《高考试卷中,立体几何所占百分比约为20,考查的立足点放》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考试卷中,立体几何所占百分比约为20,考查的立足点放（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考试卷中，立体几何所占百分比高考试卷中，立体几何所占百分比约为约为20%，考查的立足点放在空间，考查的立足点放在空间形体和空间图形上，突出对空间观形体和空间图形上，突出对空间观念和空间想象能力的考查念和空间想象能力的考查 高考对空间想象能力的考查要求是：高考对空间想象能力的考查要求是： 1能能根根据据条条件件画画出出正正确确的的图图形形，根据图形想象出直观形象；根据图形想象出直观形象； 2能能正正确确地地分分析析出出图图形形中中基基本本元元素及其相互关系；素及其相互关系； 3能对图形进行分解、组合与变能对图形进行分解、组合与变形形 一、用关于图形的逻辑思维统帅识图、一、用关于图形的逻辑思维统
2、帅识图、画图画图 立立体体几几何何图图形形的的特特征征是是通通过过概概念念来来描描述述的的，要要求求理理解解概概念念的的本本质质，根根据据对对概概念念的的叙叙述述想想象象出出图图形形，分分解解出出解解题题所所需需要要的的因因素素，必必要要时时画画出出草草图图，辅辅助助解解题题. 概概念念是是思思维维的的基基本本元元素素，也也是是空空间间想想象象的的出出发发点点，高高考考中中对对空空间间想想象象能能力力的考查从概念的理解和使用开始的考查从概念的理解和使用开始 例例1 已知三棱锥已知三棱锥 DABC 的三个的三个侧面与底面全等，且侧面与底面全等，且 ，BC2则以则以BC为棱，以面为棱，以面BCD与
3、面与面BCA为面的二面角的大小是为面的二面角的大小是 A B C D 【思思路路分分析析】在在正正确确理理解解概概念念的的基基础础上上在在头头脑脑中中想想象象和和勾勾画画出出相相应应的的几几何图形何图形 抓抓住住关关键键：“三三个个侧侧面面与与底底面面全等全等”，画出三棱锥，画出三棱锥即即 ，ADADBCBC2 2 由题设条件画出二面角由题设条件画出二面角ABCD 的平面角的平面角 E是是BC 的中点，的中点，由于由于ABAC，得得 AEBC，同理同理 DEBC，AED是二面角是二面角A-BC-D的平面角的平面角计算计算AED的大小的大小答案答案C 【小小结结】解解题题过过程程中中有有两两个个
4、关关键键步步骤骤：一一是是正正确确画画出出三三棱棱锥锥，二二是是正正确画出二面角的平面角确画出二面角的平面角计算的正确需要正确地画图来辅计算的正确需要正确地画图来辅佐，而画图的正确要以概念正确为保佐，而画图的正确要以概念正确为保证概念是空间想象的基础证概念是空间想象的基础 例例2 在在120的的二二面面角角PaQ的的两两个个面面P和和Q内内，分分别别有有点点A和和点点B，已已知知点点A和和点点B到到棱棱a的的距距离离分分别别为为2和和4，且且线段线段AB10 (1) 求直线求直线AB和棱和棱a所成的角；所成的角； (2) 求直线求直线AB和平面和平面Q所成的角所成的角 【思思路路分分析析】本本
5、题题涉涉及及四四类类空空间间的的角角与距离与距离: （1）二面角及其平面角；）二面角及其平面角； （2）点到直线的距离；）点到直线的距离； （3）两条异面直线所成的角；）两条异面直线所成的角； （4）直线和平面所成的角）直线和平面所成的角 先过先过A点作出平面点作出平面Q的垂线，并注意的垂线，并注意垂足垂足O的位置再依据概念和定理依次作的位置再依据概念和定理依次作出这四类空间角与距离出这四类空间角与距离 【解解解解】过过过过A A作作作作AOAO平平平平 面面面面 Q Q， 垂垂垂垂足足足足为为为为O O，连连连连结结结结BOBO， 则则则则 ABOABO是是是是直直直直线线线线AB AB 和
