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1、1.绝对值三角不等式1.1.理解绝对值的几何意义理解绝对值的几何意义. .2.2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义掌握绝对值三角不等式及其几何意义. .3.3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用掌握三个实数的绝对值不等式及应用. .1.1.本课重点是绝对值不等式定理的几何意义及应用本课重点是绝对值不等式定理的几何意义及应用. .2.2.本课难点是用绝对值三角不等式的两个定理证明含绝对值的本课难点是用绝对值三角不等式的两个定理证明含绝对值的不等式问题不等式问题. . 绝对值不等式绝对值不等式绝对值绝对值不等式不等式几何几何意义意义绝对值绝对值三角不三角不等式等式实数实数a a的绝对值的绝对值|a|
2、a|表示数轴上坐表示数轴上坐标为标为a a的点的点A A到到原点原点的距离的距离. .对于任意两个实数对于任意两个实数a,ba,b, ,设它们在数轴上设它们在数轴上的对应点分别为的对应点分别为A,B,A,B,那么那么|a-b|a-b|的几何意的几何意义是数轴上义是数轴上A,BA,B两点之间的两点之间的距离距离, ,即线段即线段ABAB的的长度长度. .如果如果a,ba,b是实数，则是实数，则| |a+b|a+b|a|a|+|+|b|b|, ,当且仅当当且仅当ab0ab0时，等号成立时，等号成立. .如果如果a,b,ca,b,c是实数，那么是实数，那么|a-|a-b|a-b|a-b|+|b-cb
3、|+|b-c|,|,当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)0(a-b)(b-c)0时，时，等号成立等号成立. .定理定理1 1定理定理2 2|a|a|a-b|a-b|1.|a+b|1.|a+b|与与|a|-|a|-|b|,|a-bb|,|a-b| |与与|a|-|b|a|-|b|及及| |a|+|ba|+|b| |分别具有什么关分别具有什么关系？系？提示：提示：|a|-|a|-|b|a+b|,|a|-|b|a-b|a|+|bb|a+b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.|.2.2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？提示：提示：数轴上任意一点到
4、两点的距离之和，不小于这两点的距数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点的距离离. .3.3.函数函数y=y=x-1x-1+ +x-3x-3的最小值是的最小值是_._.【解析解析】y=y=x-1x-1+ +x-3x-3x-1+3-xx-1+3-x=2.=2.答案：答案：2 21.1.定理定理2 2的几何解释的几何解释在数轴上，在数轴上，a,b,ca,b,c所对应的点分别为所对应的点分别为A A，B B，C C，当点，当点B B在点在点A A，C C之间时，之间时，|a-c|=|a-|a-c|=|a-b|+|b-cb|+|b-c| |；当点；当点B B不在点不在点A A，C C之间时，之间时
5、，|a-|a-c|c|a-|a-b|+|b-cb|+|b-c|.|.2.2.不等式不等式|a|-|a|-|b|ab|ab|a|+|bb|a|+|b| |中中“= =”成立的条件成立的条件不等式不等式|a|-|a|-|b|b|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b| |，右侧，右侧“= =”成立的条件是成立的条件是abab0 0，左侧，左侧“= =”成立的条件是成立的条件是abab0 0，且，且| |a|a|b|b| |；不等式；不等式|a|-|a|-|b|b|a-b|a-b|a|+|b|a|+|b| |，右侧，右侧“= =”成立的条件是成立的条件是abab0,0,左左侧侧“= =”成立的条件是
