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1、1 1积分变换法 积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，积分变换在数学物理方程中也有广泛的用途，变换后，方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程得以化简，偏微分方程变成常微分方程，求解常微方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，方程后，再进行逆变换就得到原来偏微分方程的解，同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数同时，积分变换还可能得到有限形式的解，分离变数法或者傅里叶级数发往往不能。法或者傅里叶级数发往往不能。 本章主要介绍本章主要介绍傅里叶变换法傅里叶变换法在求解偏微分方程中的应用。在求解偏微分方程中的应用。2 2傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换（
2、1 1）导数定理）导数定理）导数定理）导数定理（2 2）积分定理）积分定理）积分定理）积分定理（3 3）相似性定理）相似性定理）相似性定理）相似性定理3 3（4 4）延迟性定理）延迟性定理）延迟性定理）延迟性定理（5 5）位移性定理）位移性定理）位移性定理）位移性定理（6 6）卷积性定理）卷积性定理）卷积性定理）卷积性定理4 4第一节第一节 傅里叶变换法傅里叶变换法用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是用分离变数法求解有界空间的定解问题时，得到的本征值是例例例例1 1 求解无限长弦的自由振动求解无限长弦的自由振动解：解：解：解： 应用傅里叶变换，即用应用傅里叶变换，即用同乘方程和
3、定解条件同乘方程和定解条件中的各项，并对空间变量中的各项，并对空间变量x积分，积分，t看做参数，则看做参数，则分分，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。，对于无界空间的定解问题，适用于傅里叶变换法求解。连续连续的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的的，所求的解可表示为对连续本征值求积分的傅里叶积傅里叶积无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是无界空间，分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值是离散的，所求的解可表为对本征值求和的离散的，所求的解可表为对本征值求和的傅里叶级数傅里叶级数，对于，对于5 5定解问题变换成：定解问题变换成：其中其中分别是分别是的傅里叶变换，这
4、样原来的傅里叶变换，这样原来的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：的定解问题变成了常微分方程及初值条件，通解为：代入初始条件可得：代入初始条件可得：故故对对U作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：作逆傅里叶变换，可得最后的结果如下：6 6达朗贝尔公式达朗贝尔公式达朗贝尔公式达朗贝尔公式例例例例2 2 求解无限长细杆的热传导问题求解无限长细杆的热传导问题解：解：解：解： 作傅里叶变换，定解问题变为：作傅里叶变换，定解问题变为：此常微分方程的初始问题的解为此常微分方程的初始问题的解为进行傅里叶逆变换可得：进行傅里叶逆变换可得：7 7交换积分次序交换积分次序积分公式：积分公式：8 8例例例例3
5、 3求解无限长细杆的有源热传导问题求解无限长细杆的有源热传导问题解：解：解：解：作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：作傅里叶变换，定解问题变为非齐次常微分方程：令令利用上述公式可得利用上述公式可得9 9用用同乘方程各项，可得：同乘方程各项，可得：对对t积分一次，并考虑零初始值可得：积分一次，并考虑零初始值可得：进行傅里叶逆变换进行傅里叶逆变换交换积分次序可得：交换积分次序可得：1010 是单位面积硅片是单位面积硅片表层原有杂质总量表层原有杂质总量.并利用积分公式可得最后的结果为：并利用积分公式可得最后的结果为：例例例例4 4限定源扩散限定源扩散限定源扩散限定源扩散在半导体扩散工艺中，杂
