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1、主要内容主要内容集合集合集合集合第第 一一 节节 集合集合 映射映射映射映射映射映射一、集合一、集合1. 集合的定义集合的定义集合集合集合是数学中最基本的概念之一，集合是数学中最基本的概念之一，它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解释释. 所谓所谓集合集合是指由一些确定的对象是指由一些确定的对象(或事物或事物)汇集汇集成的整体，其中每个对象叫集合的成的整体，其中每个对象叫集合的元素元素.通常用大写字母通常用大写字母 A，B，X，Y 等表示集合，用等表示集合，用小写字母小写字母 a, b, x, y 等表示集合的元素等表示集合的元素.如果元素如果
2、元素 a在集合在集合 A 中，就说中，就说“a 属于属于 A”，记作记作 a A ；如果元素如果元素 a 不在集合不在集合 A 中，就说中，就说“a 不属于不属于 A”，记作记作 a A .2. 集合的表示法集合的表示法集合的表示法有两种：集合的表示法有两种：列举法列举法和和描述法描述法.列举法列举法 : 把集合中的元素一一列举出来把集合中的元素一一列举出来.例如，设例如，设 M 是由数是由数1, 2, 3 组成的集合，则组成的集合，则 M可记为可记为M = 1, 2, 3.描述法描述法: 即用集合中全部元素所具有的特征即用集合中全部元素所具有的特征性质来表述集合性质来表述集合. 其格式是其格
3、式是M = a | a 具有的性质具有的性质 .例如，适合方程例如，适合方程的全部点的的全部点的集合集合 M 可写成可写成又例如，两个多项式又例如，两个多项式 f (x) , g (x) 的公因式的集合的公因式的集合可可写成写成M = d(x) | d(x) | f (x) , d(x) | g (x) .3. 空集合空集合不包含任何元素的集合称为不包含任何元素的集合称为空集合空集合,记为记为 .例如，例如， 一个无解的线性方程组的解集合是空集合一个无解的线性方程组的解集合是空集合.把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不很一致，但是在数学上有好处，
4、同时也不是完全没很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没有道理的，正如把有道理的，正如把 0 也看作是数一样也看作是数一样.4. 两个集合之间的关系两个集合之间的关系1) 相等相等如果两个集合如果两个集合 M 与与 N 含有完全相同的元素，含有完全相同的元素，即即 a M 当且仅当当且仅当 a N，那么它们就称为那么它们就称为相等相等，记为记为M = N .2) 子集合子集合如果集合如果集合 M 的元素全是集合的元素全是集合 N 的元素，即由的元素，即由a M 可以推出可以推出 a N，那么那么 M 就称为就称为 N 的的子集子集合合，记为，记为 M N 或或 N M .例如，全体偶数组成
5、的集合是全体整数组成的例如，全体偶数组成的集合是全体整数组成的集合的子集合集合的子集合. 按定义，每个集合都是它自身的子按定义，每个集合都是它自身的子集合集合.我们规定，空集合是任一集合的子集合我们规定，空集合是任一集合的子集合.两个集合两个集合 M 和和 N 如果同时满足如果同时满足 M N 和和 N M，则则 M 和和 N 相等相等.3) 交集交集设设 M，N 是两个集合，既属于是两个集合，既属于 M 又属于又属于 N 的的全体元素所组成的集合称为全体元素所组成的集合称为 M 与与 N 的的交集交集，记为，记为M N .集合集合 M，N 的交集，用图示法可表示为如下的的交集，用图示法可表示
6、为如下的的阴影部分的阴影部分.MNMN图图 6-1例如，方程例如，方程 2x - y = 1 的解集合与方程的解集合与方程 x - 2y = 2的解集合的交集就是方程组的解集合的交集就是方程组的解集合的解集合.又例如，设又例如，设 M = 1, 2, 3, 4 , N = 2, 3 , 则则M N = 2, 3 .显然有显然有M N M ， M N N .4) 并集并集属于集合属于集合 M 或者属于集合或者属于集合 N 的全体元素所成的全体元素所成的集合称为的集合称为 M 与与 N 的的并集并集，记为，记为M N .集合集合 M，N 的并集，的并集，所示的红色部分所示的红色部分.MNM N用图
7、示法可表示为如图用图示法可表示为如图设设 M = 1, 2, 3, 4 , N = 2, 3, 5 , 则则M N = 1, 2, 3, 4, 5 .图图 6-25) 差集差集属于集合属于集合 M 而不属于集合而不属于集合 N 的所有元素组成的所有元素组成的集合称为的集合称为 M 与与 N 的的差集差集，记为，记为M - N .MNMM - - N N集合集合 M，N 的差集，的差集，所示的红色部分所示的红色部分.用图示法可表示为如图用图示法可表示为如图设设 M = 1, 2, 3, 4 , N = 2, 3, 5 , 则则M - N = 1, 4 .图图 6-3二、映射二、映射1. 映射的定
8、义映射的定义定义定义1 设设 X，Y 是非空集，所谓集合是非空集，所谓集合 X 到集合到集合Y 的一个的一个映射映射就是指一个法则就是指一个法则 ，它使，它使 X 中每一个中每一个元素元素 都有都有 Y 中一个确定的元素中一个确定的元素 与之对应与之对应. 记为记为 ( ) = ，或，或 ： . 称为称为 在映射在映射 下的下的像像，而，而 称为称为 在映射在映射 下下的一个的一个原像原像.M 到到 M 自身的映射，有时也称为自身的映射，有时也称为 M 到自身的到自身的变换变换.注意：注意： 的像是唯一的，但的像是唯一的，但 的原像不一定的原像不一定是唯一的是唯一的.2. 映射的例子映射的例子
9、例例 1 M 是全体整数的集合，是全体整数的集合，N 是全体偶数是全体偶数的集合，定义的集合，定义 (n) = 2n , n M .这是这是 M 到到 N 的一个映射的一个映射.例例 2 M 是数域是数域 P 上全体上全体 n 级矩阵的集合，级矩阵的集合，定义定义 1 (A) = | A | ，A M .这是这是 M 到到 P 的一个映射的一个映射.例例 3 M 是数域是数域 P 上全体上全体 n 级矩阵的集合，级矩阵的集合，定义定义 2 (a) = aE ，a P .E 是是 n 级单位矩阵，这是级单位矩阵，这是 P 到到 M 的一个映射的一个映射.例例 4 对于对于 f (x) P x ，
10、定义定义 ( f (x) ) = f (x) .这是这是 P x 到自身的一个映射到自身的一个映射.例例 5 设设 A，B 是两个非空的集合，是两个非空的集合，b0 是是 B 中中一个固定的元素，定义一个固定的元素，定义 (a) = b0 ，a A .即即 把把 A 中的每个元素都映射到中的每个元素都映射到 b0 ，这是这是 A 到到 B的一个映射的一个映射.例例 6 设设 M 是一集合，是一集合，定义定义 (a) = a ，a M .即即 把每个元素映到它自身，称为集合把每个元素映到它自身，称为集合 M 的的恒等恒等映射映射或或单位映射单位映射，记为，记为 1M .例例 7 任意一个任意一个
11、定义在全体实数上的函数定义在全体实数上的函数 y = f (x) 都是实数集合到自身的映射都是实数集合到自身的映射.因此，因此，函数可以认为函数可以认为函数可以认为函数可以认为是映射的一个特殊情形是映射的一个特殊情形是映射的一个特殊情形是映射的一个特殊情形. .3. 两个映射相等两个映射相等定义定义2 设设设设 、 都是集合都是集合都是集合都是集合 MM 到到到到 集合集合集合集合 N N 的的的的映射，映射，映射，映射，若对若对若对若对 MM 中的每个元素中的每个元素中的每个元素中的每个元素 a a 都有都有都有都有 ( (a a) = ) = ( (a a) ) 则称它们则称它们则称它们则
12、称它们相等相等，记为，记为，记为，记为 = = . .4. 映射的乘积映射的乘积1) 定义定义定义定义3 设设设设 、 分别是集合分别是集合分别是集合分别是集合 A A 到到到到 B B 和和和和 B B 到到到到 C C 的两个映射，的两个映射，的两个映射，的两个映射，乘积乘积 定义为定义为定义为定义为( ( ) () (a a) = ) = ( ( ( (a a) ) , ) ) , a a A A , ,即相继施行即相继施行即相继施行即相继施行 和和和和 的结果，的结果，的结果，的结果， 是是是是 A A 到到到到 C C 的一个的一个的一个的一个映射映射映射映射. .例如，前面例如，前
13、面中映射的乘积中映射的乘积 1 2就是把每个就是把每个 n 级矩阵级矩阵 A 映到数量矩阵映到数量矩阵 | A |E，它是它是全体全体 n 级矩阵的集合到自身的一个映射级矩阵的集合到自身的一个映射.对于集合对于集合 X 到到 Y 的任一映射的任一映射 ，显然有，显然有1Y = 1X = .2) 运算规律运算规律映射的乘法满足结合律映射的乘法满足结合律.设设 、 、 分别是分别是 集合集合 A 到到 B，B 到到 C，C 到到 D，则，则 ( ( ) = () = ( ) ) ( ( ) = () = ( ) ) 结合律结合律证明证明显然上式两端都是显然上式两端都是 A 到到 D 的映射，要的映
14、射，要证明它们相等，只需要证明它们对于证明它们相等，只需要证明它们对于 A 中每个元中每个元素的作用都相同，即素的作用都相同，即 ( )(a) = ( ) (a) , 对于每个对于每个 a A .由定义由定义 ( )(a)= ( ( )(a) )= ( ( (a) ) ,( ) (a) = ( )( (a) )= ( ( (a) ) .证毕证毕注意：注意：映射的乘法不满足交换律，例如映射的乘法不满足交换律，例如设设 f (x) = sin x , g (x) = x + 1 , 则则g ( f (x) ) = sin x + 1 ；f ( g (x) ) = sin (x + 1) .故故 g
15、 f f g .5. 满射、单射、双射满射、单射、双射定义定义4 设设设设 是集合是集合是集合是集合 X X 到到到到 Y Y 的一个映射的一个映射的一个映射的一个映射 , , 如果：如果：如果：如果：(1)(1) 对任意的对任意的对任意的对任意的 1 1 , , 2 2 X X , , 当当当当 1 1 2 2 时时时时， ( ( 1 1 ) ) ( ( 2 2 ) )，则称，则称，则称，则称 为为为为单射单射( (或称内射或称内射或称内射或称内射 injection) .injection) .(2)(2) ( (X X) = ) = Y Y，即对于任意的即对于任意的即对于任意的即对于任意
