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1、2.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理1.复习回顾复习回顾(2) 共线向量的一个充要条件共线向量的一个充要条件: 0时时, 与与 同向同向;=0时时,(1) 实数与向量的积实数与向量的积 :定理：定理：向量向量 与非零向量与非零向量 共线的充要条共线的充要条件是有且仅有一个实数件是有且仅有一个实数 ，使，使（3）向量的加法：OBCAOAB平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则例例1 已知向量已知向量 (图图 (1)，求作向量，求作向量作法作法: 1.如图如图(2)，在平面内任取一点，在平面内任取一点O，(1)OACB(2)2. 作平行四边形作平行四边形OACB.COAB 推推广广
2、：已已知知 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线的的向向量量，则则对对于于给给定定的的两两个个实实数数 1、 2，都都可可以以在在这这个个平平面面内内作作出出唯唯一一的的一一个个向量向量 满足满足思考思考：设设 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任何一个向线向量，那么对该平面内的任何一个向量量 ，是否存在唯一一对实数，是否存在唯一一对实数 1、 2，使得使得 OANMB C 如如果果 是是同同一一平平面面内内的的两两个个不不共共线线向向量量，那那么么对对这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 1、 2，使，使
3、2. 平面向量的基本定理：平面向量的基本定理：注意：注意： (1) 不共线的向量不共线的向量 叫做表示叫做表示这一平面内所有向量的一组基底这一平面内所有向量的一组基底. (2) 实数实数 1， 2的确定是由平面几何的确定是由平面几何作图得到的，同时也应用了上节课的共作图得到的，同时也应用了上节课的共线向量基本定理线向量基本定理(3) 对该定理重在应用对该定理重在应用）平面向量基本定理的）平面向量基本定理的拓展拓展 探究探究1：一组平面向量的基底有多少对？一组平面向量的基底有多少对？无数对无数对 探究探究2： 若基底选择不同，则表示同一向量的若基底选择不同，则表示同一向量的实数实数是否相同？是否
4、相同？可以相同可以相同,也可不也可不同同O OF FC CE EA AE EB BN N解：解：在在 ABCD中，中，MACBD例例2 如图，如图， ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M,例例3 如图，如图， ABCD中，中，E，F分别为分别为BC，DC的中点的中点,ACBDFE解：解：设设解方程组解方程组O A B P另解另解:可以试着将可以试着将 说明：说明：(1) 本题是个重要题型：设本题是个重要题型：设O为为平面上任一点，则：平面上任一点，则：A、P、B三点共线三点共线 或令或令 = 1 t， = t，则，则 A、P、B三点共线三点共线 (其中其中 + = 1) (2)
5、当当t = 时，时， 常称常称为为OAB的中线公式的中线公式(向量式向量式) 1当平面内取定一组基底当平面内取定一组基底 后，后，任一向量任一向量 都被都被 唯一确定，其含义唯一确定，其含义是存在唯一数对是存在唯一数对( 1， 2)，使，使 归纳小结归纳小结2三点三点A、B、C共线共线 (其中其中 1， 2 R且且 1 + 2 = 1)D巩固练习：巩固练习： 2如如图图，ABC中中，点点M是是BC的的中中点点，点点N在在边边AC上上，且且AN = 2NC，AM与与BN相交于点相交于点P，求，求AP ：PM的值的值巩固练习：巩固练习：4 : 11.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内
6、以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同不同，表示也不同.2.对于两个向量对于两个向量a，b，将它们用同一组基底表示，我们可，将它们用同一组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映通过分析这两个表示式的关系，来反映a与与b的关系的关系.3.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.平面向量基本定理 1. 教材教材P109练习第练习第1、2题题(书上书上). 2. 教教材材P110习习题题5.3中中第第6、7题题(本上本上). 3.数学之友数学之友T5.5作业作业
