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1、BCA直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的常见表达式和变形式勾股定理的常见表达式和变形式在直角三角中，如果已知两在直角三角中，如果已知两边边的的长长，利用勾股定理就可以求第三利用勾股定理就可以求第三边边的的长长；那么如果已知一条那么如果已知一条边长边长及另两及另两边边的的数量关系，能否求各数量关系，能否求各边长边长呢？呢？感受感受新知新知1（二）例（二）例题【问题1】如何在如何在实际问题中，利用勾股定理解决中，利用勾股定理解决问题呢？呢？例例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把
2、这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 例例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 设计意意图： 1.能利用勾股定理解决能利用勾股定理解决简单的的实际问题；2.通通过用代数式、方程等表述数量关系的用代数式、方程等表述数量关系的过程，体程，体会模型的思想，建立符号意会模型的思想，建立符号意识；3.初步学会在具体的情境中从数学的角度初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和和提出提出问题，并，并
3、综合运用数学知合运用数学知识和方法等解决和方法等解决简单的的实际问题，增，增强应用意用意识，提高，提高实践能力；践能力；4.本本题是我国古代数学著作是我国古代数学著作九章算九章算术中的中的问题，展展现我国古人在勾股定理我国古人在勾股定理应用研究方面的成果用研究方面的成果. 解决与勾股定理有关的解决与勾股定理有关的实际问题时，先，先要抽象出几何要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再形，从中找出直角三角形，再设未知数，找出各未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾的数量关系，最后根据勾股定理求解股定理求解.小小结：AB的中垂的中垂线DE交交BC于点于点DAD=BDBC=3BD+CDAD+CD= 3
4、 如如图，在，在RtABC中，中，C=90, AC=1，BC=3. AB的中垂的中垂线DE交交BC于点于点D, 连结AD，则AD的的长为.x3-x感受新知感受新知2在直角三角形在直角三角形中（已知两中（已知两边的数量关系）的数量关系）设其中其中一一边为x 利用勾股定理利用勾股定理列方程列方程 解解方方程程求各求各边长 如如图，有一，有一张直角三角形直角三角形纸片，两直角片，两直角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角将直角边沿直沿直线AD折叠，使点折叠，使点C落在斜落在斜边AB上的点上的点E，求，求CD的的长.CBADE66例例 1解：解：在在RtRtABCABC中中 AC=6cmAC=6c
5、m，BC=8cmBC=8cm AB=10cm AB=10cm设设CDCDDEDExcmxcm，则，则BDBD（8-x8-x）cmcm 由折叠可知由折叠可知AEAEACAC6cm6cm，CDCDDE,DE, C= C= AED=90AED=90 解得解得x x3 3 CD=DE=3cm CD=DE=3cmBEBE10-610-64cm, 4cm, BED=90BED=90在在RtRtBDEBDE中中由勾股定理可得（由勾股定理可得（8-x8-x）2 2 x x2 2+4+42 2CBADE66例例 1【问题2】如果一道如果一道题目中有多个直角三角形，我目中有多个直角三角形，我们如如何何选择在哪个直
6、角三角形中利用勾股定理求解呢？在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.方法一方法二方法二例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.1.如果一道如果一道题目中有多个直角三角形，要目中有多个直角三角形，要选择能能够用用一个未知数表示出三条一个未知数表示出三条边的直角三角形（的直角三角形（
7、边也可也可为常常数），在数），在这个三角形中利用勾股定理求解个三角形中利用勾股定理求解. 2.解决折叠解决折叠问题的关的关键：在：在动、静的、静的转化中找出不化中找出不变量量.小结： 例例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C处，B C与AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.注意： 1.基本基本图形：形：“平行、角平分平行、角平分线、等腰三角形、等腰三角形”知二推一知二推一 2.折叠折叠问题：折叠：折叠图形前后两个形前后两个图形全等，最好形全等，最好在在图中中标出相等的出相等的线段和角段和角.练习练习思考思考11、如、如图图，铁铁路上路上A，B两点相距两点相距25k
8、m，C，D为为 两村庄，两村庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，现现在要在在要在铁铁路路AB上上 建一个土特建一个土特产产品收品收购购站站E，使得，使得C，D两村到两村到 E站的距离相等，站的距离相等，则则E站站应应建在离建在离A站多少站多少km 处处？CAEBD解：解：设设AE= x km，则，则 BE=（25-x）km根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km
9、处。处。x25-xCAEBD1510思考思考1 在一棵在一棵树树BD的的5m高高A处处有两只有两只小猴子，其中一只猴子爬到小猴子，其中一只猴子爬到树顶树顶D后跳到离后跳到离树树10m的地面的地面C处处，另外，另外一只猴子爬下一只猴子爬下树树后恰好也走到地后恰好也走到地面面C处处，如果两个猴子，如果两个猴子经过经过的距离的距离相等，相等，问这问这棵棵树树有多高？有多高？ABCD5m10m思考思考2ABCD解：如解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m. 设AD长为x m，则树高高为(x+5)m. AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 15 - x.在在Rt