16、的 Y Y ，存在存在存在存在 X X，使使使使 ( ( ) = ) = ，则称，则称，则称，则称 为为为为满射满射( (或称映上的或称映上的或称映上的或称映上的surjection) .surjection) .(3)(3) 若映射若映射若映射若映射 既是单射又是满射，则称既是单射又是满射，则称既是单射又是满射，则称既是单射又是满射，则称 为为为为双射双射( (或称一一对应，或称一一对应，或称一一对应，或称一一对应，bijectionbijection) .) .例例 8满射的有：满射的有：单射的有：单射的有：双射的有：双射的有：在在中，中，例例 1, 2, 4, 6，当，当 n = 1 时
17、的例时的例 3 ;例例 1，3 ，6 ;例例 1，6 .显然，对于由有限多个元素组成的集合，即所显然，对于由有限多个元素组成的集合，即所谓有限集合来说，两个集合之间存在双射的充分必谓有限集合来说，两个集合之间存在双射的充分必要条件是它们所含元素的个数相同要条件是它们所含元素的个数相同. 于是对有限集于是对有限集合合 M 及其子集及其子集 M M，M 与与 M 就不能建立双射就不能建立双射.对无限集合就不一定如此对无限集合就不一定如此. 有限集到有限集的映射有限集到有限集的映射的三种情况，可用下图来示意的三种情况，可用下图来示意.XY 单射单射XY 满射满射XY 双射双射图图 6-46. 逆映射
18、逆映射1) 定义定义定义定义5 设设设设 是集合是集合是集合是集合 X X 到到到到 Y Y 的一个映射，的一个映射，的一个映射，的一个映射， = 1= 1X X 和和和和 = 1= 1Y Y 如果如果如果如果存在集合存在集合存在集合存在集合 Y Y 到到到到 X X 的一个映射的一个映射的一个映射的一个映射 ，使，使，使，使同时成立，则称同时成立，则称同时成立，则称同时成立，则称 是是是是可逆映射可逆映射( (简称简称简称简称 可逆可逆可逆可逆) )，并，并，并，并称称称称 为为为为 的的的的逆映射逆映射，记作，记作，记作，记作 -1-1 = = . .定义中定义中 与与 的地位是相同的，此
19、时也说的地位是相同的，此时也说 是是可逆的，且可逆的，且 -1 = .2) 逆映射的唯一性逆映射的唯一性如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的如果映射是可逆的，则其逆映射是唯一的. .证明证明设设 1 ， 2 是是 的两个逆映射，即的两个逆映射，即 1 = 2 = 1X 且且 1 = 2 = 1Y .则有则有 1 = 11Y = 1 ( 2 ) = ( 1 ) 2 = 1X 2 = 2 ，故故 的逆映射是唯一的的逆映射是唯一的.证毕证毕3) 映射可逆的条件映射可逆的条件集合集合集合集合 X X 到到到到 Y Y 的映射的映射
20、的映射的映射 可逆的充分必条件是可逆的充分必条件是可逆的充分必条件是可逆的充分必条件是 为双射为双射为双射为双射. .证明证明先证先证必要性必要性必要性必要性设设 可逆，即有唯一的可逆，即有唯一的从集合从集合 Y 到到 X 的映射的映射 ，使，使 = 1X 且且 = 1Y ,于是，对任意的于是，对任意的 Y ，有，有 = 1Y ( ) = ( ) ( ) = ( ( ) ) ，由于由于 ( ) X，故故 是满射；是满射；又因为，若又因为，若 ( 1 ) = ( 2 ) ， 则则 1 = 1X( 1 )= ( ( 1 ) )= ( ) ( 1 )= ( ( 2 ) ) = ( ) ( 2 ) =
21、 1X( 2 )= 2 ，故故 是单射，从而是单射，从而 是双射是双射.再证再证充分性充分性充分性充分性. 设设 是双射，对任意的是双射，对任意的 Y ，存在唯一的存在唯一的 X，使使 ( ) = ，于是可定义集，于是可定义集合合 Y 到到 X 的映射的映射 ，使得，使得 ( ) = ，其中，其中 是是 X中与中与 一一对应的元素，这样，对任意的一一对应的元素，这样，对任意的 X ,都有都有 ( ) ( ) = ( ( ) )= ( ) = ，所以，所以， = 1X .同样，对任意的同样，对任意的 Y ，都有都有 ( ) ( ) = ( ( ) )= ( ) = ，所以，所以， = 1Y .因
22、此因此 是可逆的是可逆的.证毕证毕主要内容主要内容引入引入引入引入第二节第二节定义定义定义定义线性空间的简单性质线性空间的简单性质线性空间的简单性质线性空间的简单性质线性空间的定义与简单性质线性空间的定义与简单性质一、引入一、引入线性空间是线性代数最基本的概念之一线性空间是线性代数最基本的概念之一.这一这一节我们来介绍它的定义，并讨论它的一些最简单的节我们来介绍它的定义，并讨论它的一些最简单的性质性质. 线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念,为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子知的例子.例例 1
23、 在解析几何中，我们讨论过三维空间在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量中的向量. 向量的基本属性是可以按平行四边形规向量的基本属性是可以按平行四边形规律律相加相加相加相加，也可以与实数作，也可以与实数作数量乘法数量乘法数量乘法数量乘法.我们知道，不我们知道，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的运算来描述的.例例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以为了解线性方程组，我们讨论过以 n 元元有序数组有序数组 ( a1 , a2 , , an ) 作为元素的作为元素的 n 维向量空维向量空间间.对于它们，也有对于它们，也有加法加法加
24、法加法和和数量乘法数量乘法数量乘法数量乘法，那就是，那就是( a1 , a2 , , an ) + ( b1 , b2 , , bn ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) ,k ( a1 , a2 , , an ) = (k a1 , k a2 , , k an ) .例例 3 对于函数，也可以定义对于函数，也可以定义加法加法加法加法和函数与实和函数与实数的数的数量乘法数量乘法数量乘法数量乘法.譬如说，考虑全体定义在区间譬如说，考虑全体定义在区间a,b上的连续函数上的连续函数.我们知道，连续函数的和是连续我们知道，连续函数的和是连续函数，连续函数与实数的数
25、量乘积还是连续函数函数，连续函数与实数的数量乘积还是连续函数.从这些例子中我们看到，所考虑的对象虽然完从这些例子中我们看到，所考虑的对象虽然完全不同，但是它们有一个全不同，但是它们有一个共同点共同点共同点共同点，那就是，那就是它们都有它们都有它们都有它们都有加法和数量乘法这两种运算加法和数量乘法这两种运算加法和数量乘法这两种运算加法和数量乘法这两种运算.当然，随着对象不同当然，随着对象不同这两种运算的定义也是不同的这两种运算的定义也是不同的. 为了抓住它们的共为了抓住它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们引入线性空同点，把它们统一起来加以研究，我们引入线性空间的概念间的概念.当我们引入抽象
26、的线性空间的概念时，当我们引入抽象的线性空间的概念时，必须选定一个确定的数域作为基础必须选定一个确定的数域作为基础.二、定义二、定义定义定义 6 设设设设 V V 是一个非空集合是一个非空集合是一个非空集合是一个非空集合 , , P P 是一个数域是一个数域是一个数域是一个数域. .在集合在集合在集合在集合 V V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做的元素之间定义了一种代数运算，叫做的元素之间定义了一种代数运算，叫做的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法加法； 这就是说，给出了一个法则，对于这就是说，给出了一个法则，对于这就是说，给出了一个法则，对于这就是说，给出了一个法则，对于 V V 中任
27、中任中任中任意两个元素意两个元素意两个元素意两个元素 与与与与 ，在，在，在，在 V V 中都有唯一的一个元素中都有唯一的一个元素中都有唯一的一个元素中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为与它们对应，称为与它们对应，称为与它们对应，称为 与与与与 的的的的和和，记为，记为，记为，记为 = = + + . .在数域在数域在数域在数域 P P 与集合与集合与集合与集合 V V 的元素之间还定义了一种运算的元素之间还定义了一种运算的元素之间还定义了一种运算的元素之间还定义了一种运算 , ,叫做叫做叫做叫做数量乘法数量乘法； 这就是说，对于数域这就是说，对于数域这就是说，对于数域这就是说，对于数域 P
28、 P 中任一中任一中任一中任一数数数数 k k 与与与与 V V 中任一元素中任一元素中任一元素中任一元素 ，在，在，在，在 V V 中都有唯一的一个中都有唯一的一个中都有唯一的一个中都有唯一的一个元素元素元素元素 与它们对应，称为与它们对应，称为与它们对应，称为与它们对应，称为 k k 与与与与 的的的的数量乘积数量乘积，记，记，记，记 = k k . . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那如果加法与数量乘法满足下述规则，那如果加法与数量乘法满足下述规则，那如果加法与数量乘法满足下述规则，那么么么么 V V 称为数域称为数域称为数域称为数域 P P 上的上的上的上的线性空间线性空间. .加法
29、满足下面四条规则：加法满足下面四条规则：1)1) ；2)2) ( ) ( )；3)3) 在在 V 中有一个元素中有一个元素 0，对于，对于 V 中任一元素中任一元素 都有都有 + 0 = (具有这个性质的元素具有这个性质的元素 0 称为称为 V 的的零元素零元素) ；4)4) 对于对于 V 中每一个元素中每一个元素 ，都有，都有 V 中的元素中的元素 ，使得，使得 + = 0( 称为称为 的的负元素负元素) .数量乘法满足下面两条规则：数量乘法满足下面两条规则：5)5) 1 = ；6)6) k( l ) = ( kl ) .数量乘法与加法满足下面两条规则：数量乘法与加法满足下面两条规则：7)
30、7) ( k + l ) = k + l ;8)8) k( + ) = k + k .在以上规则中，在以上规则中，k , l 等表示数域等表示数域 P 中的任意数中的任意数; , , 等表示集合等表示集合 V 中任意元素中任意元素.由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间个实数域上的线性空间. 分量属于数域分量属于数域 P 的全体的全体 n元数组构成数域元数组构成数域 P 上的一个线性空间，这个线性上的一个线性空间，这个线性空间我们用空间我们用 Pn 来表示来表示.下面再来举几个例子下面再来举几个例子.例例 4 数域数域 P 上一元多
