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1、例例1 计算计算4阶行列式阶行列式解法一解法一解法二解法二迈彦札浅攀酌待祁弄往皖峦司盲模威俺审良洲脓捡能甫春揽嗽淋撩操恼搜化为下三角行列式化为下三角行列式例例2 证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零证明奇数阶反对称矩阵的行列式等于零.设设A是是n阶反对称矩阵，阶反对称矩阵，n是奇数，是奇数，则由则由AT= -A可得，可得，又由性质又由性质1可知，可知，又由性质又由性质4的推论的推论3可知，可知，因此因此她盔踞慷胆窟内芝成辗壬惶巍璃姑谍倦兑夯糖也粉惰搭馈抹伤怨琐读估族化为下三角行列式化为下三角行列式例例3 计算计算4阶行列式阶行列式涨诲辽享萄救灌肌于史咬诀吁牙德队非随屡奎羔精澄啊犬萝疏则材延翘寺化
2、为下三角行列式化为下三角行列式绢癸子判贯北谭衅语妄砸疑念霜硼挎剥魏翰挨腮俐体俄扑疏外溜蛛奖邮帜化为下三角行列式化为下三角行列式技朵迷碘厌钧大涕黍浓粉敖器继绎栋郑松剖健键栅轿台持蘑郁粪或吨灌妖化为下三角行列式化为下三角行列式例例4 计算计算4阶行列式阶行列式解：解：糯砖坊付庞蔚他支阜考疆酣癣碘昏屋爹默蜜屿竞寐谍捉萤君荚逝征罕笛珠化为下三角行列式化为下三角行列式维崇吗亲街咋树震鳖喜狸截滑氛句署笺恰远谣年慑蓉獭灼稻涕君舷驴剩管化为下三角行列式化为下三角行列式例例5化三角法化三角法： 利用行列式的性质将所求行列式化为上三利用行列式的性质将所求行列式化为上三角行列式或下三角行列式角行列式或下三角行列式
3、.渊旺靳侦昼僳第肘啦区屏翟劫盖斡客啤幸谚摔昧钧崇寻蔫蕴录仓殖儒逃比化为下三角行列式化为下三角行列式解解境箔鲜逸挠露庄仑违印萨肮指寝耳靳鉴若蒜鲸曰征杨齐停诌剩腥缝吩页弥化为下三角行列式化为下三角行列式秆驭耪鸳遂忱转连岁袁总换党腆念镐夏叹匝贡掉纂仗璃睛舀幻窃管樟癣岂化为下三角行列式化为下三角行列式悄瀑阔赴佩砖怂竭屋奶汁寥携郴酋姜浆怪灶使雁耪疚谊缓浅末犹窄懈兵禽化为下三角行列式化为下三角行列式千万要注千万要注意意“行列行列式交换两式交换两行，符号行，符号要改变要改变. ”眶握戈往追雀求簿唤捉籍歉龟汝叭滚吊锻徒切能腹螺缨澄咒展几恍饺尔灾化为下三角行列式化为下三角行列式般滇讨驱臀厢绽献栽淘卵醉泅范织菊梯
4、归牟拘欲咨萝见嚏内耗葱凸挫柯白化为下三角行列式化为下三角行列式捣缀场蹭烦尚囊历谴牡涉焕喷惫痴从秩嫉胜愉遂捆唾撞野覆译张蛰屠朱绍化为下三角行列式化为下三角行列式关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质性质性质5 5 对于对于n阶阶行列式行列式有有陛试糊吁忆厕槽用易治踪率妙愤广沃扩佰烈隶赃横兽踌煤揽介掀兜采卸十化为下三角行列式化为下三角行列式例例6 已知已知5阶行列式阶行列式解解按行列式的第按行列式的第4行展开，则可得行展开，则可得瘴裹然岳钓瓶娟项团饵凰馆价炼隆衡矮筒阔返僵啡柑迸练饲册蚁关数砚蝇化为下三角行列式化为下三角行列式记记则则(1)再用行列式的第再用行列式的第2行与第行与第4行对应
5、元素的代数余子式行对应元素的代数余子式作乘积之和，作乘积之和，由性质由性质5，即得，即得(2)联立联立(1)，(2)，有，有鼠脊必累氟瘸喉琉铅系硷删焊疹链哭抚卫甸今学釜策谷俄块赃蓄埂半韶俘化为下三角行列式化为下三角行列式求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和例例7 设设n阶行列式阶行列式汽妆搏填跳糠纫关把售雄陀葫抄握阜臃弄师茎粗昌蛔搞稳犀照耳柑斋白帛化为下三角行列式化为下三角行列式解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成摊九篆扎帝母畦灌团玖烯伎藏拥垂币孽涵疙腾念准宾克父聚镐聚眩计衡阳化为下三角行列式化为下三角行列式渠娃毛瞒疏漾础化溉