6、成立的条件是abab0 0且且| |a|a|b|b|.|. 与绝对值不等式相关的判断与绝对值不等式相关的判断【技法点拨技法点拨】与绝对值不等式相关的判断方法与技巧与绝对值不等式相关的判断方法与技巧(1)(1)判断一个不等式成立与否判断一个不等式成立与否, ,往往是对影响不等号的因素进行往往是对影响不等号的因素进行分析分析, ,如一个数的正、负、零等，数如一个数的正、负、零等，数( (或式子或式子) )的积、平方、取的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了作用，一个不等式的
7、成立与否也就比较好判断了. .(2)(2)如果对不等式不能直接判断如果对不等式不能直接判断, ,往往需要对不等式化简整理或往往需要对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断变形后再利用绝对值不等式进行判断. .【典例训练典例训练】1.1.若若x5,nNx5,nN+, ,则下列不等式则下列不等式: :其中其中, ,能够成立的有能够成立的有_._.2.2.不等式不等式 1 1成立的充要条件是成立的充要条件是_._.【解析解析】1.0 1,lg 0,1.0 1,lg 0,由由x5,x0, 0,5|lg |0,故故成立成立. .答案：答案：2.2.当当|a|b|a|b|时时, ,有有|a|-|
8、b|0,|a|-|b|0,|a+b|a|-|ba+b|a|-|b|=|a|-|b|.|=|a|-|b|.必有必有 1 1，即，即|a|b|a|b|是是 1 1成立的充分条件成立的充分条件. .当当 1 1时时, ,由由| |a+ba+b|0,|0,必有必有|a|-|b|0,|a|-|b|0,即即|a|b|,|a|b|,故故|a|b|a|b|是是 1 1成立的必要成立的必要条件条件. .不等式成立的充要条件为不等式成立的充要条件为|a|b|.|a|b|.答案：答案：|a|b|a|b|【想一想想一想】你知道如何证明你知道如何证明a a- -b ba-ba-ba a+ +b b吗吗? ?提示：提示：
9、整体代换法：利用整体代换法：利用a a- -b ba+ba+ba a+ +b b得得a a- -b-ba+(-b)a+(-b)a a+ +-b-b, ,即即a a- -b ba-ba-ba a+ +b b. . 求范围或最值求范围或最值【技法点拨技法点拨】利用绝对值三角不等式求最值利用绝对值三角不等式求最值绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系，有些对于绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系，有些对于y=y=x-x-a a+ +x-bx-b或或y=y=x+ax+a- -x-bx-b型的函数最值求法，利用该型的函数最值求法，利用该不等式或其几何意义更简捷、方便不等式或其几何意义更简捷、方便. .
10、【典例训练典例训练】1.1.若不等式若不等式x-ax-a+ +x-2x-21 1对任意的实数对任意的实数x x均成立，则实数均成立，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.2.2.求函数求函数f(xf(x)=)=x-3x-3+ +x-1x-1的最小值，并求出取最小值时的最小值，并求出取最小值时x x的范围的范围. .恒成立恒成立绝对值不等式的几何意义：数绝对值不等式的几何意义：数轴上轴上x x到到a a与与x x到到2 2的距离之和的距离之和当当a=1a=1或或a=3a=3时，对任意的时，对任意的x x，距离和的，距离和的最小值为最小值为1 1，所以当，所以当a1a1或或a3a3时该不时该
11、不等式恒成立等式恒成立审题审题转化转化求解求解结论结论答案：答案：(-,1(-,13,+)3,+)【解析解析】1.1.解题流程：解题流程：2.2.根据定理根据定理2 2，f(xf(x)=)=x-3x-3+ +x-1x-1(x-3)-(x-3)-(x-1)(x-1)= =2,2,当且仅当当且仅当(x-3)(x-1)0,(x-3)(x-1)0,即即x3x3或或x1x1时，时，f(xf(x) )取得最小值取得最小值2.2. 【想一想想一想】本例本例2 2除了用定理除了用定理2 2解答，你还有哪些方法？解答，你还有哪些方法？提示：提示：可利用绝对值不等式的几何意义，利用数轴求得最小值可利用绝对值不等式