31、项式环上一元多项式环 P x ，按通常按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间上的线性空间.如果只考虑其中次数小于如果只考虑其中次数小于 n 的多的多项式，再添上零多项式也构成数域项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性上的一个线性空间，用空间，用 P x n 表示表示.但是，数域但是，数域 P 上的多项式上的多项式集合集合 p(x) | p(x) = a0 + a1x + + anxn , an 0 对同样的运算不构成线性空间，因为两个对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多次多项式的和可能不是项式的和可能不
32、是 n 次多项式次多项式.例例 5 元素属于数域元素属于数域 P 的的 m n 矩阵，按矩阵矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域 P 上的一上的一个线性空间，用个线性空间，用 P m n 表示表示.例例 6 全体实函数，按函数的加法和数与函数全体实函数，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间.例例 7 数域数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间一个自身上的线性空间.线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量. 当然，这里所谓当然，这里
33、所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空线性空间有时也称为间有时也称为向量空间向量空间.一般用小写的希腊字母一般用小写的希腊字母 , , , 表示线性空间表示线性空间 V 中的元素，用小写的中的元素，用小写的拉丁字母拉丁字母 a, b, c, 表示数域表示数域 P 中的数中的数.下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质单性质.三、线性空间的简单性质三、线性空间的简单性质1. 零元素是唯一的零元素是唯一的.证明证明假设假设 01，02 是线性空间是线性空间 V 中的两个零中的两个零元素元素.只要证明只要证明
34、 01 = 02 即可即可.考虑和考虑和01 + 02由于由于 01 是零元素，所以是零元素，所以 01 + 02 = 02 .又由于又由于 02 也也是零元素，所以是零元素，所以01 + 02 = 02 + 01 = 01 ，于是于是01 = 01 + 02 = 02 .证毕证毕2. 负元素是唯一的负元素是唯一的.这就是说，适合条件这就是说，适合条件 + = 0 的元素的元素 是被是被元素元素 唯一决定的唯一决定的.假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ， + = 0， + = 0 .那么那么 = + 0 = + ( + ) =( + )+ = 0 + = .证毕证毕向量向量 的负元素记
35、为的负元素记为 - .利用负元素，我们定义减法如下：利用负元素，我们定义减法如下： - = + ( - ) .3. 03. 0 = 0 ; = 0 ; k k0 = 0 ; (-1)0 = 0 ; (-1) =- =- . .证明证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = .0 0 = 0 . = 0 . + (-1) = 1 + (-1) =1 + (-1) = 0 =0 ,所以所以(-1)(-1) = - = - . .所以所以k0= 0 = 0 .所以所以 k k0 = 0 .0 = 0 .= k + (-1) = k + (-k) = k + (-k) 证毕证毕4.
36、4. 如果如果如果如果 k k =0 =0，那么那么那么那么 k k = 0 = 0 或者或者或者或者 = 0 .= 0 .证明证明假设假设 k 0，于是一方面于是一方面k -1( k ) = k -10 = 0 .而另一方面而另一方面k -1( k ) =(k -1k) = 1 = .于是于是 = 0 .= 0 .证毕证毕主要内容主要内容线性相关与线性无关线性相关与线性无关线性相关与线性无关线性相关与线性无关第三节第三节 维数维数 基与坐标基与坐标线性空间的维与基线性空间的维与基线性空间的维与基线性空间的维与基一、线性相关与线性无关一、线性相关与线性无关1. 定义定义1) 线性组合线性组合定
37、义定义 7 设设设设 V V 是数域是数域是数域是数域 P P 上的一个线性空间，上的一个线性空间，上的一个线性空间，上的一个线性空间， 1 1 , , 2 2 , , , , r r ( ( r r 1 ) 1 )是是是是 V V 中一组向量，中一组向量，中一组向量，中一组向量，k k1 1 , , k k2 2 ,k kr r 是数域是数域是数域是数域 P P 中的数，那么向量中的数，那么向量中的数，那么向量中的数，那么向量 = k= k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k kr r r r称为向量组称为向量组称为向量组称为向量组 1 1 , , 2 2 , ,
38、 , , r r 的一个的一个的一个的一个线性组合线性组合.也称向量也称向量也称向量也称向量 可以用向量组可以用向量组可以用向量组可以用向量组 1 1 , , 2 2 , , , , r r 线性表出线性表出.此时此时此时此时2) 等价等价定义定义 8 设设设设 1 1 , , 2 2 , , , , r r ； (1)(1) 1 1 , , 2 2 , , , , s s (2)(2)是是是是 V V 中两个向量组中两个向量组中两个向量组中两个向量组. .如果如果如果如果 (1) (1) 中每个向量都可以用中每个向量都可以用中每个向量都可以用中每个向量都可以用向量组向量组向量组向量组 (2)
39、 (2) 线性表出，那么称向量组线性表出，那么称向量组线性表出，那么称向量组线性表出，那么称向量组 (1) (1) 可以用向可以用向可以用向可以用向 量组量组量组量组 (2) (2) 线性表出线性表出线性表出线性表出. .如果如果如果如果 (1) (1) 与与与与 (2) (2) 可以互相线性可以互相线性可以互相线性可以互相线性表表表表出，那么向量组出，那么向量组出，那么向量组出，那么向量组 (1) (1) 与与与与 (2) (2) 称为称为称为称为等价等价. .3) 线性相关与线性无关线性相关与线性无关定义定义 9 线性空间线性空间线性空间线性空间 V V 中向量组中向量组中向量组中向量组
40、1 1 , , 2 2 , , , , r r( ( r r 1 ) 1 ) 称为称为称为称为线性相关线性相关，如果在数域，如果在数域，如果在数域，如果在数域 P P 中有中有中有中有 r r 个不个不个不个不全为零的数全为零的数全为零的数全为零的数 k k1 1 , , k k2 2 , , , , k kr r , , 使使使使k k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k kr r r r = 0. = 0. 如果向量组如果向量组如果向量组如果向量组 1 1 , , 2 2 , , , , r r 不线性相关，就称为不线性相关，就称为不线性相关，就称为不线性相关，
41、就称为线线性性无关无关.换句话说，向量组换句话说，向量组换句话说，向量组换句话说，向量组 1 1 , , 2 2 , , , , r r 称为线性称为线性称为线性称为线性无关，如果等式无关，如果等式无关，如果等式无关，如果等式 (3) (3) 只有在只有在只有在只有在 k k1 1 = = k k2 2 = = = = k kr r = 0 = 0 时时时时才成立才成立才成立才成立. .(3)(3)2. 几个常用结论几个常用结论1)1) 单个向量单个向量单个向量单个向量 是线性相关的充分必要条件是是线性相关的充分必要条件是是线性相关的充分必要条件是是线性相关的充分必要条件是 = 0 .= 0
42、. 两个以上的向量两个以上的向量两个以上的向量两个以上的向量 1 1 , , 2 2 , , , , r r 线性相关线性相关线性相关线性相关的的的的充分必要条件是其中有一个向量是其向量的线性充分必要条件是其中有一个向量是其向量的线性充分必要条件是其中有一个向量是其向量的线性充分必要条件是其中有一个向量是其向量的线性组合组合组合组合. .2)2) 如果向量组如果向量组如果向量组如果向量组 1 1 , , 2 2 , , , , r r 线性无关，而且线性无关，而且线性无关，而且线性无关，而且可可可可以被以被以被以被 1 1 , , 2 2 , , , , s s 线性表出，那么线性表出，那么线
43、性表出，那么线性表出，那么 r r s s . .由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必定含有相同个数的向量定含有相同个数的向量.3)3) 如果向量组如果向量组如果向量组如果向量组 1 1 , , 2 2 , , , , r r 线性无关，但向线性无关，但向线性无关，但向线性无关，但向量量量量组组组组 1 1 , , 2 2 , , , , r r , , 线性相关，那么线性相关，那么线性相关，那么线性相关，那么 可以被可以被可以被可以被 1 1 , , 2 2 , , , , r r 线性表出，而且表法是唯一的线性表出，而且表法是唯一的线性表出，而且
44、表法是唯一的线性表出，而且表法是唯一的. .例例 1 证明证明线性无关线性无关.证明证明设有三个数设有三个数 k1 , k2 , k3 使使k1 p1(x) + k2 p2(x) + k3 p3(x) = 0 , 即即k1( 1 + x ) + k2( 1 - x ) + k3( x + x2 ) = 0 ,也即也即( k1 + k2 ) + ( k1 - k2 + k3 ) x + k3 x2 = 0 ,于是于是k1 + k2 = 0； k1 - k2 + k3 = 0； k3 =0 .从而得从而得 k1 = k2 = k3 = 0 .证毕证毕二、线性空间的维与基二、线性空间的维与基1. 线