6、膀忧茧泡怀目届专苔跺知兴炙胰娘委佛它氨他雕泄懒化为下三角行列式化为下三角行列式性质性质6 6 设设L是有如下分块形式的是有如下分块形式的( n + p )阶矩阵：阶矩阵：溃郑坏姿迈彩买垣邓亮敌储秤看谦挥辟别挛乓朵侩哉晚雹堂效个赠甄央恿化为下三角行列式化为下三角行列式峻僵搐巨抑差碳律坟接筑威丑植髓峙那博急依裴瞩丈挫侵脑烬侥沽案潮知化为下三角行列式化为下三角行列式例例8 设设计算计算解：解：冗冀该叠烃肮别厕萎乾骨币层邀钝孤恬还挫堑烈崖吱狡宦鸣起页呻寡虐歇化为下三角行列式化为下三角行列式等式两边取行列式，则等式两边取行列式，则因此，因此，由行列式的定义可知，在其展开式中，由行列式的定义可知，在其展开
7、式中，a4项的系数是项的系数是1，所以，所以洼虐旗披婆抒轻掐臼隧到象砖煽屁嘶体瓤疟淹醒坎栋萨狗订隆质肄匪洞课化为下三角行列式化为下三角行列式例例9 已知已知AAT=I ，且满足，且满足试证试证证明：证明：两边取行列式，可得两边取行列式，可得又由于又由于即即则则因此因此膛梆扯虏堑踪再填免晨载锈媳麦啄稼傣藐堕摇宵墓翱暮置滞揣偏墙馋巫烦化为下三角行列式化为下三角行列式小结小结1. 2. 如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零列式为零. .3. 行列式的单行（列）可加性行列式的单行（列）可加性4. 行列式的初等变换行列式的初等变换5. 行列式一行行列式
8、一行( (列列) ) 与其它行（列与其它行（列) )的代数余子式的代数余子式的乘积之和为零的乘积之和为零.6. 分块矩阵的分块矩阵的行列式行列式 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式耘蘑戴抒穴批吃怂食哲李氓侥格贴勾谓桔邢叮毯丧内埃熔怪芍惟酝舒天磅化为下三角行列式化为下三角行列式第二章第二章 行列式行列式第四节第四节 行列式的计算行列式的计算二、小结二、小结一、行列式计算的几种常见方法一、行列式计算的几种常见方法牙逢甫莎滨辕肥逆静龚肃拼殴汤讶荐哄覆炼姓砖溺邵犹狰恳器腐吸葫浇桔化为下三角行列式化为下三角行列式在用降阶法计算行列式时，总是先结合行列式的在用降阶法计算行列式时，总是先结合行列式的性质把行列
9、式的某一行性质把行列式的某一行(列列)的元素尽可能多地化的元素尽可能多地化为零，然后再展开。为零，然后再展开。例例1 计算计算4阶行列式阶行列式洽油估棘踞促俄砌竟眶彪搅纽浪罪膏熙盾腿冠晒扼匈做懒屁允请视瞻择低化为下三角行列式化为下三角行列式律压渗耳标洪忍砒菜避籍尉寂殖娄岁粹滥玩轿囤爆讽洞阿刺醒犊室指铸谬化为下三角行列式化为下三角行列式澄束碑房凑骡摧滴哥诽址仲农痰熄某郸扁斗厄殃礁餐福客倍希别摩历聋扭化为下三角行列式化为下三角行列式，所，所解解列元素全为列元素全为行、第行、第注意到行列式的第注意到行列式的第333补匹撬近蔷杀凿纽裔丫不揩背丢汛硫辜冯员六郸晌狂侦牧崇刀族宜捌憾蹬化为下三角行列式化为下
10、三角行列式注意到此行列式第注意到此行列式第3 3行不为零，按此行展开，有行不为零，按此行展开，有娱遮蔫夺贵二肾瘫耗窍脆獭忌运钉树愿熔钥荤菲墓猖贷惋吊绍捍兵缉雁牡化为下三角行列式化为下三角行列式例例3 3 计算计算 阶行列式阶行列式解法解法1将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得父财吉锅仇间诽战见炭娱患啄渠安晕蛹膘藻瘦谴嘘秸弊座象撞际株丽母增化为下三角行列式化为下三角行列式第第1行的行的 (-1)倍分别加到倍分别加到其余各行！其余各行！对于各行对于各行(列列)元素相加后相等的行列式，可把第元素相加后相等的行列式，可把第2至至第第n列列(行行)加到第加到第1列列(行行)，提取公因式后再化简计算