12、的几何意义，利用数轴求得最小值为为2.2. 含绝对值不等式的证明含绝对值不等式的证明【技法点拨技法点拨】1.1.含绝对值不等式的证明技巧含绝对值不等式的证明技巧含绝对值不等式的证明题主要分两类：含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：定理：|a|-|a|-|b|ab|ab|a|+|bb|a|+|b|,|,通过适当的添、拆项证通过适当的添、拆项证明；明；另一类是综合性较强的函数型含绝
13、对值的不等式，往往可另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明元二次方程的根的分布等方法来证明. .2.2.证明绝对值不等式的基本步骤证明绝对值不等式的基本步骤(1)(1)对原式对原式“拆项拆项”“”“重组重组”，以期利用条件；，以期利用条件；(2)(2)利用定理利用定理1 1或定理或定理2 2进行转化；进行转化；(3)(3)化简、证明结论化简、证明结论. .【典例训练典例训练】1.1.已知已知0,0,x-ax-a,y-by-b,求证：求证：( (
14、x+y)-(a+bx+y)-(a+b) )2.2.2.2.设设f(xf(x)=x)=x2 2-x+13,-x+13,实数实数a a满足满足|x-a|1,|x-a|1,求证求证:|:|f(x)-f(af(x)-f(a)|2(|a|+1).)|2(|a|+1).【证明证明】1.1.( (x+y)-(a+bx+y)-(a+b) )= =( (x-a)+(y-bx-a)+(y-b) )x-ax-a+ +y-by-b x-ax-a,y-by-b,x-ax-a+ +y-by-b+=2 =2 由由得得: :(x+y)-(a+b)(x+y)-(a+b)2.2.2.f(x)=x2.f(x)=x2 2-x+13.
15、-x+13.|f(x)-f(a)|=|x|f(x)-f(a)|=|x2 2-x-a-x-a2 2+a|+a|=|x-a|=|x-a|x+a-1|x+a-1|x+a-1|x+a-1|，又又|x+a-1|=|x-a+2a-1|x+a-1|=|x-a+2a-1|x-a|+|2a-1|1+|2a|+1|x-a|+|2a-1|1+|2a|+1=2(|a|+1)=2(|a|+1)，|f(x)-f(a)|f(x)-f(a)|2(|a|+1).2(|a|+1). 含参数的绝对值不等式的应用含参数的绝对值不等式的应用【典例典例】(12(12分分) )设设aRaR，函数，函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+x
16、-a(-1x1).+x-a(-1x1).(1)(1)若若|a|1,|a|1,求求| |f(xf(x)|)|的最大值的最大值. .(2)(2)求求a a的值，使函数的值，使函数f(xf(x) )有最大值有最大值 . .【规范解答规范解答】【规范解答规范解答】(1)(1)设设g(ag(a)=)=f(xf(x)=ax)=ax2 2+x-a+x-a=(x=(x2 2-1)a+x-1)a+x1 1分分-1x1,-1x1,当当x=x=1 1时，时，| |f(xf(x)|=|)|=|g(ag(a)|=1)|=1；当当xx1 1时，时，x x2 2-1-10,g(a)=(x0,g(a)=(x2 2-1)a+x
17、-1)a+x是单调递减函数是单调递减函数2 2分分|a|1,-1a1,|a|1,-1a1,g(a)g(a)maxmax=g(-1)=-x=g(-1)=-x2 2+x+1+x+1 , ,3 3分分g(a)g(a)minmin=g(1)=x=g(1)=x2 2+x-1=(x+ )+x-1=(x+ )2 2- ,- ,4 4分分|f(x)|=|g(a)|g(a)|f(x)|=|g(a)|g(a)maxmax| |=| | , =| | , 5 5分分| |f(xf(x)|)|的最大值为的最大值为 6 6分分(2)(2)当当a=0a=0时时，f(xf(x)=x)=x；当当-1x1-1x1时，时，f(x
18、f(x) )的最大值为的最大值为f(1)=1f(1)=1不可能满足题设条件不可能满足题设条件,a0.,a0.7 7分分又又f(1)=a+1-a=1,f(1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1f(-1)=a-1-a=-1，故故f(f(1)1)均不是最大值均不是最大值. . 8 8分分f(xf(x) )的最大值的最大值 应在其对称轴上顶点位置取得应在其对称轴上顶点位置取得. .a0.a0a0时，时，g(xg(x)=)=ax+bax+b在在-1-1，1 1上是增函数上是增函数. .g(-1)g(x)g(1).g(-1)g(x)g(1).|f(x)|1(-1x1),|c|1|f(x)|1(