6、和和和平平平平面面面面Q Q 所成的角所成的角所成的角所成的角 在在在在平平平平面面面面Q Q 内内内内作作作作 BDBDa a 于于于于 D D，OEOEa a 于于于于 E E， 连连连连OEOE并延长，并延长，并延长，并延长， a由三垂线定理可知由三垂线定理可知由三垂线定理可知由三垂线定理可知AEAEa a，AEC AEC 是是是是二面角二面角二面角二面角P Pa aQ Q 的的的的平面角，平面角，平面角，平面角，AECAEC120120 AEAE、BD BD 分别分别分别分别是是是是A A、B B 两点到两点到两点到两点到a a 的的的的距离，距离，距离，距离，AEAE2 2，BDBD
7、4 4 aa 在在平平面面Q内内作作BCa交交OE的的延延长长线线于于C，则则ABC是直线是直线AB和棱和棱a 所成的角所成的角 四边形四边形ECBD是矩形是矩形 ECBD4 在在AEC中，中， AC2=AE2EC22AEECcos120=28 在在在在RtRtACBACB中，中，中，中， ， 在在在在RtRtAEOAEO中，中，中，中， ， 在在在在RtRtAOBAOB中，中，中，中， ， 直线直线直线直线AB AB 与棱与棱与棱与棱a a 所成的角为所成的角为所成的角为所成的角为 ，直线直线直线直线ABAB与平面与平面与平面与平面Q Q 所成的角为所成的角为所成的角为所成的角为 【小结小结
8、】 注注意意本本题题围围绕绕平平面面Q的的垂垂线线AO陆续添加辅助线的方法；陆续添加辅助线的方法； 立体几何中关于角与距离的计立体几何中关于角与距离的计算，总是要把这些几何图形与几何量算，总是要把这些几何图形与几何量放到某些三角形中，把关于空间角与放到某些三角形中，把关于空间角与距离的计算转化为解三角形距离的计算转化为解三角形 例例3 如图，已知斜三棱柱如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面的侧面A1ACC1与底面与底面ABC垂直，垂直，ABC90，BC2， ，且，且AA1A1C，AA1A1C求求（1）侧棱）侧棱AA1与底面与底面ABC所成角的大小；所成角的大小；（2）侧侧面面A1ABB1
9、与与底底面面ABC所所成成角角的的大小；大小；（3）点）点C到侧面到侧面A1ABB1的距离的距离 【思路分析思路分析】思路思路1： 侧侧侧侧 棱棱棱棱与与与与 底底底底面面面面 所所所所成角成角成角成角侧侧侧侧 棱棱棱棱与与与与 射射射射影影影影 所所所所成角成角成角成角 射影射影射影射影在哪在哪在哪在哪儿儿儿儿 侧面侧面侧面侧面A A1 1C C底面底面底面底面ABCABCA A1 1ACAC为所求为所求为所求为所求 A1ED为所求二为所求二面角的平面角面角的平面角 思路思路2： 二面角二面角的平面的平面角概念角概念三三 垂垂 线线定定 理理思路思路3： 距离距离概念概念点点 在在 平平 面
10、面上的射影上的射影三垂线定理三垂线定理BCH可解可解 【略略解解】 （1）由由思思路路1的的分分析析可可知知A1AC是侧棱是侧棱AA1与底面与底面ABC所成的角所成的角,A1AC45. （2）作作A1DAC，DEAB，连连A1E，由由题题设设条条件件可可得得A1D面面ABC，A1EAB，A1ED是是面面A1B与与面面ABC所所成成二二面面角角的平面角的平面角 故故A1ED60为所为所求求可计算得可计算得 （3）作作CH平平面面A1B，垂垂足足为为H，则，则CH的长是点的长是点C到平面到平面A1B的距离的距离. 连结连结HB，由于由于BCAB，故，故HBAB，在在HBC中中， HBC是是平平面面