10、ABC中，根据勾股定理得中，根据勾股定理得解得解得x=2.5 答：答：树高高为7.5米。米。5m10m x+5=2.5+5=7.510 2+ (5 + x )2= (15 x)2思考思考2例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 【问题3】如果如果题目中既没有直角三角形，也没有目中既没有直角三角形，也没有直角，怎么利用勾股定理求解？直角，怎么利用勾股定理求解？设计意意图： 经历对几何几何图形的形的观察、分析，初步掌握察、分析，初步掌握利用分割利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的殊与一般的转化思想化思想;例例3
11、. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 方法一：例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 方法二： 例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求ABC的面积. 小小结： 1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可目中既没有直角三角形，也没有直角，可考考虑利用作垂利用作垂线段，分割段，分割图形的方法，构造直形的方法，构造直角三角形角三角形; 2. “斜化直斜化直”即：斜三角形化即：斜三角形化为直角三角形求解直角三角形求解. 例例3. 已知：如图，ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求A
12、BC的面积. 注意： 1.本本题可可选择列方程或方程列方程或方程组求解，当列方程求解，当列方程组求解求解时，要注意开平方，要注意开平方时，是两种情况，要，是两种情况，要舍去舍去负值；当列方程求解；当列方程求解CD时，最好写，最好写“ ”，可以省去后面的，可以省去后面的讨论; 2.本本题也可以也可以过A或或B作作对边的高的高. 【问题4】如果如果题目中没有直角三角形，但存在直角，目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？怎么利用勾股定理求解？设计意意图： 【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？1.经历对几何几何图形的形的观察、分析，初步掌握利用察、分析
13、，初步掌握利用“补”图形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的形构造直角三角形的方法，了解特殊与一般的转化思想化思想;2.题目中目中设置的已知量并不是整数，意在增置的已知量并不是整数，意在增强学生学生的的计算能力算能力.小小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角，目中没有直角三角形，但存在直角，可以考可以考虑“补”出直角三角形求解出直角三角形求解.实际上，上，本本题利用利用“割割”也有多种做法也有多种做法. 小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角，目中没有直角三角形，但存在直角，可以考可以考虑“补”出直角三角形求解出直角三角形求解.实际上，上，本本题利用利用“割割”也有多种做法也有多种做法.
14、注意： 1.本本题的解法很多，但是解法上却有的的解法很多，但是解法上却有的简单，有的复有的复杂，要，要选择好方法好方法; 2.注意不要跳步注意不要跳步.不能直接用不能直接用结论：“含有含有30的的直角三角形的三直角三角形的三边的比的比为： ”;如：要求如：要求CE，需先求，需先求DE，再由勾股定理求，再由勾股定理求CE. 【问题5】如果将勾股定理中如果将勾股定理中“直角三角形直角三角形”改改为为“斜三角形斜三角形”， 的关系会是怎的关系会是怎样呢呢？思考思考题：在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则 ，若ABC不是直角三角形，如图和图，请你类比勾股定理，试
15、猜想 的关系，并证明你的结论. 思考思考题：在：在 ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若 C=90，如，如图，根据勾，根据勾股定理，股定理，则 ，若，若 ABC不是直角三角形，如不是直角三角形，如图和和图，请你你类比勾股定理，比勾股定理，试猜想猜想 的关系，并的关系，并证明你的明你的结论. 设计意意图： 1.从从证明方法角度看，通明方法角度看，通过利用利用“割割”、“补”图形形构造直角三角形的方法，得出构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理的似勾股定理的结论，它是本，它是本节课所学知所学知识的的综合合应用；用； 2.从从结论上看，三角形的上看，三角形的边长由具体的数由具体的数变成
16、了字成了字母，母，结论具有普遍性，它也是本章第具有普遍性，它也是本章第18.1小小节勾股勾股定理的推广，体定理的推广，体现了特殊与一般的了特殊与一般的转化思想化思想.思考思考题：在：在 ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若 C=90，如，如图，根据勾，根据勾股定理，股定理，则 ，若，若 ABC不是直角三角形，如不是直角三角形，如图和和图，请你你类比勾股定理，比勾股定理，试猜想猜想 的关系，并的关系，并证明你的明你的结论. 小小结： 若若 ABC是是锐角三角形，角三角形，则有有 ，若若 ABC是是钝角三角形，角三角形， C为钝角，角，则有有 . 思考思考题：在：在 ABC中，中，BC=a，AC=b，AB=c，若，若 C=90，如，如图，根据勾，根据勾股定理，股定理，则 ，若，若 ABC不是直角三角形，如不是直角三角形，如图和和图，请你你类比勾股定理，比勾股定理，试猜想猜想 的关系，并的关系，并证明你的明你的结论. . 注意：注意： 锐角三角形和角三角形和钝角三角形都要角三角形都要过点点A或点或点B作作高，才能得出高，才能得出结论. 小结小结 应应注意：没有注意：没有图图的要按的要按题题意画好意画好图图并并标标上字母上字母.