19、-1x1),|c|1, ,g(1)=g(1)=a+ba+b=f(1)-c|f(1)|+|c|2,=f(1)-c|f(1)|+|c|2,g(-1)=-g(-1)=-a+ba+b=-f(-1)+c=-f(-1)+c-(|f(-1)|+|c|)-2.-(|f(-1)|+|c|)-2.由此得由此得|g(x)|g(x)|2 25 5分分当当a0a0时，时，g(xg(x)=)=ax+bax+b在在-1-1，1 1上是减函数上是减函数. .g(-1)g(x)g(1).g(-1)g(x)g(1).|f(x)|1(-1x1),|c|1|f(x)|1(-1x1),|c|1, ,g(-1)=-g(-1)=-a+ba
20、+b=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2.=-f(-1)+c|f(-1)|+|c|2.g(1)=g(1)=a+ba+b=f(1)-c-(|f(1)|+|c|)-2.=f(1)-c-(|f(1)|+|c|)-2.由此得由此得|g(x)|2. |g(x)|2. 8 8分分当当a=0a=0时，时，g(xg(x)=)=b,f(xb,f(x)=)=bx+cbx+c. .-1x1,-1x1,|g(xg(x)|=|f(1)-c|f(1)|+|c|2. )|=|f(1)-c|f(1)|+|c|2. 1010分分综上所述，综上所述，|g(x)|2.|g(x)|2.1212分分方法二：方法二：由由得得g(x
21、g(x)=)=ax+bax+b 6 6分分当当-1x1-1x1时，时，0 0 1 1,-1-1 00.|f|f( )|)|1 1，|f f( )|1)|1, 8 8分分| |g(xg(x)|=|)|=|f f( )-f)-f( ) )|f|f( )|+|f)|+|f( )|1+1=2.|1+1=2. 1010分分综上可得综上可得, ,当当-1x1-1x1时时,|g(x)|2. ,|g(x)|2. 1212分分1.1.若若x-ax-ah,h,y-ay-ak,k,则下列不等式一定成立的是则下列不等式一定成立的是( ( ) )(A)(A)x-yx-y2h (B)2h (B)x-yx-y2k2k(C)
22、(C)x-yx-yh+kh+k (D) (D)x-yx-yh-kh-k【解析解析】选选C.C.x-yx-y= =( (x-a)+(a-yx-a)+(a-y) )x-ax-a+ +a-ya-yh+kh+k. .2.2.设设abab0 0，下面四个不等式中，下面四个不等式中，正确的是正确的是( )( )a+ba+ba a；a+ba+b|b|b|；a+ba+ba-ba-b；a+ba+ba a- -b b. .(A)(A)和和 (B)(B)和和(C)(C)和和 (D)(D)和和【解析解析】选选C.abC.ab0,a,b0,a,b同号，同号，a+ba+b= =a a+ +b b,正确正确. .3.3.不
23、等不等式式 1 1成立的充要条件是成立的充要条件是( )( )( (A)a,bA)a,b都不为零都不为零( (B)abB)ab0 0( (C)abC)ab为非负数为非负数( (D)a,bD)a,b中至少有一个不为零中至少有一个不为零【解析解析】选选B.B. 1 1|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|a a2 2+b+b2 2+2ab+2aba a2 2+b+b2 2+2|ab|+2|ab|abab| |ab|ab|abab0.0.4.4.函数函数y=|x-4|-|x-6|y=|x-4|-|x-6|的最大值的最大值为为_. .【解析解析】利用绝对值的几何意义画出数轴，可知当利用绝对值的几何意义画出数轴，可知当x6x6时取得时取得最大值最大值2.2.答案：答案：2 25.5.已知已知x x , ,y y , ,z z , ,求证：求证：x+2y-3zx+2y-3z.【证明证明】x+2y-3zx+2y-3zx x+ +2y2y+ +-3z-3z= =x x+2+2y y+3+3z z + + =.x+2y-3zx+2y-3z.