11、A1B与与面面ABC所所成成二二面面角的平面角，角的平面角，HBC60 【小小结结】立立体体几几何何的的计计算算题题，常常要要分分两两步步：第第一一步步“画画”，第第二二步步“算算” “画画”，要要在在深深入入理理解解概概念念与与定定理理前前题题下下，通通过过适适当当的的推推理理才才能能“画画准准”，画出后还需证明所画即为所求，画出后还需证明所画即为所求 “算算”，要要在在推推理理基基础础上上，运运用用平平面面几几何何或或解解三三角角形形知知识识合合理理运运算算，才才能能得出正确结论得出正确结论 空间想象能力是指对空间图形的空间想象能力是指对空间图形的处理能力，其中的一种表现方式是对处理能力，
12、其中的一种表现方式是对空间图形的分解与整合能力，即把复空间图形的分解与整合能力，即把复杂图形分解为简单图形，把简单图形杂图形分解为简单图形，把简单图形合成复杂图形；把空间图形拆成平面合成复杂图形；把空间图形拆成平面图形，并把平面图形合成立体图形图形，并把平面图形合成立体图形 二、对空间图形分解与整合二、对空间图形分解与整合 1复杂图形的分解与组合复杂图形的分解与组合 例例4 将将边边长长为为a的的正正方方形形ABCD沿沿对对角角线线AC折折起起，使使得得BDa，则则三三棱棱锥的体积为锥的体积为A BC D 【思路分析思路分析】(1)要依题设条件画要依题设条件画出折叠前的平面图形及折叠后的直观图
13、出折叠前的平面图形及折叠后的直观图 （2 2）把把把把原原原原来来来来的的的的三三三三棱棱棱棱锥锥锥锥分分分分解解解解成成成成易易易易求求求求体体体体积积积积的小三棱锥的小三棱锥的小三棱锥的小三棱锥【略解略解略解略解】由于由于由于由于DODOACAC，BOBOACAC， 故故故故ACAC平面平面平面平面DBODBO又又又又 ，DBDBa a因此因此因此因此DOBDOB9090V VD DABCABCV VA ADOBDOBV VC CDOBDOB答案答案答案答案D D 例例5 正正四四棱棱锥锥侧侧棱棱长长为为m，问问两两相相邻邻侧侧面面所所成成二二面面角角多多大大时时，其体积是最大其体积是最大
14、 【思路分析思路分析】 先先作作出出两两个个相相邻邻侧侧面面所所成成二二面面角的平面角角的平面角BED，设为设为 需建立三棱锥需建立三棱锥SBCD的体积的体积V与与之间的函数关系之间的函数关系 BED与与 的关系密切的关系密切VSDBC VSBED + VCBED【略解略解】由作图知由作图知SC平面平面BED，VSDBCVSDBEVCDBE其中其中BDE的面积用的面积用m和和表示为表示为于是于是即即 ，=120时，时，故正四棱锥的体积故正四棱锥的体积 当且仅当当且仅当 ，棱锥体积最大棱锥体积最大 【小小结结】上上述述两两例例都都是是把把整整体体“分分解解”，把把三三棱棱锥锥分分割割成成两两个个
15、小小三三棱棱锥锥，都都是是把把待待处处理理的的关关系系结结构构重重新新搭搭配配，在在新新的的关关系系结结构构中中寻寻找找解解决决问问题题的途径如例的途径如例5的新关系：的新关系： 二面角的平面角二面角的平面角面积面积SBDE体积体积V 例例6 球面上有四个点球面上有四个点P、A、B、C，如果如果PA、PB、PC两两互相垂直，两两互相垂直，且且PAPBPCa，那么这个球的那么这个球的面积是面积是_ 【思路分析思路分析】 题题题题设设设设：PAPA、PBPB、PCPC两两两两两两两两 垂垂垂垂 直直直直 且且且且相等相等相等相等P P、A A、B B、C C 四点在四点在四点在四点在球面的位球面的