45、性空间的维线性空间的维1)2) 定义定义定义定义 10 如果在线性空间如果在线性空间如果在线性空间如果在线性空间 V V 中有中有中有中有 n n 个线性无个线性无个线性无个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么那么那么那么 V V 就称为就称为就称为就称为 n 维的维的；如果在如果在如果在如果在 V V 中可以找到任意中可以找到任意中可以找到任意中可以找到任意多个线性无关的向量，那么多个线性无关的向量，那么多个线性无关的向量，那么多个线性无关的向
46、量，那么 V V 就称为就称为就称为就称为无限维的无限维的. .2. 线性空间的基线性空间的基定义定义 11 在在在在 n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V 中，中，中，中， n n 个线性无个线性无个线性无个线性无关的向量关的向量关的向量关的向量 1 1 , , 2 2 , , , , n n 称为称为称为称为 V V 的一组的一组的一组的一组基基. .设设设设 是是是是V V 中任一向量，于是中任一向量，于是中任一向量，于是中任一向量，于是 1 1 , , 2 2 , , , , n n , , 线性相关，线性相关，线性相关，线性相关，因此因此因此因此 可以被基可以被基
47、可以被基可以被基 1 1 , , 2 2 , , , , n n 线性表出：线性表出：线性表出：线性表出： = a= a1 1 1 1 + + a a2 2 2 2 + + + + a an n n n , ,其中系数其中系数其中系数其中系数 a a1 1, , a a2 2 , , a an n 是被向量是被向量是被向量是被向量 和基和基和基和基 1 1 , , 2 2 , , , , n n 唯一确定的，唯一确定的，唯一确定的，唯一确定的， n n 下的下的下的下的坐标坐标，记为，记为，记为，记为 ( ( a a1 1, , a a2 2 , , , , a an n ) ) . .这组数
48、就称为这组数就称为这组数就称为这组数就称为 在基在基在基在基 1 1 , , 2 2 , , , , 3. 维与基的关系维与基的关系定理定理 1 如果在线性空间如果在线性空间如果在线性空间如果在线性空间 V V 中有中有中有中有 n n 个线性无个线性无个线性无个线性无关的向量关的向量关的向量关的向量 1 1, , 2 2 , , , , n n ，且且且且 V V 中任一向量都可中任一向量都可中任一向量都可中任一向量都可以以以以用它们线性表出，那么用它们线性表出，那么用它们线性表出，那么用它们线性表出，那么 V V 是是是是 n n 维的，而维的，而维的，而维的，而 1 1, , 2 2 ,
49、 , n n 就是就是就是就是 V V 的一组基的一组基的一组基的一组基. .证明证明因为因为 1, 2 , , n 是线性无关的，是线性无关的，所以所以 V 的维数至少是的维数至少是 n .为了证明为了证明 V 是是 n 维的，维的，只须证只须证 V 中任意中任意 n + 1 个向量必定线性相关个向量必定线性相关. 设设 1 , 2 , , n + 1是是 V 中任意中任意 n + 1 个向量，它们可以用个向量，它们可以用 1, 2 , , n 线性表出线性表出. 假设它们线性无关，就有假设它们线性无关，就有 n + 1 n ,于是得出矛盾于是得出矛盾.证毕证毕例例 2 在线性空间在线性空间
50、 P x n 中，中，1 , x , , x n - 1 是是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的的数域数域 P 上的多项式都可被它们线性表出，上的多项式都可被它们线性表出，P x n 是是 n 维的，而维的，而 1 , x , , x n - 1 就是它的基就是它的基.所以所以在这组基下，多项式在这组基下，多项式 f (x) = a0 + a1 x + + an -1 x n - 1 的坐标就是它的系数的坐标就是它的系数 ( a0 , a1 , , an-1 ) .如果在如果在 V 中取另外一组基中取另外一组基 1 = 1 , 2 = ( x
51、- a ) , , n = ( x - a )n - 1 .那么按泰勒展开公式那么按泰勒展开公式因此，因此， f (x) 在基在基 1 , 2 , , n 下的坐标下的坐标是是例例 3 在在 n 维空间维空间 P n 中，显然中，显然是一组基是一组基.对每一个向量对每一个向量 = ( a1 , a2 , , an ) , 都都有有 = a1 1 + a2 2 + + n .所以所以 ( a1 , a2 , , an ) 就是向量就是向量 在这组基下的在这组基下的坐坐标标.不难证明，不难证明，也是也是 P n 的一组基的一组基.在这个基下，因为在这个基下，因为 = a1 1 + ( a2 - a
52、1 ) 2 + + ( an - an -1 ) n .所以所以 在基在基 1 , 2 , , n 下的坐标下的坐标为为(a1, a2 - a1 , , an - an -1 ) .例例 4 如果复数域如果复数域 K 看作是自身上的线性空看作是自身上的线性空间，那么这是一维的，数间，那么这是一维的，数 1 就是一组基；就是一组基；如果看作如果看作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与与i 就是一组基就是一组基. 这个例子告诉我们，维数是和所考这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的虑的数域有关的.主要内容主要内容基变换基变换基变换基变换第四
53、节第四节 基变换与坐标变换基变换与坐标变换坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式坐标变换公式举例举例举例举例一、基变换一、基变换在在 n 维线性空间中，任意维线性空间中，任意 n 个线性无关的向量个线性无关的向量都可以作为线性空间的基，即空间的基不唯一都可以作为线性空间的基，即空间的基不唯一. 对对不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的不同的基，同一个向量的坐标一般是不同的. 第三第三节的例子已经说明了这一点节的例子已经说明了这一点.在这一节中，我们在这一节中，我们要研究的问题是，随着基的改变，向量的坐标是要研究的问题是，随着基的改变，向量的坐标是怎样变化的怎样变化的.1. 定义定义定义定义12
54、 设设设设 1 1 , , 2 2 , , , , n n 与与与与 1 1 , , 2 2 , , , , n n 是是是是 n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V 中两组基，它们的关系是中两组基，它们的关系是中两组基，它们的关系是中两组基，它们的关系是称称称称 (1) (1) 为为为为基变换公式基变换公式.2. 基变换公式的矩阵形式基变换公式的矩阵形式为了写起来方便，我们引入一种形式的写法为了写起来方便，我们引入一种形式的写法.把基写成一个把基写成一个 1 n 矩阵，于是矩阵，于是 (1) 可写成如下矩可写成如下矩阵形式：阵形式：矩阵矩阵称为由基称为由基 1 , 2 , ,
55、 n 到到 1 , 2 , , n 的的过渡过渡矩矩阵阵.由于由于 1 , 2 , , n 是线性无关的，所以过渡是线性无关的，所以过渡矩阵矩阵 A 的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵的列向量组线性无关，因此，过渡矩阵 A是可逆的是可逆的.3. 运算规律运算规律设设 1 , 2 , , n 和和 1 , 2 , , n 是是 V 中两中两个个向量组，向量组， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是两个是两个 n n 矩阵，矩阵，则则1)1) ( 1 , 2 , , n )A)B=( 1 , 2 , , n )(AB)2)2) ( 1 , 2 , , n )A + ( 1 , 2
56、, , n )B = ( 1 , 2 , , n ) (A+B) ；3)3) ( 1 , 2 , , n )A + ( 1 , 2 , , n )A = ( 1 + 1 , 2 + 2 , , n + n ) A . 定理定理2 设设设设 V Vn n 中的元素中的元素中的元素中的元素 , , 在基在基在基在基 1 1 , , 2 2 , , , n n 系式系式系式系式 (1) , (1) , 则有坐标变换公式则有坐标变换公式则有坐标变换公式则有坐标变换公式下的坐标为下的坐标为下的坐标为下的坐标为 ( (x x1 1 , , x x2 2 , , , , x xn n ) )T T. .下的
57、坐标为下的坐标为下的坐标为下的坐标为 ( (x x1 1 , , x x2 2 , , , , x xn n) )T T , , 在基在基在基在基 1 1, , 2 2 , , , , n n若两个基满足关若两个基满足关若两个基满足关若两个基满足关 二、坐标变换公式二、坐标变换公式 证证 因因 由于由于 1 , 2 , , n 线性无关线性无关, 故即有关系式故即有关系式 (2). 证毕证毕换公式换公式 (1). 两种坐标满足坐标变换公式两种坐标满足坐标变换公式 (2), 则两个基满足变则两个基满足变 这个定理的逆命题也成立这个定理的逆命题也成立. 即若任一元素的即若任一元素的例例 1 在在
58、P 4 中，求由基中，求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵，并求向量的过渡矩阵，并求向量 在基在基 1, 2, 3 , 4 下的坐标下的坐标. 设设三、举例三、举例解解 要求由基要求由基 1 , 2 , 3 , 4 到基到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵的过渡矩阵.即要用即要用 1 , 2 , 3 , 4 表示表示 1 , 2 , 3 , 4 .设过渡矩阵为设过渡矩阵为 C，则，则( 1 , 2 , 3 , 4 ) = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) C .令令 A=( 1T , 2T , 3T , 4T ) , B=( 1T ,
59、2T , 3T , 4T ),(即以基中的向量为列构造矩阵即以基中的向量为列构造矩阵)，于是有，于是有B = AC ,解之得解之得C= A-1B . 用矩阵的初等变换求用矩阵的初等变换求 B-1A :行变换行变换行变换行变换中的中的中的中的 B B 变成变成变成变成 E E , , 则则则则 A A 即变成即变成即变成即变成 B B-1-1A A . 计算如下计算如下:把矩阵把矩阵把矩阵把矩阵 ( ( B B | | A A ) )即得即得求向量求向量 在基在基 1 , 2 , 3 , 4下的坐标下的坐标, 即用基即用基 1, 矩阵即得矩阵即得.再对矩阵再对矩阵 M 实施初等行变换实施初等行变