6、质扩散深度远远小于硅片厚度，可在半导体扩散工艺中，杂质扩散深度远远小于硅片厚度，可硅片，这里求解的是半无界空间硅片，这里求解的是半无界空间x0中的定解问题中的定解问题:有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入有的杂质向硅片内扩散，但不让新的杂质穿过硅片表面进入以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已以把硅片看成无限厚，在限定源扩散中，是只让硅片表层已1111解解解解: :没有杂质穿过硅片表面没有杂质穿过硅片表面,即即:第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件这种边界条件意味着偶延拓这种边界条件意味着偶延拓,即求解以下定解问题即求解以下定解问题则则引用例引用例2结果可得结果可
7、得高斯函数高斯函数高斯函数高斯函数1212硅硅片片表表面面右图描述了杂质浓度右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中在硅片中即说明杂质总量不变即说明杂质总量不变,曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的曲线跟纵轴相交处的切线都是水平的,例例例例5 5恒定表面浓度扩散恒定表面浓度扩散恒定表面浓度扩散恒定表面浓度扩散在恒定表面浓度扩散中在恒定表面浓度扩散中,包围硅片气体包围硅片气体中含有大量的杂质原子中含有大量的杂质原子,源源不断穿过硅片表面向内部扩散源源不断穿过硅片表面向内部扩散,由由即硅片表面的浓度梯度为零即硅片表面的浓度梯度为零,表明没有新的杂质进入硅片表明没有新的杂质进入硅片.度趋于均匀度趋于均匀,
8、曲线下的面积为曲线下的面积为2,3依次对应越来越晚的时刻依次对应越来越晚的时刻,杂质浓杂质浓的分布情况的分布情况,曲线曲线1对应于较早的时刻对应于较早的时刻是半无界空间是半无界空间x0中的定解问题中的定解问题于杂质分子充足于杂质分子充足,硅片表面杂质浓度保持某个常数硅片表面杂质浓度保持某个常数N0,这里所求这里所求1313解解解解首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件首先把非齐次边界条件化为齐次边界条件,令令则化为关于则化为关于w的定解问题的定解问题:这是第一类齐次边界条件这是第一类齐次边界条件,意味着奇延拓意味着奇延拓,即即引用例引用例2结果可得结果可得1414第一个积分中令第一个积分中令第二
9、个积分中令第二个积分中令则有则有被积函数是偶函数被积函数是偶函数,故故误差函数误差函数误差函数误差函数记做记做erfx,则则w可写为可写为:所求的解如下所求的解如下:1515余误差函数余误差函数余误差函数余误差函数记做记做erfcx,则有则有硅硅片片表表面面右图描述了杂质浓度右图描述了杂质浓度u(x,t)在硅片中在硅片中例例例例6 6泊松公式泊松公式泊松公式泊松公式求解三维无界空间中的波动问题求解三维无界空间中的波动问题明显明显,如果扩散持续进行下去如果扩散持续进行下去,则浓度分布最终将为常数则浓度分布最终将为常数N0(虚线虚线)的时刻的时刻,杂质浓度趋于均匀的趋势很杂质浓度趋于均匀的趋势很刻
10、刻,2对应于较晚的时刻对应于较晚的时刻,3对应于更晚对应于更晚分布情况分布情况,曲线曲线1对应于某个较早的时对应于某个较早的时1616解解解解做傅里叶变换做傅里叶变换,问题变换为问题变换为常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程的初始值问题的初始值问题这个方程的解为这个方程的解为再进行傅里叶逆变换再进行傅里叶逆变换1717利用利用5.3例例1的结果的结果1818应用延迟定理应用延迟定理出现出现对对的积分只要在球面的积分只要在球面上进行上进行以以r为球心为球心(矢径矢径r),半径为半径为at为球面为球面 的面积元的面积元,此即此即泊松公式泊松公式泊松公式泊松公式. .1919三维无界空间中的波动
11、三维无界空间中的波动,只要知道初始状况只要知道初始状况,就可以用泊松公式就可以用泊松公式然后拿初始扰动然后拿初始扰动按泊松公式在球面按泊松公式在球面 上积分上积分,波动以速度波动以速度a传播传播,只有跟点只有跟点r相距相距at的那些点的初始扰动恰好在时刻的那些点的初始扰动恰好在时刻t传到传到rrdDT0初始扰动只限于区域初始扰动只限于区域T0,如图如图,取一定点取一定点r,与与T0跟跟T0不相交不相交,按泊松公式按泊松公式u(r,t)=0,表示扰动的前锋表示扰动的前锋没有到达没有到达r,当当d/atD/a, 包围了包围了T0,但跟但跟T0不相交不相交,u(r,t)=0,表明表明球心球心,以以a
12、t为半径作球面为半径作球面求以后任一时刻的状况求以后任一时刻的状况,具体说具体说,为求时刻为求时刻t在在r的的u(r,t),应以应以r为为扰动已经过去扰动已经过去.最小距离为最小距离为d,最大距离为最大距离为D,当当td/a,跟跟T0总有重叠总有重叠,积分一般不为零积分一般不为零在点在点(x,y)总有扰动总有扰动,可以看成某种三维波动的剖面可以看成某种三维波动的剖面.2525例例例例1 1计算计算的三重傅里叶变换，的三重傅里叶变换，r是球坐标中的极径是球坐标中的极径C为正实数为正实数解解解解的三重傅里叶变换为的三重傅里叶变换为化成极坐标计算，以化成极坐标计算，以k的方向作为球坐标系的极轴方向的方向作为球坐标系的极轴方向