16、位球面的位球面的位置？置？置？置？ 正正正正方方方方体体体体从从从从同同同同一一一一点点点点出出出出发发发发的的的的三三三三条条条条棱棱棱棱球球球球的的的的内内内内接接接接正正正正方方方方体体体体 【略略略略解解解解】由由由由思思思思路路路路分分分分析析析析知知知知，PAPA、PBPB、PCPC恰恰恰恰是是是是正正正正方方方方体体体体PFPF的的的的三三三三条条条条棱棱棱棱，球球球球的的的的直直直直径径径径2 2r r等等等等于于于于正方体对角线的长，即正方体对角线的长，即正方体对角线的长，即正方体对角线的长，即，球面积球面积球面积球面积S S4 4r r 2 23 3 aa2 2 【小小结结
17、】本本题题是是由由题题设设所所给给的的局局部部图图形形，通通过过逻逻辑辑推推理理，完完成成对对图图形形的的补补全全，构构筑筑出出“整整体体”是是对对图图形形分分解解与与组组合合的的一一种种逆逆向向思思维维，常常在在“顺顺向向”思思维维受受阻阻时时发发挥挥作作用用 2空空间间图图形形与与平平面面图图形形的的相相互互转化转化 例例7 正正三三棱棱锥锥ABCD，底底面面边边长长为为a，侧侧棱棱长长2a，E、F为为AC、AD上上的的动动点点，求求截截面面BEF周周长长的的最最小小值值及此时及此时E、F的位置的位置思路：思路： 【思路分析思路分析】空空间间图图形形的的最值问题最值问题平平面面图图形形的的
18、最值问题最值问题 手段：手段：把正三棱锥把正三棱锥ABCD的侧面沿的侧面沿AB展开展开 【略解略解略解略解】 根据平面几何根据平面几何根据平面几何根据平面几何“ “两点间所有连线中，直线两点间所有连线中，直线两点间所有连线中，直线两点间所有连线中，直线段最短段最短段最短段最短” ”知在侧面展开图中，线段知在侧面展开图中，线段知在侧面展开图中，线段知在侧面展开图中，线段BB BB 的长是的长是的长是的长是BEFBEF周长的最小值周长的最小值周长的最小值周长的最小值 此此时时E、F 两两点点分分别别满满足足 由由由由ADBADB BFDBFD，可求得可求得可求得可求得 ， 又由又由AEFACD，可
19、求得可求得 ，故截面故截面BEF的周长最小值的周长最小值 【小结小结】 “展平展平”是空间图形平面化常用的是空间图形平面化常用的方法之一把多面体、圆柱、圆锥、圆方法之一把多面体、圆柱、圆锥、圆台的侧面展成多边形、矩形、扇形、扇台的侧面展成多边形、矩形、扇形、扇环等平面图形利于一些问题的解决环等平面图形利于一些问题的解决 例例例例8 8 在直三棱在直三棱在直三棱在直三棱柱柱柱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中中中中ACBACB9090，BACBAC3030，BCBC1 1， ， MM是是是是CCCC1 1中中中中点点点点，求求求求证证证证ABAB1 1A A1 1MM【思路分析
20、思路分析思路分析思路分析】直三棱柱直三棱柱直三棱柱直三棱柱 ACBACB9090 B B1 1C C1 1平面平面平面平面ACAC1 1ACAC1 1是是是是 ABAB1 1的的的的 射射射射影影影影欲证欲证AB1A1M，只需证只需证AC1A1M 【证明证明】三棱柱三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得是直三棱柱，得 CC1B1C1，又又A1C1B190，故故B1C1平面平面A1ACC1，在平面在平面AC1中，由中，由题设得题设得则则 ， 因而有因而有AC1A1 A1M C1，所以所以12，A1GC190即即A1MAC1，又又AC1是是AB1在在平面平面AC1上的射上的射影，影，由三垂线定理由
