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1、第1616课时直角三角形基础自主导学考点梳理自主测试考点一直角三角形的性质1.直角三角形的两锐角互余.2.直角三角形中,30角所对的边等于斜边的一半.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.考点二直角三角形的判定1.有一个角等于90的三角形是直角三角形.2.有两角互余的三角形是直角三角形.3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是直角三角形.4.勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.基础自主导学考点梳理自主测试1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,不能构成直
2、角三角形的是()A.3,4,5B.6,8,10D.5,12,13答案:C2.将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D.已知A=EDF=90,AB=AC,E=30,BCE=40,则CDF的度数为()A.30B.40 C.25D.35答案:C基础自主导学考点梳理自主测试3.如图,在ABC中,AB=AC=8,AD是底边上的高,E为AC中点,则DE=.答案:44.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1勾股定理【例1】如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB
3、上,且与AE重合,求CD的长.解:设CD长为xcm,由折叠得ACDAED.AE=AC=6cm,AED=C=90,DE=CD=xcm.在RtABC中,AC=6cm,BC=8cm,EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x)cm.在RtDEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2.x2+42=(8-x)2,解得:x=3.CD的长为3cm.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练有一块直角三角形的绿地,量得两直角边的长分别为6m,8m,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角
4、形绿地的周长.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2勾股定理的逆定理【例2】如图,在四边形ABCD中,A=90,AB=3,AD=4,CD=13,CB=12,求四边形ABCD的面积.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3勾股定理的实际应用【例3】如图,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14km,C,D为两村庄(可看为两个点),DAAB于点A,CBAB于点B,已知DA=8km,CB=6km,现要在铁路上建一个土特产收购站E,使C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米
5、处?分析:因为DAAB于点A,CBAB于点B,在AB上找一点可构成两个直角三角形,我们可想到通过勾股定理列方程进行求解.解:设E站应建在距A站xkm处.根据勾股定理有82+x2=62+(14-x)2,解得:x=6.所以E站应建在距A站6km处.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4直角三角形性质的综合应用【例4】 已知,在ABC中,AB=AC,过点A的直线从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角,直线交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),BMN的边MN始终在直线上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN.(1)当BAC=
6、MBN=90时,如图a,当=45时,ANC的度数为;如图b,当45时,中的结论是否发生变化?说明理由.(2)如图c,当BAC=MBN90时,请直接写出ANC与BAC之间的数量关系,不必证明.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4分析:在(1)中,由AB=AC,BAC=MBN=90,=45,可得AN垂直平分BC,同理可得BC垂直平分AN,因此AC=CN,所以有ANC=45;求角的度数,一般要想办法把它放到直角三角形中进行,因此可分别过B,C两点作MN的垂线,用三角形全等作为桥梁找到解决问题所需要的边角关系;(2)根据的思路得出结论.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)45;不变.理由:过B,C分别作BDAP于点D,CEAP于点E.BAC=90,BAD+EAC=90.BDAE,ADB=90,ABD+BAD=90,ABD=EAC.又AB=AC,ADB=CEA=90,ABDCAE,AD=CE,BD=AE.BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高,BD=DN,BND=45,DN=BD=AE,DN-DE=AE-DE,即NE=AD=EC.NEC=90,ANC=45.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4
