称
4、轴又是又是 O的对称轴。所以，当把圆沿的对称轴。所以，当把圆沿着直径着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、 BD重合。因此重合。因此AEBE，ACBC，ADBD5垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧6命题（命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂）：
5、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC命题（命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求证：，求证：CD是直径，是直径， ADBD，ACBC命题（命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径
6、，AB是弦，并且是弦，并且ADBD （ACBC）求证：）求证：CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB .OCAEBDC7推论（推论（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧弦，并且平分弦所对和的另一条弧8垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两
7、条弧。推论推论（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧且平分弦所对的另一条弧垂径定理垂径定理记忆记忆9根据垂径定理与推论可知对于一个根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优
8、弧平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论可以推出其他三个结论注意注意10判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧( )（5）圆内两条非直径的
9、弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）11例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的的半径。半径。解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。.AEBO讲解讲解12例例2 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：
10、求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO讲解讲解13解得：解得：R273（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.52+（R7.23）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.OA2=AD2+OD2如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为半径为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，O
11、COC与与AB AB 相交于点相交于点D D，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的中的中点，点，C C是是 的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高141如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.练习练习152.在直径是在直径是20cm的的中，中，的度数是的度数是，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距是. 163.弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为则这弓形所在的圆的半径为. 17 已知已知 O的直径是的直径是50 cm， O的两条的两条平行弦平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。 .AEBOCD20152525247.AEBOCDFEF有两解：有两解：15+7=22cm 15-7=8cm18 如图，矩形如图，矩形ABCDABCD与圆与圆O O交于点交于点A A、B B、E E、F F， DE=1cm DE=1cm，EF=3cmEF=3cm，则，则AB=_cmAB=_cm519