21、三垂线定理得得ABAC1 【小结小结】本题的证明思路是把求证本题的证明思路是把求证空间直线的垂直问题转化为求证平面内空间直线的垂直问题转化为求证平面内直线的垂直问题，这种直线的垂直问题，这种“平面化平面化”处理处理空间图形的方法是解立体几何题常用的空间图形的方法是解立体几何题常用的方法之一方法之一 例例9 已已知知长长方方 体体 ABCDA1B1C1D1，ABBC4，AA18， E、 F分分 别别 为为AD和和CC1的的中中点点，O1为为下下底底面面正正方方形的中心，求：形的中心，求：（1）二面角）二面角CEBO1的正切；的正切；（2）异异面面直直线线EB与与O1F所所成成角角的的余余弦值；弦
22、值；（3）三三棱棱锥锥O1BEF的体积的体积【思路分析思路分析】（ 1） 利利 用用长长方方体体的的性性质质作作出出二二面面角的平面角；角的平面角；E（2）利利用用底底面面平平行行的的性性质质，作作出出平平行行线线，寻寻找找异异面面直直线所成的角线所成的角；E（3）转化为容易）转化为容易求积的等体积的求积的等体积的三棱锥三棱锥 EF 【小结小结】对空间图形的处理能力是对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志由于空间角空间想象能力深化的标志由于空间角与距离最后总要转化为平面上的角与两与距离最后总要转化为平面上的角与两点间的距离才能解决，分析清楚空间图点间的距离才能解决，分析清楚空间图形如何分
23、解为平面图形，平面图形如何形如何分解为平面图形，平面图形如何合成空间图形是十分重要的合成空间图形是十分重要的 处处理理问问题题过过程程中中，某某些些重重要要的的平平面面，需需要要进进一一步步分分析析它它上上面面的的图图形形位位置置与与数数量量关关系系时时，可可将将此此平平面面移移出出体体外，还原为平面的真实形状外，还原为平面的真实形状 等积变换是处理空间形体的体积等积变换是处理空间形体的体积计算常用的手段计算常用的手段 高高高高考考考考中中中中的的的的立立立立体体体体几几几几何何何何综综综综合合合合题题题题，主主主主要要要要考考考考察察察察的的的的是是是是空空空空间间间间想想想想象象象象能能能
24、能力力力力强强强强调调调调的的的的是是是是对对对对图图图图形形形形的的的的认认认认识识识识、理理理理解解解解和和和和应应应应用用用用要要要要求求求求既既既既会会会会用用用用图图图图形形形形表表表表现现现现空空空空间间间间形形形形体体体体，又又又又会会会会由由由由图图图图形形形形想想想想象象象象出出出出直直直直观观观观的的的的形形形形象象象象既既既既会会会会观观观观察察察察、分分分分析析析析各各各各种种种种几几几几何何何何要要要要素素素素（点点点点、线线线线、面面面面、体体体体）的的的的相相相相互互互互位位位位置置置置关关关关系系系系，又又又又会会会会对对对对图图图图形形形形进进进进行行行行变变
25、变变换换换换和和和和综综综综合合合合即即即即对对对对图图图图形形形形进进进进行行行行分分分分解解解解分分分分割割割割，组组组组合合合合拼拼拼拼补补补补，变形变形变形变形转换、位移或不同视角观察图形转换、位移或不同视角观察图形转换、位移或不同视角观察图形转换、位移或不同视角观察图形 三、总结三、总结 另外，高考试题中的图形，所涉及另外，高考试题中的图形，所涉及的线面、面面位置关系大多不是习惯所的线面、面面位置关系大多不是习惯所见的标准位置（如图中只有少数面是水见的标准位置（如图中只有少数面是水平放置）因此正确认识非标准位置的平放置）因此正确认识非标准位置的图形，成为空间想象能力的一个组成部图形，成为空间想象能力的一个组成部分，也是高考的重点之一因而在观察分，也是高考的重点之一因而在观察想象空间图形时，要善于排除无关因素想象空间图形时，要善于排除无关因素的干扰（如一些遮挡的线、面），抓住的干扰（如一些遮挡的线、面），抓住主体，正确作出判断主体，正确作出判断
