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1、2 2 线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义线性空间的定义 与简单性质与简单性质与简单性质与简单性质3 3 维数维数维数维数 基与坐标基与坐标基与坐标基与坐标4 4 基变换与坐标变换基变换与坐标变换基变换与坐标变换基变换与坐标变换1 1 集合集合集合集合 映射映射映射映射5 5 线性子空间线性子空间线性子空间线性子空间7 7 子空间的直和子空间的直和子空间的直和子空间的直和8 8 线性空间的同构线性空间的同构线性空间的同构线性空间的同构6 6 子空间的交与和子空间的交与和子空间的交与和子空间的交与和小结与习题小结与习题小结与习题小结与习题第六章第六章 线性空间线性空间在日常生活中，随处都
2、可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、线性空间中向量之间的线性关系一、线性空间中向量之间的线性关系 二、线性空间的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标 6.3 维数维数 基与坐标基与坐标在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么引引入入即线性空间的构造如何？即线性空间的构造如何？怎样才能便于运算？怎样才能便于运算？问题问题如何把线性空间的全体元素表示出来？如何把线性空间的全体元素表示出来？这些元素之间的关系又如何呢？这些元素之间的关系又如何呢？（基的问题）（基的问题）问题问题线
3、性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西数发生联系数发生联系, ,使其能用比较具体的数学式子来表达？使其能用比较具体的数学式子来表达？（坐标问题）（坐标问题） 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、线性空间中向量之间的线性关系一、线性空间中向量之间的线性关系 1 1、有关定义、有关定义设设V 是数域是数域 P 上的一个线性空间上的一个线性空间（1）和式和式 的一个的一个线性组合线性组合称为向量组称为向量组（2） ，若存在，若存在 则称向量则称向量 可经向量组可经向量组 线性表出线性表
4、出；使使在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么若向量组若向量组 中每一向量皆可经向量组中每一向量皆可经向量组 线性表出，则称向量组线性表出，则称向量组可经向量组可经向量组 线性表出线性表出； 若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组为为等价的等价的 （3），若存在不全为零的数，若存在不全为零的数 ，使得，使得 则称向量组为则称向量组为线性相关线性相关的的；在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（4）如果向量组如果向量
5、组 不是线性相关不是线性相关的，即的，即只有在时才成立，只有在时才成立， 则称则称为为线性无关线性无关的的 （1）单个向量单个向量 线性相关线性相关 单个向量单个向量 线性无关线性无关 向量组向量组线性相关线性相关 中有一个向量可经其余向量中有一个向量可经其余向量线性表出线性表出 2 2、有关结论、有关结论在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（2）若向量组线性无关，且可被若向量组线性无关，且可被向量组向量组 线性表出，则线性表出，则 若若 与与 为两线性无关的为两线性无关的等价向量组，则等价向量组，则 （3）若向量组线性无关，
6、但向量组若向量组线性无关，但向量组 线性相关，则线性相关，则 可被向量组可被向量组 线性表出，且表法是唯一的线性表出，且表法是唯一的在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 因为，对任意的正整数因为，对任意的正整数 n，都有，都有 n 个线性无关的个线性无关的向量向量1 1、无限维线性空间、无限维线性空间 若线性空间若线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，中可以找到任意多个线性无关的向量，则称则称 V 是是无限维线性空间无限维线性空间 例例1 所有实系数多项式所成的线性空间所有实系数多项式所成的线性空间 Rx 是是无限维
7、的无限维的. 1，x，x2，xn1二、线性空间的维数、基与坐标二、线性空间的维数、基与坐标 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2、有限维线性空间、有限维线性空间 n 维线性空间维线性空间；常记作；常记作 dimV n .（1 1）n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间：若在线性空间若在线性空间 V 中有中有 n 个线性无关的向量，但是个线性无关的向量，但是任意任意 n1 个向量都是线性相关的，则称个向量都是线性相关的，则称 V 是一个是一个 注：注：注：注：零空间的维数定义为零空间的维数定义为0. .dimV 0
8、V0在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在在 n 维线性空间维线性空间 V 中，中，n 个线性无关的向量个线性无关的向量 （2 2）基基基基，称为，称为 V 的一组的一组基基；下的下的坐标坐标，记为，记为 （3 3）坐标坐标坐标坐标设设 为线性空间为线性空间 V 的一组基，的一组基， 则数组，就称为则数组，就称为 在基在基 若若在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么有时也形式地记作有时也形式地记作 注意：注意：注意：注意：向量向量 的坐标的坐标 是被向量是被向量