60、换 , 使之成为行最简形使之成为行最简形求解求解: 先构造矩阵先构造矩阵 2 , 3 , 4表示向量表示向量 . 用矩阵的初等行变换来用矩阵的初等行变换来M = ( 1 , 2 , 3 , 4, ) ,行变换行变换行变换行变换 3 , 4下的坐标为下的坐标为所以向量所以向量 在基在基 1, 2, 例例 2 在在 P 3 中求向量中求向量在基在基下的坐标下的坐标. 解解 求向量求向量 在基在基 1 , 2 , 3 下的坐标下的坐标,即即阵即得阵即得.矩阵矩阵 A 实施初等行变换实施初等行变换 , 使之成为行最简形矩使之成为行最简形矩换来求解换来求解: 先构造矩阵先构造矩阵 A = ( 1 , 2
61、 , 3 , ),再对再对用基用基 1 , 2 , 3 表示向量表示向量 .用矩阵的初等行变用矩阵的初等行变行变换行变换行变换行变换所以所以则所求坐标为则所求坐标为 例例 3 在在 P x 4 中取两个基中取两个基及及求由基求由基 1 , 2 , , n 到到 1 , 2 , , n的过渡矩的过渡矩阵阵和和坐标变换公式坐标变换公式.解解 将将 1 , 2 , 3 , 4 用用 1 , 2 , 3 , 4 表表示示.其中其中由由得得 故过渡矩阵为故过渡矩阵为 A-1B ，坐标变换公式为坐标变换公式为 用矩阵的初等变换求用矩阵的初等变换求 B-1A :行变换行变换行变换行变换中的中的中的中的 B
62、B 变成变成变成变成 E E , , 则则则则 A A 即变成即变成即变成即变成 B B-1-1A A . 计算如下计算如下:把矩阵把矩阵把矩阵把矩阵 ( ( B B | | A A ) )即得即得主要内容主要内容定义定义定义定义第五节第五节 线性子空间线性子空间非空子集构成子空间的条件非空子集构成子空间的条件非空子集构成子空间的条件非空子集构成子空间的条件向量组生成的子空间向量组生成的子空间向量组生成的子空间向量组生成的子空间一、定义一、定义定义定义 13 数域数域数域数域 P P 上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间 V V 的一个非空子的一个非空子的一个非空子的一个非空子集合集合集合
63、集合WW 称为称为称为称为 V V 的一个的一个的一个的一个线性子空间线性子空间( (或简称子空间或简称子空间或简称子空间或简称子空间), ),如果如果如果如果 WW 对于对于对于对于 V V 中所定义的加法和数量乘法两种运中所定义的加法和数量乘法两种运中所定义的加法和数量乘法两种运中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域算也构成数域算也构成数域算也构成数域 P P 上的线性空间上的线性空间上的线性空间上的线性空间. .二、非空子集构成子空间的条件二、非空子集构成子空间的条件下面我们来分析一下，一个非空子集合要满足下面我们来分析一下，一个非空子集合要满足什么条件才能成为子空间什么条件才能成为
64、子空间.设设 W 是是 V 的子集合的子集合. 因为因为 V 是线性空间是线性空间. 所所以对于原有的运算，以对于原有的运算，W 中的向量满足线性空间定中的向量满足线性空间定义中的义中的中的规则中的规则 1) , 2) , 5) , 6) , 7) ,8)是显然的是显然的.为了使为了使 W 自身构成一线性空间，主要自身构成一线性空间，主要的条件是要求的条件是要求 W 对于对于 V 中原来运算的封闭性，以中原来运算的封闭性，以及规则及规则 3) 与与 4) 成立成立.即即1. 1. WW 对数量乘法运算封闭对数量乘法运算封闭对数量乘法运算封闭对数量乘法运算封闭，即若，即若 W, k P,则则 k
65、 W .2. 2. WW 对加法运算封闭对加法运算封闭对加法运算封闭对加法运算封闭，即若，即若 W, W，则则 + W.3. 3. 0 0 WW.4. 4. 若若若若 WW, , 则则则则 - - WW. 不难看出不难看出 3, 4 两个条件是多余的，它们已经包两个条件是多余的，它们已经包含在条件含在条件 1 中，作为中，作为 k = 0 与与 -1 这两个特殊情形这两个特殊情形.因此，我们得到因此，我们得到定理定理 3 如果线性空间如果线性空间如果线性空间如果线性空间 V V 的非空子集合的非空子集合的非空子集合的非空子集合 WW 对对对对于于于于 V V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，
66、那么的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么WW就是一个子空间就是一个子空间就是一个子空间就是一个子空间. .既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可我们引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上以应用到线性子空间上.因为在线性子空间中不可因为在线性子空间中不可能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量能比在整个空间中有更多数目的线性无关的向量.所以，所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空任何一个线性子空间的维数不
67、能超过整个空任何一个线性子空间的维数不能超过整个空任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数间的维数间的维数间的维数. .下面来看几个例子下面来看几个例子.例例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间零子空间.例例 2 线性空间线性空间 V 本身也是本身也是 V 的一个子空间的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做个子空间有时候叫做平凡子空间平凡子空间，而其它的线性，而其它的线性子空间叫做子空间叫做非平凡子空间非平
68、凡子空间.例例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间系数多项式组成一个子空间.例例 4 P x n 是线性空间是线性空间 P x 的子空间的子空间.例例 5 在线性空间在线性空间 P n 中，齐次线性方程组中，齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的次线性方程组的解空间解空间.解空间的基就是方程组解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中其中 r 为系数矩为系数矩阵的秩阵的秩.例例 6 判断下列子集是否为给定线性
69、空间的子判断下列子集是否为给定线性空间的子空间，并说明其几何意义空间，并说明其几何意义.例例 7 证明集合证明集合W = (0 , x2 , x3 , , xn ) | x2 , x3 , , xn R 是是 Rn 的子空间，并求它的一组基，确定它的维的子空间，并求它的一组基，确定它的维.三、向量组生成的子空间三、向量组生成的子空间1. 定义定义定义定义14 设设设设 1 1 , , 2 2 , , , , r r 是是是是线性空间线性空间线性空间线性空间 V V 中中中中一组一组一组一组向量，这组向量所有可能的线性组合向量，这组向量所有可能的线性组合向量，这组向量所有可能的线性组合向量，这组
70、向量所有可能的线性组合k k1 1 1 1 + + k k2 2 2 2 + + + + k kr r r r所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是而是而是而是 V V 的一个子空间，这个子空间叫做由的一个子空间，这个子空间叫做由的一个子空间，这个子空间叫做由的一个子空间，这个子空间叫做由 1 1 , , 2 2 , , , , r r 生成的子空间，记为生成的子空间，记为生成的子空间，记为生成的子空间，记为L L ( ( 1 1 , , 2 2 , , , ,
71、 r r ) .) .2. 性质性质定理定理 4 1)1) 两个向量组生成相同子空间的充两个向量组生成相同子空间的充两个向量组生成相同子空间的充两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价分必要条件是这两个向量组等价分必要条件是这两个向量组等价分必要条件是这两个向量组等价. .2)2) L L ( ( 1 1 , , 2 2 , , , , r r ) ) 的维数等于向量组的维数等于向量组的维数等于向量组的维数等于向量组 1 1 , , 2 2 , , , , r r 的秩的秩的秩的秩. .证明证明1)1) 设设 1 , 2 , , r 与与 1 , 2 , , s是两个向量组是两
72、个向量组.如果如果L ( 1 , 2 , , r ) = L ( 1 , 2 , , s ) , 那么每个向量那么每个向量 i ( i = 1 , 2, , r ) 作为作为 L ( 1 , 2 , , s )中的向量都可以被中的向量都可以被 1 , 2 , , s 线性表出线性表出;同样每个向量同样每个向量 j ( j = 1 , 2, , s ) 作为作为 L ( 1 , 2 , , r ) 中的向量也都可以被中的向量也都可以被 1 , 2 , , r 线性线性表表出，因而这两个向量组等价出，因而这两个向量组等价.如果这两个向量组等价，那么凡是可以被如果这两个向量组等价，那么凡是可以被 1
73、 , 2 , , r 线性表出的向量都可以被线性表出的向量都可以被 1 , 2 , , s线性表出，反过来也一样，因而线性表出，反过来也一样，因而L ( 1 , 2 , , r ) = L ( 1 , 2 , , s ) . 2)2) 设向量组设向量组 1 , 2 , , r 的秩是的秩是 s , 而而 1 , 2 , , s ( s r ) 是它的一个极大线性无关是它的一个极大线性无关组组.因因为为 1 , 2 , , r 与与 1 , 2 , , s 等价，所等价，所以以L( 1 , 2 , , r ) = L( 1 , 2 , , s ). 由由 1 , 2 , , s 就是就是 L(