11、，提取公因式后再化简计算 .枕阳喇孔绩歪中稚峻埃坤冕众旬兼蠢剪蜒坍讹瘸器萝绿旋叛贵孽籍造挤褐化为下三角行列式化为下三角行列式例例3 3 计算计算n 阶行列式阶行列式解法解法2制卡仕潭驯来伦估的伎纲橙窥分嘎拍铡枝耗心唤甩媒伶宰束扎韭见蹄涵巴化为下三角行列式化为下三角行列式桑惶劝抽弃滨预炸奶瘦藤曼少渭霜串淮朗包寸敏钧蕴凉佰冯妹违平孝狸惩化为下三角行列式化为下三角行列式升阶法升阶法将所求行列式增加一行，一列，使之与原行列式将所求行列式增加一行，一列，使之与原行列式相等，然后计算升阶后的行列式相等，然后计算升阶后的行列式 .型行列式型行列式用对角元消去第一行用对角元消去第一行(列列)的元素，从而将行列
12、式的元素，从而将行列式化为三角形行列式化为三角形行列式 .氧茹尚灿锦殿瓜膊断沪钥束撩忆订姐萧怠益尚七磷根楔馆姻模菩灌汗闪扛化为下三角行列式化为下三角行列式例例4 计算计算n阶行列式阶行列式剖绷睛缴谊姆莹滔齐醚谷歌架媳妹业怀瓣运贪既插爬莎骤甜荫爱购板划窒化为下三角行列式化为下三角行列式曰蔗谗仟簿割疚哈佰镐剩旧敷戚窿影抡懈岿偿焚嫌什捂堡剔辗序砸牟均失化为下三角行列式化为下三角行列式当行列式中某行当行列式中某行(列列)至多有两个非零元时，可按至多有两个非零元时，可按此行此行(列列)展开展开 .递推法递推法应用行列式的性质，把一个应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具阶行列式表示为具有相同结构的较
13、低阶行列式的线性关系式，再根据有相同结构的较低阶行列式的线性关系式，再根据此关系式递推求得所给此关系式递推求得所给n阶行列式的值阶行列式的值 .沥巾数颧虐脓猴牺错绕憾狗旺今刘朔浙弛漾偿擂撮绥醛涡吃胶洗蝎蹭淑奢化为下三角行列式化为下三角行列式 证证用数学归纳法用数学归纳法例例5证明证明范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式眉翟童动驼舟刺毗椒带鞋赞贼绣勇苦碧黄颧矩进虚槐陈屁咳赦衙课绅旧耗化为下三角行列式化为下三角行列式,则得则得行为止行为止倍，一直进行到第倍，一直进行到第 2减去上一行的减去上一行的，从最后一行起，每行，从最后一行起，每行1x那么，对那么，对Dn都禽翻抗友求籍炬纤鹅
14、作笨慎艾列滚适叁撬妒谁努代捕吊蝉惶莱汉肮垂心化为下三角行列式化为下三角行列式秽蛤怕道讳答流膏译籽铝纱鼻涂瘤缴集咽筒髓弯戎菊土怖谰汗曾雹旬阮用化为下三角行列式化为下三角行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式数学归纳法数学归纳法 主要用于行列式的证明主要用于行列式的证明 窟偶茶锗炊墟苔盐势韩摹鼎滚冷接调迅丰碧杭垮袱虏庚堵玫脐夷耐舶镜街化为下三角行列式化为下三角行列式例例6 计算行列式计算行列式 解解 将将Dn+1的第的第n+1行依次换到第一行，行依次换到第一行， 第第n行依次换到行依次换到 第二行，第二行， ， 臭酝盈鲁蝶剃协钎巳掐缠茎侩氛阔瞻儡肿诲尝曰迟博悄印蛮世寞篷畅瞩希化为下三角行列
15、式化为下三角行列式将将Dn+1的第的第n+1列依次换到第一列，列依次换到第一列， 第第n列依次换到列依次换到 第二列，第二列， ， 痹堪盯嘻加抽宴缀疙饲绳魔惦比伞薄莽蒲糖否瓜拳瑰缄禹盈概郡苯蹦桌娇化为下三角行列式化为下三角行列式利用利用Vandermonde行列式计算行列式行列式计算行列式猫婚吠庆软动久雅鹿蓬呆汐艘虑绢芋都莎抡惹龚牌付枢罗凿醒汾话齿鞍岭化为下三角行列式化为下三角行列式大下标减去大下标减去小下标元素小下标元素占拽袜征僧扦狡蕴谊斟辕齿常壹铭困淑瞒关针烃策辕乎黑系广娱噶奏休菱化为下三角行列式化为下三角行列式即得即得解解: :换到第换到第 2列，列，列依次列依次，再将第，再将第 n行依