9、 和基和基 唯一确定的即向量唯一确定的即向量 在基下的坐标唯一的在基下的坐标唯一的. . 但是，在不同基下的坐标一般是但是，在不同基下的坐标一般是不同的不同的 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3、线性空间的基与维数的确定、线性空间的基与维数的确定定理定理定理定理：若线性空间若线性空间V中的向量组中的向量组 满足满足 ） 线性无关；线性无关； ） 可经可经 线性表出线性表出 ,则则V为为n 维线性空间，维线性空间， 为为V的一组基的一组基 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费
10、这一点点算不了什么证明证明： 线性无关，线性无关， V的维数的维数至少为至少为 n 任取任取V中中 n1个向量个向量 ，由由)，向量组，向量组 可用向量组可用向量组若是线性无关的，则若是线性无关的，则n1n，矛盾，矛盾 线性表出线性表出. . V中任意中任意n n1 1个向量是线性相关的个向量是线性相关的 故，故，V是是n 维的，维的， 就是就是V的一组基的一组基 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例23 维几何空间维几何空间R3 是是R3的一组基；的一组基； 也是也是R3的一组基的一组基一般地，向量空间一般地，向量空间为
11、为n维的，维的， 就是就是 Pn 的一组基称为的一组基称为Pn的的标准基标准基. 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 n 维线性空间维线性空间 V 的基不是唯一的，的基不是唯一的，V中任意中任意 n个个 任意两组基向量是等价的任意两组基向量是等价的 例例3（1）证明：线性空间）证明：线性空间Pxn是是n 维的，且维的，且注意：注意：注意：注意：线性无关的向量都是线性无关的向量都是V的一组基的一组基 （2）证明：）证明：1，xa，(xa)2，(xa)n11，x，x2，xn1 为为 Pxn 的一组基的一组基 也为也为Pxn的一组
12、基的一组基在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么证证:（1）首先，首先，1，x，x2，xn1是线性无关的是线性无关的 1，x，x2，xn1为为Pxn的一组基，的一组基，从而，从而，Pxn是是n维的维的.其次，其次， 可经可经 1，x，x2，xn1线性表出线性表出 注：注：注：注：在基在基1，x，x2，xn1下的坐标就是下的坐标就是此时，此时，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（2）1，xa，(xa)2，(xa)n1是线性无关的是线性无关的 又对又对 ，按泰勒展
13、开公式有，按泰勒展开公式有 即即, ,f(x)可经可经1，xa，(xa)2，(xa)n1线性表出线性表出. .1，xa，(xa)2，(xa)n1为为Pxn的一组基的一组基 在基在基1，xa，(xa)2，(xa)n1下的坐标是下的坐标是 注：注：注：注：此时，此时，在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么若把若把C看成是实数域看成是实数域R上的线性空间呢？上的线性空间呢？ 而实数域而实数域R上的线性空间上的线性空间C为为2维的，数维的，数1，i 就为就为例例4求全体复数的集合求全体复数的集合C看成复数域看成复数域C上的线性上的线性空
14、间的维数与一组基；空间的维数与一组基；解：解：复数域复数域C上的线性空间上的线性空间C是是1维的，数维的，数1就是它的就是它的一组基；一组基；它的一组基它的一组基 注注注注：任意数域任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，看成是它自身上的线性空间是一维的， 数数1就是它的一组基就是它的一组基.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解：解：令令 则则 是线性无关的是线性无关的事实上，由事实上，由 ，即，即 有有 又对又对 ，有，有 例例5求数域求数域P上的线性空间的维数和一组基上的线性空间的维数和一组基 是是 的一组基，的一组
15、基， 是是4维的维的 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么矩阵矩阵 在基在基 下的下的 坐标就是坐标就是 一般地，数域一般地，数域P上的全体上的全体 矩阵构成的线性空间矩阵构成的线性空间为为 维的，维的， 注：注：注：注： 就是就是 的一组基的一组基 矩阵单位矩阵单位在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么下的坐标，其中下的坐标，其中 解：解：设设 ，则有线性方程组，则有线性方程组解之得，解之得， 在基在基 下的坐标为下的坐标为 例例6在线性空间在线性空间 中求向
16、量中求向量 在基在基 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么练习练习1. .已知全体正实数已知全体正实数R对于加法与数量乘法：对于加法与数量乘法：构成实数域构成实数域R上的线性空间，求上的线性空间，求R的维数与一组基的维数与一组基. . 2. .求实数域求实数域R上的线性空间上的线性空间V的维数与一组基的维数与一组基. .这里这里在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 1 解解: 数数1是是R的零元素的零元素.即即 x 可由可由 a 线性表出线性表出.任取任取R中
17、的一个数中的一个数 a , 且且 ，则，则a是线性无关是线性无关的的.故故R是一维的，任一正实数就是是一维的，任一正实数就是R的一组基的一组基.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 2 解解: 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么下证线性无关下证线性无关. . 设设得齐次线性方程组得齐次线性方程组其系数行列式其系数行列式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么方程组方程组只有零解：只有零解：故线性无关故线性无关. . 又由又由知，任意均可表成的线性组合，知，任意均可表成的线性组合，所以所以V为三维线性空间，就是为三维线性空间，就是V V的一组基的一组基. .