74、1 , 2 , , r ) 的一组的一组基，基，因而因而 L ( 1 , 2 , , r ) 的维数就是的维数就是 s .证毕证毕定理定理 5 设设设设 W W 是数域是数域是数域是数域 P P 上上上上 n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V 的的的的一个一个一个一个 mm 维子空间，维子空间，维子空间，维子空间， 1 1 , , 2 2 , , , , m m 是是是是 WW 的一组基的一组基的一组基的一组基 , ,那么这组向量必定可扩充为整个空间的基那么这组向量必定可扩充为整个空间的基那么这组向量必定可扩充为整个空间的基那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. . 也就也
75、就也就也就是说在是说在是说在是说在 V V 中必定可以找到中必定可以找到中必定可以找到中必定可以找到 n n - - m m 个向量个向量个向量个向量 m +m +1 1 , , m +m + 2 2 , , , n n ，使得使得使得使得 1 1 , , 2 2 , , , , n n 是是是是 V V 的基的基的基的基 . .证明证明对维数差对维数差 n - m 作归纳法，当作归纳法，当 n - m = 0时，定理显然成立，因为时，定理显然成立，因为 1 , 2 , , m 已经是已经是 V的基的基.现在假设现在假设 n - m = k 时定理成立，我们考虑时定理成立，我们考虑n - m
76、= k + 1 的情形的情形.既然既然 1 , 2 , , m 还不是还不是 V 的基，它又是的基，它又是线线性无关的，性无关的， 1 , 2 , , m 线性表出，线性表出， , m , m +1 必定是线性无关的必定是线性无关的 ( 参看第参看第 3 节中的节中的) . 由由, 子空间子空间L( 1 , 2 , , m , m +1 )是是 m + 1 维的维的.因为因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,由归纳法假设，由归纳法假设， L( 1 , 2 , , m , m +1 ) 的的基基 1 , 2 , , m , m +1那么在那么在 V 中必定有一
77、个向量中必定有一个向量 m +1不能被不能被把把 m +1 添加进去添加进去 1 , 2 ,可以扩充为整个空间的基可以扩充为整个空间的基.根据归纳法原理，定理得证根据归纳法原理，定理得证.证毕证毕例例 8 在在 P 4 中，求向量中，求向量 i ( i = 1, 2, 3, 4 ) 生生成的子空间的基与维数成的子空间的基与维数. 主要内容主要内容子空间的交子空间的交子空间的交子空间的交第六节第六节 子空间的交与和子空间的交与和子空间的和子空间的和子空间的和子空间的和子空间的交与和的性质子空间的交与和的性质子空间的交与和的性质子空间的交与和的性质例题例题例题例题子空间的交与和的维数子空间的交与和
78、的维数子空间的交与和的维数子空间的交与和的维数一、子空间的交一、子空间的交1. 定义定义定义定义15 设设设设 V V1 1 , , V V2 2 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空的两个子空的两个子空间间间间, , 称称称称 V V1 1 V V2 2 = = | | V V1 1 且且且且 V V2 2 为为为为 V V1 1 , , V V2 2 的的的的交交. .2. 性质性质定理定理 6 如果如果如果如果V V1 1 , , V V2 2 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的两个子的两个子的两个子的两个子空空空空间间间间, , 那么
79、它们的交那么它们的交那么它们的交那么它们的交V V1 1 V V2 2 也是也是也是也是 V V 的子空间的子空间的子空间的子空间. .证明证明首先，由首先，由 0 V1 ， 0 V2 ，可知可知 0 V1 V2 ，因而因而 V1 V2 是非空的是非空的.其次，如果其次，如果 , V1 V2 , 即即 , V1 ，而且而且 , V2 ， + V1 ， + V2 ，对数量乘积可以同样地证明对数量乘积可以同样地证明.所以所以V1 V2 是是 V 的的子空间子空间.证毕证毕那么那么因此因此 + V1 V2 .3. 子空间的交的运算规律子空间的交的运算规律1) 1) 交换律交换律交换律交换律 V1 V
80、2 = V2 V1 ；2) 2) 结合律结合律结合律结合律 (V1V2 ) V3 = V1(V2 V3 ) .由结合律，我们可以定义多个子空间的交：由结合律，我们可以定义多个子空间的交：它也是子空间它也是子空间.二、子空间的和二、子空间的和1. 定义定义定义定义 16 设设设设 V V1 1 , , V V2 2 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空的两个子空的两个子空间间间间, , 所谓所谓所谓所谓 V V1 1 与与与与 V V2 2 的的的的和和，是指由所有能表示成，是指由所有能表示成，是指由所有能表示成，是指由所有能表示成 1 1 + + 2 2 ，而
81、而而而 1 1 V V1 1 ， 2 2 V V2 2 的向量组成的子集合，记的向量组成的子集合，记的向量组成的子集合，记的向量组成的子集合，记作作作作 V V1 1 + + V V2 2 ，即，即，即，即V V1 1 + + V V2 2 = = | | = = 1 1 + + 2 2 , , 1 1 V V1 1 , , 2 2 V V2 2 2. 性质性质定理定理 7 如果如果如果如果V V1 1 , , V V2 2 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的两个子的两个子的两个子的两个子空空空空间，那么它们的和间，那么它们的和间，那么它们的和间，那么它们的和 V V1 1
82、+ + V V2 2 也是也是也是也是 V V 的子空间的子空间的子空间的子空间. .证明证明首先，首先， V1 + V2 显然是非空的显然是非空的.其次其次如果如果 , V1 + V2 , 即即 = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,那么那么 + = ( 1 + 1 ) + ( 2 + 2 ) .又因为又因为 V1 , V2 是子空间，故有是子空间，故有 1 + 1 V1 ， 2 + 2 V2 .因此因此 + V1 + V2 .同样，同样，k = k 1 + k 2 V1 + V2 .所以，所以， V1 + V2 是是 V 的子空间的子
83、空间.证毕证毕3. 子空间的和的运算规律子空间的和的运算规律1) 1) 交换律交换律交换律交换律 V1 + V2 = V2 + V1 ；2) 2) 结合律结合律结合律结合律 (V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .由结合律，我们可以定义多个子空间的和：由结合律，我们可以定义多个子空间的和：的向量组的子空间的向量组的子空间.它是由所有表示成它是由所有表示成 1 + 2 + + s , i Vi ( i = 1 , 2 , , s )三、子空间的交与和的性质三、子空间的交与和的性质性质性质 1 设设设设 V V1 1 , , V V2 2 , , WW 都都都都是子空间
84、，那么由是子空间，那么由是子空间，那么由是子空间，那么由WW V V1 1 与与与与 WW V V2 2 可推出可推出可推出可推出WW V V1 1 V V2 2 ；而由而由而由而由W W V V1 1 与与与与 WW V V2 2可推出可推出可推出可推出 W W V V1 1 + + V V2 2 . .性质性质 2 对于子空间对于子空间对于子空间对于子空间 V V1 1 , , V V2 2 , , 以下三个论断是以下三个论断是以下三个论断是以下三个论断是等价的：等价的：等价的：等价的：1)1) V V1 1 V V2 2 ；2)2) V V1 1 V V2 2 = = V V1 1 ；3
85、)3) V V1 1 + + V V2 2 = = V V2 2 . .四、例题四、例题例例 1 设设 V1 = L( 1 , 2 ) , V2 = L( 1 , 3 ) 是是 R3两个不同的两个不同的 2 维子空间，求维子空间，求 V1 V2 和和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义并指它们的几何意义.解解因为因为 V1 和和 V2 是两个不同的子空间，所以是两个不同的子空间，所以 1 , 2 , 3 线性无关，线性无关，从而从而 V1 = V2 与题设矛盾与题设矛盾. 于是由子空间的交与和于是由子空间的交与和的定义可得的定义可得 V1 V2 = L( 1 )，V1 + V2 = L( 1
86、 , 2 , 3 ) = R3 .否则否则 3 可由可由 1 , 2 线性表示线性表示其几何意义是：其几何意义是：V1 = L( 1 , 2 ) 是向量是向量 1 , 2 所所确定的平面，确定的平面，的平面，的平面，是整个是整个 3 维空间维空间. 如图如图 6-6 所示所示.V2 = L( 1 , 3 ) 是向量是向量 1 , 3 所确所确定定V1 V2 是这两个平面的交线，是这两个平面的交线， V1 + V2例例 2 设设 V1 , V2 分别是分别是 R3 过原点的直线和平过原点的直线和平面面(直线不在平面上直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，上的全体向量构成的子空间，求求 V1
87、V2 和和 V1 + V2 ，并指它们的几何意义并指它们的几何意义.解解由定义容易求得由定义容易求得V1 V2 = 0 ，V1 + V2 = L( 1 , 2 , 3 ) = R3 .其几何意义如图其几何意义如图 6-7 所示所示例例 3 设设 V1 , V2 分别是分别是 P 3 中齐次方程组中齐次方程组的解空间，那么的解空间，那么 V1 V2 就是齐次方程组就是齐次方程组的解空间的解空间.例例 4 在一个线性空间在一个线性空间 V 中，有中，有L( 1 , 2 , , s ) + L( 1 , 2 , , t )=L( 1 , , s , 1 , , t )五、子空间的交与和的维数五、子空
88、间的交与和的维数关于子空间的交与和的维数，有以下定理关于子空间的交与和的维数，有以下定理.定理定理 8 (维数公式维数公式) 如果如果如果如果 V V1 1 , , V V2 2 是线性空是线性空是线性空是线性空间间间间 V V 的两个子空间，那么的两个子空间，那么的两个子空间，那么的两个子空间，那么维维维维( (V V1 1) + ) + 维维维维( (V V2 2) = ) = 维维维维( (V V1 1 + + V V2 2 ) + ) + 维维维维( (V V1 1 V V2 2 ) ) . .证明证明设设 V1 , V2 的维数分别是的维数分别是 s , t , V1V2 的维数是的