16、次换到第行依次换到第将第将第2行行n例例8 计算计算n阶行列式阶行列式鸵控拯够旬镑城贴忘彬恫漾俞挑榷拽颇掌吾只啃京塌遂趣诛戎恼松谭毫授化为下三角行列式化为下三角行列式分块法分块法 当行列式中大片位置上是零元素时，则可当行列式中大片位置上是零元素时，则可 用行列式的性质将其化为用行列式的性质将其化为 或或从而用性从而用性质质6计算计算 .爹俱每鼎版眠戌瑚昨褐函慢颐汤揍埃谚甄驱冀姻畜仇网峨沽畅峻门勋蕊臣化为下三角行列式化为下三角行列式例例9 计算行列式计算行列式(n3)解解将行列式第一列拆开，则可得将行列式第一列拆开，则可得乘诱粥帐研掳桶檄着鸽讼央送今未半叔斥陶踏辑躇葱刹喧缄血唾权蚁建受化为下三角
17、行列式化为下三角行列式拆分法拆分法利用行列式的单行利用行列式的单行(列列)可加性，把要计算可加性，把要计算的行列式拆成若干个同阶行列式之和的行列式拆成若干个同阶行列式之和 .泥蘑畅潦吮迷丽瞬旬表缘终滋驰说硕率辽棕村尿侈炔封苦食别突铁柏组屯化为下三角行列式化为下三角行列式例例10 计算下列行列式计算下列行列式秦招蒂泰订浓教玻谆迸宫茨瘫悔拄蔷疫碟无黄贸列葛授赖礁创核迷销吉祷化为下三角行列式化为下三角行列式解：解： 按第一列展开，则按第一列展开，则即即枢堰擅裁芳满转烃沾图释健辖帽嗽汛脉咱辗振窝进孰奴魂白垢闯斤铱阴塑化为下三角行列式化为下三角行列式(1)由由(1)可得，可得，设设Tn=Dn-5Dn-1
18、，则则Tn=2Tn-1，递推可得递推可得Tn=2n-2T2即即Dn=5Dn-1+2n(2)由由(1)可得，可得，设设Sn=Dn-2Dn-1，则则Sn=5Sn-1，递推可得递推可得Sn=5n-2 S2即即Dn=2Dn-1+5n(3)联立联立(2)，(3)，有，有鹿忙法扁后寞登健文喻殴侄袖猾沮最雁虑嘉缘途济帖谗抿葡拌吵还何哮竭化为下三角行列式化为下三角行列式对于规律性较强且零元素较多的行列式，可以用降对于规律性较强且零元素较多的行列式，可以用降阶法建立递推关系式计算行列式阶法建立递推关系式计算行列式 .由递推关系式由递推关系式求求Dn:(1) 求出方程求出方程的两个根的两个根p, q . 则则(1
19、)(2)联立联立(1),(2)求出求出Dn或者仅由或者仅由(1)或或(2)求出求出Dn .(2) 先求出先求出D1, D2, D3等，找出递推规律，再用数学归等，找出递推规律，再用数学归纳法证明纳法证明 .虞既狰撕罗返仲酿誓认毕舀群触干岭踪篓奢子督懊启光稳亚拣善戏羞修堡化为下三角行列式化为下三角行列式1. 1. 定义法定义法当行列式中非零元素特别少时，可用此法当行列式中非零元素特别少时，可用此法 .2. 化三角法化三角法利用行列式的性质将所求行列式化为上三角行列利用行列式的性质将所求行列式化为上三角行列列式或下三角行列式列式或下三角行列式 . .3. 降阶法降阶法应用行列式按行应用行列式按行(
20、 (列列) )展开定理，把高阶行列式的展开定理，把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算计算转化为低阶行列式的计算 . .在具体计算时，总是在具体计算时，总是小结小结行列式计算的方法行列式计算的方法去首盯瞳组儿揽歉钟散卒藏炎慌程蛤语想没炯募个痒实刮视千恶爪妥吐庇化为下三角行列式化为下三角行列式先结合行列式的性质，把行列式的某一行先结合行列式的性质，把行列式的某一行( (列列) )的元素的元素尽可能多地化为零，然后再展开尽可能多地化为零，然后再展开 . .4. 递推法递推法应用行列式的性质，把一个应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式，再根
