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1、2.4.1平面向量的数量积向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作 =a, =b,则 叫做向量a与b的夹角 当 时，a与b ； 当 时，a与b； 当 时，a与b，记作反向同向垂直如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOA问题情境FFSW=FW=FS SCOSCOSF是_量，S是_量，W是_量，矢矢矢矢标标思考1：向量的数量积运算与向量的线性运算结果有什么区别？向量线性运算的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）1、数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为
2、 ，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积）记作即 并规定 b bCOSCOS叫做向量b b在向量a a上的投影。（1）思考2：在下列各图中作出b bCOSCOS的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OAB（2）abOAB（3）ababAO过b的终点B作OAa的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =b bCOSCOS投影是向量吗投影是一个数值（实数），当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值。时时b bCOSCOS时时b bCOSCOS时时b bCOSCOSb bb b0B数量积ab等于a的长度aa与b在a的方向上的投影b bCOSCOS的积ab的几何意义：2、向量数量积的几何意义
3、ab=aab bCOSCOSa ab bOBOB b bCOSCOS3、向量数量积的性质设a a,b b都是非零向量，e e是与b b的方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 (1)e ea a=_;a ae e=_ (2)a ab b_a ab b=0(3)当a a与b b同向时，a ab b=_ 当a a与b b异向时，a ab b=_ a aa a=_= (4) a ab _b _ aab b(5)cos _a aCOSCOSa aCOSCOSaab b-a-ab bab=aab bCOSCOSe ea a=a ae e=a aCOSCOS性质4ab=aab bCOSCOS（1）若a=0
4、a=0，则对任意向量b b，有a ab=b=0 （）（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a a b b 0 ( )（3）若a 0a 0，且a ab b=0，则b=0 0 （）（4）若a ab b=0 ，则a=0a=0或b=0b=0 （）（5）对任意向量a a有 （）（6）若a 0a 0，且a ab= ab= ac c ，则b=c b=c （）4、反馈练习:判断正误a a=|a|=|a|向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的5 5、典型例题分析、典型例题分析ab=aab bCOSCOS例题例题进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角ab=
5、aab bCOSCOSTHANK YOUSUCCESS2024/8/3111可编辑24135钝角直角020ab=aab bCOSCOS6、课时作业：1、已知|p p|8，|q q|6，p p和q q的夹角是60，求p pq q2、设|a a|12，|b b|9，a ab b ，求a a和b b的夹角3、已知 中，ABa a，ACb b 当a ab b0时， 是三角形； 当a ab b=0时， 是三角形4、已知|a a|6，e e为单位向量，当它们的夹角分别为 45、90、135时，求出a a在e e方向上的投影 5、已知 中a5，b8，C60，求BCCA作业57 7、总结提炼、总结提炼（1 1
6、）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质几何意义及其性质（2 2）向量的数量积的物理模型是力做功）向量的数量积的物理模型是力做功（3 3） a ab b的结果是一个实数（标量）的结果是一个实数（标量）（4 4）利用）利用a ab=ab=ab bCOSCOS ，可以求两向量，可以求两向量 的夹角，尤其是判定垂直的夹角，尤其是判定垂直（5 5）五条基本性质要掌握）五条基本性质要掌握ab=aab bCOSCOS8、作业布置优化设计P82随堂训练1、4、6P83强化训练2、8ab=aab bCOSCOS证明向量数量积性质4(4) a ab b
7、aab b因为a ab=ab=ab bCOSCOS 所以a ab b =a=ab bCOSCOS又又COSCOS1 1所以 a ab b aab b思考：在什么情况下取等号？返回练习ab=aab bCOSCOS反馈练习（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a a b b 0吗？分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角时a ab=b=0返回练习谢谢大家！谢谢大家！反馈练习（6）若a 0a 0，且a ab= ab= ac c ，则b= c(b= c( ) )ab=aab bCOSCOS分析：由右图易知，虽然a ab= ab= ac c ，但b bc ca ac cb b返回例题返回反馈练习课堂作业5已知 中a a5，b b8 ，C60，求BCCA解：BCCA a ab b=a ab bCOSCOS(180- 60) =5 8 cos 120 =-20ACBab=aab bCOSCOS60120 a ab bDTHANK YOUSUCCESS2024/8/3120可编辑