89、维数是 m .取取 V1V2 的一组基的一组基 1 , 2 , , m .如果如果 m = 0 ，这个基是空集，下面的讨论中这个基是空集，下面的讨论中 1 , 2 , , m 不出现，但讨论同样能进行不出现，但讨论同样能进行. 由由它可以扩充成它可以扩充成 V1 的一组基的一组基 1 , 2 , , m , 1 , , s - m ,也可以扩充成也可以扩充成 V2 的一组基的一组基 1 , 2 , , m , 1 , , t - m .我们来证明，向量组我们来证明，向量组 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是是 V1 + V2 的一组基的一组基.这
90、样，这样， V1 + V2 的维数就等于的维数就等于s + t - m , 因而维数公式成立因而维数公式成立.因为因为V1 = L( 1 , 2 , , m , 1 , , s - m ) ,V2 = L( 1 , 2 , , m , 1 , , t - m ) .所以所以V1+V2 = L( 1 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m ).现在来证明向量组现在来证明向量组 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 是线性无关的是线性无关的.假设有等式假设有等式k1 1 + k2 2 + + km m+ p1 1 + p2 2
91、+ + ps - m s - m+ q1 1 + q2 2 + + qt - m t - m = 0 .令令 = k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m= - q1 1 - q2 2 - - qt - m t - m . = k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m由由 = - q1 1 - q2 2 - - qt - m t - m 由由可知，可知， V1 ；可知，可知， V2 .于是于是 V1V2 ，即即 可以被可以被 1 , 2 , , m 线性表示线性表示.令令 = l1 1 + + lm m ,则则l1 1 + +
92、 lm m + q1 1 + + qt - m t - m = 0 .由于由于 1 , , m , 1 , , t - m 线性无关，所以线性无关，所以l1 = = lm = q1 = = qt - m =0 ,因而因而 = 0.从而有从而有k1 1 + + km m + p1 1 + + ps - m s - m = 0 .由于由于 1 , , m , 1 , , s - m 线性无关，又线性无关，又得得k1 = = km = p1 = = ps - m =0 .这就证明了这就证明了 1 , 2 , , m , 1 , , s - m , 1 , , t - m 线性无关，线性无关，式成立式
93、成立.证毕证毕因而它是因而它是 V1 + V2 的一组基，故维数公的一组基，故维数公从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于维数之和却等于 4 .由此说明这两张平面的交是由此说明这两张平面的交是一维的直线一维的直线.推论推论 如果如果如果如果 n n 维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 V V 中两个子空间中两个子空间中两个子空间中两个子空间 V V1 1, ,V V2
94、2 的维数之和大于的维数之和大于的维数之和大于的维数之和大于 n n , , 那么那么那么那么 V V1 1 , , V V2 2 必含有非零的公必含有非零的公必含有非零的公必含有非零的公共向量共向量共向量共向量. .证明证明由假设由假设维维(V1 + V2 ) + 维维(V1V2 ) = 维维(V1) + 维维(V2) n.但因但因 V1 + V2 是是 V 的子空间而有的子空间而有维维(V1 + V2 ) n ,所以所以维维(V1V2 ) 0 .这就是说，这就是说， V1V2 中含有非零向量中含有非零向量.证毕证毕例例 5 设设 V = P 4，V1 = L( 1 , 2 , 3 )，V2
95、 = L( 1 , 2)，其中其中求求V1, V2 , V1V2 , V1 + V2 的维数与基的维数与基.主要内容主要内容定义定义定义定义第七节第七节 子空间的直和子空间的直和直和的充分必要条件直和的充分必要条件直和的充分必要条件直和的充分必要条件直和的性质直和的性质直和的性质直和的性质多个子空间的直和多个子空间的直和多个子空间的直和多个子空间的直和一、定义一、定义子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊情形情形.定义定义 17 设设设设 V V1 1 , , V V2 2 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的子空间，的子空间，的子空间，的
96、子空间，如果和如果和如果和如果和 V V1 1 + + V V2 2 中每个向量中每个向量中每个向量中每个向量 的分解式的分解式的分解式的分解式 = 1 1 + 2 2 ， 1 1 V V1 1 , , 2 2 V V2 2 , ,是唯一的，这个和就称为是唯一的，这个和就称为是唯一的，这个和就称为是唯一的，这个和就称为直和直和，记为，记为，记为，记为 V V1 1 V V2 2 . . 在第六节的在第六节的中的和就是直和中的和就是直和.二、直和的充分必要条件二、直和的充分必要条件定理定理 9 和和和和 V V1 1 + + V V2 2 是直和的充分必要条件是是直和的充分必要条件是是直和的充分
97、必要条件是是直和的充分必要条件是等式等式等式等式 1 1 + 2 2 = 0= 0， 1 1 V V1 1 , , 2 2 V V2 2 , ,只有在只有在只有在只有在V V1 1 , , V V2 2全为零时才成立全为零时才成立全为零时才成立全为零时才成立. .证明证明定理的条件实际上就是：定理的条件实际上就是：零向量的分零向量的分零向量的分零向量的分解式是唯一的解式是唯一的解式是唯一的解式是唯一的. .因而这个条件显然是必要的因而这个条件显然是必要的. 下面下面来证这个条件的充分性来证这个条件的充分性.设设 V1 + V2 ，它有两个分解式它有两个分解式 = 1 + 2 = 1 + 2 ，
98、 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.于是于是( 1 - 1 ) + ( 2 - 2 ) = 0 ,其中其中 1 - 1 V1 , 2 - 2 V2 .由定理的条件，有由定理的条件，有 1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即即 1 = 1 , 2 = 2 . 这就是说，向量这就是说，向量 的分解式是唯一的的分解式是唯一的.证毕证毕推论推论 和和和和 V V1 1 + + V V2 2 为直和的充分必要条件是为直和的充分必要条件是为直和的充分必要条件是为直和的充分必要条件是V V1 1 V V2 2 = 0 .= 0 .证明证明先证先证充分性充分性充分性充分性.假设有等式假设有等
99、式 1 + 2 = 0， 1 V1 , 2 V2 ,那么那么 1 = - 2 V1 V2 .由假设由假设 V1 V2 = 0 ，得，得 1 = - 2 = 0 .这就证明了这就证明了 V1 + V2 是直和是直和.再证再证必要性必要性必要性必要性.任取向量任取向量 V1 V2 .于是零于是零向量可以表示成向量可以表示成0 = + ( - ) ， V1 , - V2 .因为是直和，所以因为是直和，所以 = - = 0 .这就证明了这就证明了V1 V2 = 0 .证毕证毕定理定理 10 设设设设 V V1 1 , , V V2 2 是是是是 V V 的子空间，令的子空间，令的子空间，令的子空间，令
100、 WW = = V V1 1 + + V V2 2 ，则，则，则，则WW = V V1 1 V V2 2的充分必要条件为的充分必要条件为的充分必要条件为的充分必要条件为维维维维( ( W W ) = ) = 维维维维( ( V V1 1 ) + ) + 维维维维( ( V V2 2 ) ) . .证明证明因为因为维维(W) + 维维(V1 V2 )= 维维(V1) + 维维(V2) ,而由前面而由前面的推论知的推论知 V1 + V2 为直和的充为直和的充要条件是要条件是V1 V2 = 0 ，这是与维这是与维(V1 V2 ) = 0等价的，也就与维等价的，也就与维(W) = 维维(V1) + 维
101、维(V2) 等价等价. 这就这就证明了定理证明了定理.证毕证毕三、直和的性质三、直和的性质定理定理 11 设设设设 U U 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间 V V 的一个子空间，的一个子空间，的一个子空间，的一个子空间，那么一定存在一个子空间那么一定存在一个子空间那么一定存在一个子空间那么一定存在一个子空间 WW 使使使使 V V = = U U WW . .这时这时 U 叫做叫做 W 的的补空间补空间，W 叫做叫做 U 的补空间，的补空间，或者或者 U 与与 W 是互补子空间是互补子空间.证明证明取取 U 的一组基的一组基 1 , , m .把它扩充把它扩充为为 V 的一组基的一组
102、基 1 , , m , m + 1 , , n .令令W = L( m + 1 , , n ) .则则 W 即满足要求即满足要求.证毕证毕例例 1 在在 3 维空间维空间 P3 中，过原点的两条相交直中，过原点的两条相交直线的直和就是由这两条直线所确定的平面线的直和就是由这两条直线所确定的平面. 如图如图6-9所示所示.L2例例 2 设设 V = P 3 ，L 是过原点的直线，是过原点的直线， 是过是过原点的平面原点的平面. 令令 L 上的点构成的空间为上的点构成的空间为 U， 上的上的点构成的空间为点构成的空间为 W，如果如果 U W = 0 ， 即即 L 不不 上，则上，则 V = U W
103、 .如图如图 6-10 所示所示.xoyz L图图图图 6-10 6-10 例例 3 设设 V = P 3，U = L( 1 )， 1 = (1, 1, 1)，求求 U 的补空间的补空间 W .四、多个子空间的直和四、多个子空间的直和定义定义 18 设设设设 V V1 1 , , V V2 2 , , , , V Vs s 都是线性空间都是线性空间都是线性空间都是线性空间 V V 的子空间的子空间的子空间的子空间. .如果和如果和如果和如果和 V V1 1 + + V V2 2 + + + + V Vs s 中每个向量中每个向量中每个向量中每个向量 的分解式的分解式的分解式的分解式 = = 1
