第四章量纲分析与相似

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1、第四章第四章 量纲分析和相似原理量纲分析和相似原理 第一节第一节 量纲分析的意义和量纲和谐原理量纲分析的意义和量纲和谐原理 一、量纲的概念一、量纲的概念 单位（单位（Unit） ：量度各种物理量数值大小的标准量，量度各种物理量数值大小的标准量，称单位称单位。如。如长度单位为长度单位为m或或cm等。等。“量量”的表的表征。征。量纲（量纲（Dimension）：）：撇开单位的大小，表征物理量的撇开单位的大小，表征物理量的性质和性质和 类别。类别。 如长度量纲为如长度量纲为L。 “质质”的表征。的表征。基本量纲（基本量纲（Fundamental Dimension）：）：具有具有独独立性立性的，不能

2、由其他的，不能由其他量纲量纲推导出来的量纲叫做推导出来的量纲叫做基本量纲。基本量纲。一般取一般取质量质量M M，长度长度L L、时间时间T T、即即M- L-T为基本量纲体系。为基本量纲体系。导出量纲（导出量纲（Derived Dimension）: :是指由基是指由基本量纲导出的量纲本量纲导出的量纲。 量量纲纲A= L2 = ML-3 F = MLT -2 量纲公式量纲公式:某某一一物物理理量量q q的的量量纲纲 q q都都可可用用3 3个个基基本本量量纲纲的的指指数乘积形式表示数乘积形式表示几何学量纲：几何学量纲： = 0，0， =0运动学量纲：运动学量纲： = 0，0，0动力学量纲：动力

3、学量纲：0，0，0分分 类类二、无量纲量二、无量纲量 当当则则q= 1 无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到；可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零得到。指数为零得到。 特点：特点：(1)(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；(2)(2)不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数；不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数；(3)(3)在在超超越越函函数数（对对数数、指指数数、三三角角函函数数）运运算算中中， 均应用无量纲量

4、。均应用无量纲量。三、量纲和谐原理三、量纲和谐原理 （Theory of Dimensional Homogeneity） 凡凡是是正正确确反反映映客客观观规规律律的的物物理理方方程程，其其各各项项的的量量纲纲都都必必须须是是一一致致的的，即即只只有有方方程程两两边边量量纲纲相相同同，方方程程才才能能成立。这称为量纲和谐原理。成立。这称为量纲和谐原理。量纲和谐原理的重要性：量纲和谐原理的重要性： b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。指数。 c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组织实验过程、整

5、理实验成果提供理论指导。织实验过程、整理实验成果提供理论指导。 a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验物理方程或经验公式的正确性和完整性。物理方程或经验公式的正确性和完整性。第二节第二节 量纲分析法量纲分析法 一、瑞利法（一、瑞利法（Rayleigh） 瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。具体分析步骤如下：具体分析步骤如下：1、 确定与所研究的物理现象有关的确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；个物理量；2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：3、 根据量纲和谐原理，即等

6、式两端的量纲应该相同，确定物根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数理量的指数a，b，p，代入指数方程式即得各物理量之间代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。的关系式。应用范围：应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数一般情况下，要求相关物理量个数 n 不超不超过过4个，待求量纲指数不超过个，待求量纲指数不超过3个。个。【例例4-14-1】求水泵输出功率的表达式求水泵输出功率的表达式 【例例4-24-2】求圆管层流的流量关系式求圆管层流的流量关系式 （P74P74）二、布金汉（二、布金汉（Buckingham）定理（定理（ 定理）定理）若某一物理过程包含若某一物理过程包含

7、n n个物理量，即个物理量，即 其中有其中有m m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量）则该物理过程可由则该物理过程可由n n个物理量构成的个物理量构成的n nm m个无量纲项所表达的个无量纲项所表达的关系式来描述关系式来描述 ，即，即 定理的解题步骤：定理的解题步骤：（1）确定关系式：）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式：这个现象的各个物理量及其关系式：（2）确确定定基基本本变变量量：从从n个个物物理理量量中中选选取取m个个基基本本物物理理量量，一一般般取取m=3，如如q

8、1、 q2、 q3。在在管管流流中中，一一般般选选d， ， 三三个个作作基本变量，而在明渠流中，则常选用基本变量，而在明渠流中，则常选用H， ， 。（3 3）基本变量依次与其余物理量组成）基本变量依次与其余物理量组成项项，即，即 （4）满足）满足为无量纲项，定出上面各项中基本量的指数为无量纲项，定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci（5）整理方程式）整理方程式 选择基本变量的原则：选择基本变量的原则：1）基本变量与基本量纲相对应基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲。即若各物理量中基本量纲（M，L，T）出现三个，那么基本变量也选三个；倘若基出现三个，那么基本变量也选三个；

9、倘若基本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。2）选择基本变量时，应选择重要的变量选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要。换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。基本变量应在每组量纲中只能选择一个。应用范围：应用范围：对相关物理量个数对相关物理量

