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1、1.4 1.4 角平分线角平分线角平分线性质角平分线性质 角的平分线角的平分线上的点到这个角上的点到这个角的两边的距离相的两边的距离相等。等。ABOPDE12C请把它转化为请把它转化为“已知已知.求证求证.”形式形式已知：如图，已知：如图，OCOC是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别为，垂足分别为D D，E E求证：求证：PD=PEPD=PEABOPDE12C证明证明:PD OA,PE OB,PDO= PEO=90又又OC是是AOB的平分线的平分线, 1= 2,在在POD和和POE中中 PDO= PEO, OP=OP,
2、1= 2, PODPOE (ASA) PD=PE (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)角的平分线上的点到这个角的角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。两边的距离相等。 定理的题设和结论分别是什么定理的题设和结论分别是什么 ？题设：题设： 一个点在角平分线上一个点在角平分线上结论：结论：这个点到这个角两边的距离相等这个点到这个角两边的距离相等角平分线性质定理角平分线性质定理: 到一个角的两边距离相等的点，到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。已知：如图，已知：如图，PDOAPDOA，PEOBPEOB，垂足分别是，垂足分别是D D， E E，PD=P
3、E. PD=PE. 求证：点求证：点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上OEBADP逆命题逆命题：12到一个角的两边距离相等的点，在这个角到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。的平分线上。角平分线判定定理角平分线判定定理:角平分线是一条角平分线是一条 组成的射线组成的射线由所有到一个角的两边由所有到一个角的两边距离相等的点距离相等的点例例1.1.求证求证: :三角形三条角平分线交于一点三角形三条角平分线交于一点. .已知已知: ABC中，中，AD、BE、CF分别是三个分别是三个内角的平分线内角的平分线.求证求证:AD、BE、CF交于一点交于一点.ECAFDB例例例例2 2、“
4、“角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边的距离边距离相等，到角的两边的距离边距离相等，到角的两边的距离边距离相等，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上相等的点在角的平分线上相等的点在角的平分线上相等的点在角的平分线上” ”。即。即。即。即如图所示：如图所示：如图所示：如图所示：若若若若BAD=BAD=CADCAD，且，且，且，且BDBDABAB于于于于B B，DCDCACAC于于于于C C，则，则，则，则BD=CDBD=CD，若若若若BDBDABAB于于于于B B，DCDCACAC于于于于C C，且，且，且，且BD=CD
5、BD=CD，则，则，则，则BAD=BAD=CADCAD试利用上述知识，解决下面的试利用上述知识，解决下面的试利用上述知识，解决下面的试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于问题：三条公路两两相交于问题：三条公路两两相交于问题：三条公路两两相交于AA、B B、C C三点，现计划修建一个商品三点，现计划修建一个商品三点，现计划修建一个商品三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路超市，要求这个超市到三条公路超市，要求这个超市到三条公路超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有距离相等，问可供选择的地方有距离相等，问可供选择的地方有距离相等，问可供选择的地方有多少处
6、？你能在图中找出来吗？多少处？你能在图中找出来吗？多少处？你能在图中找出来吗？多少处？你能在图中找出来吗？ 例例3、还记得在全等三角形、还记得在全等三角形中证明的一个习题吗？如中证明的一个习题吗？如图所示，已知：在图所示，已知：在ABC中，分别以中，分别以AC、BC为边，为边，向外作正向外作正ACD、正、正BCE，BD与与AE相交于相交于M，求，求证：证：AE=BD。这是在全等三角形中一道常见这是在全等三角形中一道常见这是在全等三角形中一道常见这是在全等三角形中一道常见的习题，你知道吗，在这个的习题，你知道吗，在这个的习题，你知道吗，在这个的习题，你知道吗，在这个结论的基础上还能证明结论的基础上还能证明结论的基础上还能证明结论的基础上还能证明MCMC平分平分平分平分DMEDME，请你试一试，请你试一试，请你试一试，请你试一试. . 例例4、如图所示，、如图所示，ABCD，B=90，E是是BC的中点，的中点，DE平分平分ADC，求证：求证：AE平分平分DAB。F角平分线性质定理、角平分线性质定理、判定定理的证明判定定理的证明真命题的证明：真命题的证明：首先转化首先转化“已知已知. .求证求证. .”