104、 1 + + 2 2 + + + + s s , , i i V Vi i ( ( i i = 1,2, = 1,2,s s ) )是唯一的，这个和就称为直和是唯一的，这个和就称为直和是唯一的，这个和就称为直和是唯一的，这个和就称为直和. . 记为记为记为记为V V1 1 V V2 2 V Vs s . .和两个子空间的直和一样，我们有和两个子空间的直和一样，我们有定理定理 12 设设设设 V V1 1 , , V V2 2 , , , , V Vs s 都是线性空间都是线性空间都是线性空间都是线性空间 V V 的子空间，则下面这些条件是等价的：的子空间，则下面这些条件是等价的：的子空间，则下
105、面这些条件是等价的：的子空间，则下面这些条件是等价的：1)1)是直和；是直和；是直和；是直和；2)2) 零向量的表法唯一；零向量的表法唯一；零向量的表法唯一；零向量的表法唯一；3)3)4)4) 维维维维( ( W W ) = ) = 维维维维( ( V Vi i ) ) . .证明略证明略.主要内容主要内容引入引入引入引入第八节第八节 线性空间的同构线性空间的同构定义定义定义定义同构映射的性质同构映射的性质同构映射的性质同构映射的性质同构的充分必要条件同构的充分必要条件同构的充分必要条件同构的充分必要条件举例举例举例举例一、引入一、引入设设 1 , 2 , , n 是线性空间是线性空间 V 的
106、一组基，在的一组基，在这组基下，这组基下， V 中每个向量都有确定的坐标，而向中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成量的坐标可以看成 P n 的元素的元素. 因此，向量与它的因此，向量与它的坐标之间的对应实质上就是坐标之间的对应实质上就是 V 到到 P n 的一个映射的一个映射.显然，显然，这个映射是单射与满射这个映射是单射与满射这个映射是单射与满射这个映射是单射与满射，换句话说，坐标，换句话说，坐标给出了线性空间给出了线性空间 V 与与 P n 的一个双射的一个双射. 这个对应的这个对应的重要性表现在它与运算的关系上重要性表现在它与运算的关系上.设设 = a1 1 + a2 2 +
107、+ an n , = b1 1 + b2 2 + + bn n .即向量即向量 , 的坐标分别是的坐标分别是( a1, a2, . , an ) , ( b1, b2, , bn ), 那么那么 + = (a1+ b1) 1 + (a2+ b2) 2 + + (an+ bn) n ,k = ka1 1 + ka2 2 + + kan n .于是向量于是向量 + , k 的坐标分别是的坐标分别是( a1+ b1 , a2+ b2 , , an+ bn )= ( a1, a2, . , an ) + ( b1, b2, , bn ), ( ka1, ka2, . , kan ) = k( a1,
108、a2, . , an ) .以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性因而线性空间空间 V 的讨论也就可以归结为的讨论也就可以归结为 P n 的讨论的讨论.为了确为了确切地说明这一点，先引入下列定义切地说明这一点，先引入下列定义.二、定义二、定义定义定义 19 数域数域数域数域 P P 上两个线性空间上两个线性空间上两个线性空间上两个线性空间 V V 与与与与 V V 称称称称为为为为同构同构的，如果由的，如果由的，如果由的，如果由 V V 到到到到 V V 有一个双射有一个双射有
109、一个双射有一个双射 , , 具有以具有以具有以具有以下性质：下性质：下性质：下性质：1)1) ( ( + + ) = ) = ( ( ) + ) + ( ( ) ) ；2)2) ( (k k ) ) = k k ( ( ) ,) ,其中其中其中其中 , , 是是是是 V V 中中中中任意向量，任意向量，任意向量，任意向量，k k 是是是是 P P 中任意数中任意数中任意数中任意数. .这这这这样的映射样的映射样的映射样的映射 称为称为称为称为同构映射同构映射. .前面的讨论说明在前面的讨论说明在 n 维线性空间维线性空间 V 中取定一组中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是基后，向量与它
110、的坐标之间的对应就是 V 到到 P n 的的一个同构映射一个同构映射. 因而，因而，数域数域数域数域 P P 上任一个上任一个上任一个上任一个 n n 维线性空维线性空维线性空维线性空间都与间都与间都与间都与 P P n n 同构同构同构同构. .三、同构映射的性质三、同构映射的性质由定义可以看出由定义可以看出, 同构映射具有下列基本性质同构映射具有下列基本性质:1. 1. ( 0 ) = 0 , ( 0 ) = 0 , ( - ( - ) = - ) = - ( ( ) ) . .的的 2) 中分别取中分别取 k = 0 , -1 即得即得.2. 2. ( (k k1 1 1 1+ + k
111、k2 2 2 2 + + + + k kr r r r ) )= = k k1 1 ( ( 1 1) +) + k k2 2 ( ( 2 2) + + ) + + k kr r ( ( r r) .) .这是这是在在中的中的 1) 与与 2) 结合的结果结合的结果.3. 3. V V 中向量组中向量组中向量组中向量组 1 1, , 2 2 , , , , r r 线性相关的充分线性相关的充分线性相关的充分线性相关的充分必要条件是，它们的像必要条件是，它们的像必要条件是，它们的像必要条件是，它们的像 ( ( 1 1) , ) , ( ( 2 2) , , ) , , ( ( r r) ) 线性相
112、关线性相关线性相关线性相关. .因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数,所以由同构映射的性质可以推知，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间同构的线性空间同构的线性空间同构的线性空间有相同的维数有相同的维数有相同的维数有相同的维数. .4. 4. 如果如果如果如果 V V1 1 是是是是 V V 的一个线性子空间，那么，的一个线性子空间，那么，的一个线性子空间，那么，的一个线性子空间，那么，V V1 1在在在在 下的像集合下的像集合下的像集合下的像集合 ( (V V1 1) = ) = ( ( ) | ) | V V1 1 是是是是 ( (V V
113、) ) 的子空间，并且的子空间，并且的子空间，并且的子空间，并且V V1 1 与与与与 ( (V V1 1) ) 维数相同维数相同维数相同维数相同. .5. 5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射积还是同构映射积还是同构映射积还是同构映射. .因为任一线性空间因为任一线性空间 V 到自身的恒等映射显然到自身的恒等映射显然是一同构映射，所以性质是一同构映射，所以性质 5 表明，同构作为线性表明，同构作为线性空间之间的一种关系，具有空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传
114、反身性、对称性与传反身性、对称性与传反身性、对称性与传递性递性递性递性. .既然数域既然数域 P 上任意一个上任意一个 n 维线性空间都与维线性空间都与 Pn同构，由同构的对称性与传递性即得，同构，由同构的对称性与传递性即得，数域数域数域数域 P P 上上上上任意两个任意两个任意两个任意两个 n n 维线性空间都同构维线性空间都同构维线性空间都同构维线性空间都同构. .综上所述，我们有：综上所述，我们有：四、同构的充分必要条件四、同构的充分必要条件定理定理 13 数域数域数域数域 P P 上两个有限维线性空间同构上两个有限维线性空间同构上两个有限维线性空间同构上两个有限维线性空间同构的充分必要
115、条件是它们有相同的维数的充分必要条件是它们有相同的维数的充分必要条件是它们有相同的维数的充分必要条件是它们有相同的维数. .在线性空间的抽象讨论中，我们并没有考虑在线性空间的抽象讨论中，我们并没有考虑线性空间的线性空间的元素是什么元素是什么元素是什么元素是什么，也没有考虑其中，也没有考虑其中运算是运算是运算是运算是怎样定义的怎样定义的怎样定义的怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质下的代数性质.从这个观点看来，同构的线性空从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的间是可以不加区别的.因之，定理因之，定理 12 说明了，维说明了，维数是有限维线
116、性空间的唯一本质特征数是有限维线性空间的唯一本质特征.特别地，每一数域特别地，每一数域 P 上上 n 维线性空间都与维线性空间都与 n 元元数组所成的空间数组所成的空间 Pn 同构，而同构的空间有相同的同构，而同构的空间有相同的性质性质. 由此可知，我们以前所得到的关于由此可知，我们以前所得到的关于 n 元数组元数组的一些结论，在一般的线性空间中也是成立的，而的一些结论，在一般的线性空间中也是成立的，而不必要一一重新证明不必要一一重新证明.五、举例五、举例例例 1 Px3 与与 P 3 同构，其同构映射为同构，其同构映射为 ( a0 + a1x + a2x2 ) = (a0 , a1 , a2
117、) . 把把Px3的基的基 1 , x , x2 映射成映射成 P 3 的基的基 e1 , e2 , e3 , ( 1 ) = e1 = ( 1 , 0 , 0 ) , ( x ) = e2 = ( 0 , 1 , 0 ) , ( x2 ) = e3 = ( 0 , 0 , 1 ) .即即例例 2 设设 V 是全体复数在实数域是全体复数在实数域 R 上构成的上构成的线性空间，则线性空间，则 V 与与 R2 同构同构. 其同构映射为其同构映射为 ( a + i b ) = ( a , b ) . 把把 V 的基的基 1 , i 映射成映射成 R2 的基的基 e1 , e2 , 即即 ( 1 ) = e1 = ( 1 , 0 ) , ( i ) = e2 = ( 0 , 1 ) .例例 3 数域数域 P 上的空间上的空间 P2 2 与与 P 4 同构同构. 其同其同构映射为构映射为设设 P 4 的一组基为的一组基为 e1 = (1, 0, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0, 0) ,e3 = (0, 0, 1, 0) , e4 = (0, 0, 0, 1) , 则可得则可得 P2 2 的一组的一组基为基为