10、个数 n 没有限制，应用没有限制，应用更为普遍。更为普遍。例例 用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式 0。已。已知知 0与液体的密度与液体的密度 ，液体的动力沾滞系数，液体的动力沾滞系数 ，圆管直径，圆管直径D，管管壁材料的粗糙度壁材料的粗糙度 以及管中断面平均流速以及管中断面平均流速 有关。有关。解解 f（D、 v 、 、 0 、 、 ）=0从各独立影响因素中选取从各独立影响因素中选取D（几何几何量）、量）、 （运动量）、运动量）、 （动（动力量）为基本量建立（力量）为基本量建立（63 ） 项：项：对对 1 ：同理求得同理求得将各将各 代入

11、得代入得整理得整理得令令 ，则，则例题例题：管中紊流，单位管长沿程水头损失管中紊流，单位管长沿程水头损失hf /L，取决于下列因素：取决于下列因素： 流速流速v，管径管径D，重力重力g，动力粘度动力粘度 ，管壁粗糙高度，管壁粗糙高度 和密度和密度 。 试用试用 定理分析确定方程的一般形式。定理分析确定方程的一般形式。解：解：取取v， d， 为基本变量，则为基本变量，则 的个数的个数 n-m=7-3=4进行量纲分析，则有进行量纲分析，则有a1 = 0， b1= 0， c1 = 0 a2 = 1， b2=1，c2 = 1a3 = 0， b3 = 1，c3 = 0a4 = 2， b4 = - 1，

12、c4 = 0即即解得：解得：第三节第三节 相似原理相似原理一、流动相似一、流动相似原型原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。天然水流和实际建筑物称为原型。模型模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例通常把原型（工程实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代关系缩小（或放大）的代 表物，称为模型。表物，称为模型。水力学模型试验的目的：水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。究原型水流问题。关键问题：关键问题：使模型水流和原型水流保持使模型水流和原型水流保持流动相似流动相似。流流动动相相似似：若若两两个个流流动动的的对对应应点点

13、上上的的同同名名物物理理量量（如如速速 度度 、 压压 强强 及及 各各 种种 作作 用用 力力 等等 ） 具具 有有 各各 自自 的的 固固 定比例关系，则这两个流动就是相似的。定比例关系，则这两个流动就是相似的。模型和原型保证模型和原型保证流动相似流动相似，应满足：，应满足： 几何相似几何相似 运动相似运动相似 动力相似动力相似 初始条件和边界条件相似初始条件和边界条件相似1. 1. 几何相似几何相似（geometric similarity） 指指原原型型和和模模型型两两个个流流场场的的几几何何形形状状相相似似，即即对对应应的线段长度成比例、夹角相等。的线段长度成比例、夹角相等。 以脚标

14、以脚标p表示原型、表示原型、m表示模型，则有表示模型，则有长度比尺长度比尺面积比尺面积比尺 体积比尺体积比尺 2. 运动相似运动相似（kinematic similarity） 指指原型和模型原型和模型流体运动的速度场相似，即两流场各相流体运动的速度场相似，即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度应点（包括边界上各点）的速度u u 及加速度及加速度 a a 方向相方向相同，且大小具有同一比值。同，且大小具有同一比值。速度比尺速度比尺 加速度比尺加速度比尺 3.3.动力相似（动力相似（dynamic similaritydynamic similarity） 指指原型和模型原型和模型流动相应点处

15、质点受同名力作用，力的流动相应点处质点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。方向相同，大小成比例。 分分别别以以符符号号T T、G G、P P、T Tw w和和I I代代表表影影响响流流体体运运动动的的作作用用力力，如如粘粘滞滞力力、重重力力、压压力力、表表面面张张力力和和惯惯性性力力，则则有有力的比尺力的比尺4.4.初始条件和边界条件相似初始条件和边界条件相似边界条件相似边界条件相似指两个流动相应边界性质相同，如原型指两个流动相应边界性质相同，如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。中的自由液

16、面，模型相应部分也是自由液面。 对于非恒定流动，还要满足对于非恒定流动，还要满足初始条件相似初始条件相似；而对于；而对于恒定流动，无需初始条件相似。恒定流动，无需初始条件相似。流动相似的进一步解释：流动相似的进一步解释：边界条件和初始条件相似边界条件和初始条件相似以及以及几何相似几何相似是流动相似是流动相似的前提与依据；的前提与依据；动力相似动力相似是决定流体运动相似的主导因素；是决定流体运动相似的主导因素；运动相似运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是流是几何相似和动力相似的最终表现，是流动相似的目标；动相似的目标；凡流动相似的原型与模型流动，必然同时满足几何凡流动相似的原型与模型流动，