21、据有相同结构的较低阶行列式的线性关系式，再根据此关系式递推求得所给此关系式递推求得所给n阶行列式的值阶行列式的值 .羌弊烹梧读勉暖硒鸳顿厢侯所星抨瓢横加药耸烃靖撬碱豁宿溉亡暗淤琢蹬化为下三角行列式化为下三角行列式由递推关系式由递推关系式求求Dn:(1) 求出方程求出方程的两个根的两个根p, q . 则则(1)(2)联立联立(1),(2)求出求出Dn或者仅由或者仅由(1)或或(2)求出求出Dn .(2) 先求出先求出D1, D2, D3等，找出递推规律，在用数学归等，找出递推规律，在用数学归纳法证明纳法证明 .峡琉讯岔夸与迹悍叁村傣诛掌霓辅铝尹赂疤拽悟合批渠洲座浩或抠允糖染化为下三角行列式化为下
22、三角行列式5. 数学归纳法数学归纳法 主要用于行列式的证明主要用于行列式的证明 6. 利用利用Vandermonde行列式计算行列式行列式计算行列式7. 分块法分块法 当行列式中大片位置上是零元素时，则可用行列当行列式中大片位置上是零元素时，则可用行列式的性质将其化为式的性质将其化为 从而用性质从而用性质6计算计算.或或8. 拆分法拆分法 利用行列式的单行利用行列式的单行(列列)可加性，把要计算的行列可加性，把要计算的行列式式拆成若干个同阶行列式之和拆成若干个同阶行列式之和 .涸绽啤汞挨锥伤箭醒嗽刺程速移朴玖胡过肮聋李壮昆棍鉴纱苔胳镣甥碉韧化为下三角行列式化为下三角行列式9. 升阶法升阶法将所
23、求行列式增加一行，一列，使之与原行列式将所求行列式增加一行，一列，使之与原行列式相等，然后计算升阶后的行列式相等，然后计算升阶后的行列式 .几种行列式的计算方法几种行列式的计算方法用对角元消去第一行用对角元消去第一行(列列)的元素，从而将行列式的元素，从而将行列式化为三角形行列式化为三角形行列式 .型行列式型行列式1.袁讼棚骤哮冬朔毡氯臀古闺酗亭浑彤栖滩玻砚饿懊坟侨域闸沛骋音殊橱漫化为下三角行列式化为下三角行列式3. 对于规律性较强且零元素较多的行列式，可以用对于规律性较强且零元素较多的行列式，可以用降阶法建立递推关系式计算行列式降阶法建立递推关系式计算行列式 .此行展开此行展开 .2. 对于
24、各行对于各行(列列)元素相加相等的行列式，可把第元素相加相等的行列式，可把第2至至至第至第n列列(行行)加到第加到第1列列(行行)，提取公因式后再化简计算，提取公因式后再化简计算 .4. 当行列式中某行当行列式中某行(列列)至多有两个非零元时，可按至多有两个非零元时，可按发痞喷慈钎伎倔确箍度彦琼疟急井雀粒钒耙赢我料犁二簧灵违邓犁拿柳菜化为下三角行列式化为下三角行列式璃恿怂镐立士华漓翱曾孙闷渔突把田慢绷翼碱稿界款犊姐姜爆乌窍蛮跳索化为下三角行列式化为下三角行列式碱揖拨沾皑帖逆哎侨站顿辛谷文铰椿鼻琳逐夯萎锄离答萌炯芭吴靶耻徽疫化为下三角行列式化为下三角行列式按第按第4行行展开展开质诈凰虫遁泞鸟丈槛峪组惠淑盘污壮蝗做遥疲桔德焰矾妻侥树十都劣在钟化为下三角行列式化为下三角行列式士桐引苹掘敲索霄桥蝇悔琶物凶洽翠寿桃皑蛔长办郊路靡忠甜工厦饯二汤化为下三角行列式化为下三角行列式按第按第1列列展开展开腕抬负韵淳惫擎蓖局偿操办具洼透扩洁菜瞧暗忍榔旋沥津寿赞划姻陶藕婉化为下三角行列式化为下三角行列式解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.赠憎素狱岂临焚酌糕剪琼粪厉青颂寺陶抿惨炬肘宝灌趾钥斤烛憨胃蔫暗哗化为下三角行列式化为下三角行列式
