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1、经济数学经济数学授课提纲授课提纲n 第二学期第三十七次授课第二学期第三十七次授课n授课教师：郭正光授课教师：郭正光 10.5 二二阶常系数常系数线性微分方程性微分方程 上次课内容复习：上次课内容复习：特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解二、二阶常系数非齐次线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性微分方程(1)是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 2.则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将将代入方程代入方程左端左端, 得得是非齐次方程的解是非齐次方程的解, 又又Y 中含有中含有两个独立
2、任意常数两个独立任意常数,证毕证毕因而因而 也是通解也是通解 .例如例如, 方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为 定理定理3 3 设设 和和 是是 的两个特解，则的两个特解，则 是是 的一个解。的一个解。定理定理 4. 设设分别是方程分别是方程的特解的特解, 则则是方程是方程的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 例例1 已知微分方程已知微分方程个解个解求此求此方程满足初始条件方程满足初始条件的的特解特解 .解解:是是对应齐次方程的解对应齐次方程的解, 且且常数常数因而相互独立因而相互独立, 故原故原方程通解
3、为方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求特解为有有三三 二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法一、一、 为实数为实数 ,设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式 , 代入原方程代入原方程 , 得得 (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, 则取则
4、取从而得到特解从而得到特解形式为形式为为为m次多项式次多项式 .Q (x) 为为 m 次待定系数多项次待定系数多项式式(2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , 为为m 次多项式次多项式, 故特解形式为故特解形式为(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , 是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为小结小结 对方程对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解例例2 2 求微分方程求微分方程 的通解的通解. .求微分方程求微分方程 的通解的通解. .例例3
5、 3小结：小结：对于方程对于方程设特解为设特解为（m次完全多项式）次完全多项式）当当 是特征方程的是特征方程的k重根重根时时, , 可设特解可设特解例例4 4的通解的通解. 解解: 本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为比较系数比较系数, 得得因此特解为因此特解为代入方程得代入方程得所求通解为所求通解为二、二、则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.时可设特解为时可设特解为 时可设特解为时可设特解为 提示提示:例例5 (填空填空) 设设为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 例例6 求方程求方程 的通解。的通解。本次课小结：本次课小结：对于方程对于方程一、一、 二、二、为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), EX:10-5 3, 4, 5