17、必然同时满足几何相似、动力相似、动力相似相似和运动相似和运动相似。二、动力相似准则二、动力相似准则 动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持某种固定不变的比例关系。保持某种固定不变的比例关系。1 1、雷诺（粘滞力）准则、雷诺（粘滞力）准则考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系 无量纲数无量纲数ReRe称雷诺数（称雷诺数（Reynolds numberReynolds number） v雷雷诺诺数数表表示示惯惯性性力力与与粘粘滞滞力力之之比比。两两相相似似流流动动，粘粘滞滞力起主要作用时，雷诺数相等。力起主要作

18、用时，雷诺数相等。适用范围适用范围：水流阻力即粘滞力水流阻力即粘滞力起主要作用起主要作用的有压流动，的有压流动，如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。问题等。2.2.弗劳德（重力）准则弗劳德（重力）准则 考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系 v弗弗劳劳德德数数（FroudeFroude numbernumber）表表征征惯惯性性力力与与重重力力之之比比。两相似流动，重力起主要作用时，弗劳德数相等。两相似流动，重力起主要作用时，弗劳德数相等。适适用用范范围围：凡凡有有自自由由水水面面并并且且允允许许

19、水水面面上上下下自自由由变变动动的的各各种种流流动动（重重力力起起主主要要作作用用的的流流动动），如如堰堰坝坝溢溢流流、孔孔口口出出流流、明明槽槽流流动动、紊紊流流阻阻力力平平方方区区的的有有压压管管流流与与隧隧洞洞流动等。流动等。 3. 3. 欧拉（压力）准则欧拉（压力）准则 考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系 v欧欧拉拉数数（Euler Euler numbernumber）表表征征压压力力与与惯惯性性力力之之比比。两相似流动，压力起主要作用时，两相似流动，压力起主要作用时，欧拉欧拉数相等。数相等。由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，由于压

20、力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳德准则压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳德准则成立时，欧拉准则可自行成立。成立时，欧拉准则可自行成立。 4. 4. 韦伯（表面张力）准则韦伯（表面张力）准则考虑原型与模型之间表面张力与惯性力的关系考虑原型与模型之间表面张力与惯性力的关系 v韦韦伯伯数数（Weber Weber numbernumber）表表征征惯惯性性力力与与表表面面张张力力之之比比。两相似流动，表面张力起主要作用时，两相似流动，表面张力起主要作用时，韦伯韦伯数相等。数相等。5. 马赫准则（马赫数）马赫准则（马赫数）高速气流中，考虑原型与模

21、型之间弹性力与惯性力高速气流中，考虑原型与模型之间弹性力与惯性力的关系的关系 v马马赫赫数数（Mach Mach numbernumber）表表征征惯惯性性力力与与弹弹性性力力之之比比。两两相相似似流流动动，弹弹性性力力起起主主要要作作用用时时（如如水水击击，空空气气动动力力学学中中的亚音速或超音速运动等）的亚音速或超音速运动等），马赫数相等。，马赫数相等。思考：思考：为什么每个相似准则都要表征惯性力？为什么每个相似准则都要表征惯性力？ 作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用态的力外，

22、其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律个力多边形的合力，即牛顿定律 ，流动的变化就，流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。第四节第四节 模型实验模型实验 建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以模建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以模型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。型实验的结果预

23、测原型将会发生的流动现象及规律。 一、模型律的选择一、模型律的选择 为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外，为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外，各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足各准则很困难，甚至是不可能的。（见书上推导）足各准则很困难，甚至是不可能的。（见书上推导） 原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为雷诺模型律雷诺模型律。原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称为原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称为弗劳德模型律弗劳德模型律。 v模型实验想做到与原型模型实

24、验想做到与原型完全流动相似是困难的完全流动相似是困难的，一，一般只能达到般只能达到近似相似近似相似，就是保证，就是保证对流动起主要作用对流动起主要作用的力相似的力相似，这就是模型律的选择问题。，这就是模型律的选择问题。 实际模型试验中，根据流动的特点，实际模型试验中，根据流动的特点，抓住主要矛盾抓住主要矛盾。在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只满足弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模满足弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模区，只需满足几何相似），即可近似认为流动相似，区，只需满足几何相似），即可近似认为流动相似，在主要方面满足试验要求

25、。在主要方面满足试验要求。 二、模型设计二、模型设计 步骤：步骤：1 1、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定出长度比尺出长度比尺l l；再以选定的比尺缩小原型的几何尺再以选定的比尺缩小原型的几何尺寸，得出模型区的几何边界；寸，得出模型区的几何边界； 2 2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律；用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律； 3 3、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺v v及及模型的流量。模型的流量。 例题：书例题：书P84例例 长度比长度比 l=50的船舶模型，在水池中以的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进的速度牵引前进时，测得波浪阻力为时，测得波浪阻力为0.02N。求（求（1）原型中的波浪阻力；）原型中的波浪阻力；2）原型中船舶航行速度；（原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？）原型中需要的功率？ 解解 由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等应相等由于由于gp= gm ，故上式可写成故上式可写成或或由于由于所以所以