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1、 主要内容点播主要内容点播一一. .向量空间的概念向量空间的概念二二. .子空间子空间 向量空间的基与维数向量空间的基与维数（7-1）2说明说明一一.向量空间的概念向量空间的概念定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间 集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. .解解例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. .解解定义定
2、义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量空间，若向量空间，就说就说 是是 的子空间的子空间实例实例二二.子空间子空间设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空间，那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个就称为向量的一个基基， 称为向量空间称为向量空间 的维数的维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间三三.向量空间的基与维数向量空间的基与维数定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足 （1 1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0 0维向量空维向量空间，因此它没有基间，因此它没有基说明说明 （3）若向
3、量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为 （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的最大无关组就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.四四. .向量的坐标向量的坐标, , 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 书书P P250250将本小节中的将本小节中的“元素元素”改为改为“向量向量”即可即可( (一一) ) 向量的坐标向量的坐标定义定义 设设V是数域是数域K上的上的n维向量空间维向量空间, 是是V的一组基底的一组基底, 对任意对任意V, 可由基底线性表可由基底线性表出出则称有序数则
4、称有序数为向量为向量 在基底在基底下的坐标下的坐标, 记作记作定理定理3.1 设设 1, 2, , n是是向量向量空间空间V的一组的一组基底基底, V, 则表达式则表达式是唯一的是唯一的(坐标的唯一性坐标的唯一性).证明证明设设 在基底在基底 1, 2, , n下有两种表达下有两种表达式式则则由由 1, 2, , n线性无关线性无关, 得得例例2 若若 1, 2, , n是是向量向量空间空间V的基底的基底, 则则也是也是V中一组基底中一组基底证明证明 只要证明只要证明 1, 2, , n线性无关线性无关. 1, 2, , n线性无关线性无关k1 1+k2 2+kn n=0只有零解只有零解.代入
5、代入 1, 2, , n的表达式的表达式, 得得(k1a11+k2a21+knan1) 1+ (k1a12+k2a22+knan2) 2+ (k1a1n+k2a2n+knann) n=0由由 1, 2, , n线性无关线性无关, 则则注注 例例2给出了用已知基底构造其它基的方法给出了用已知基底构造其它基的方法.2. 2. 基变换与坐标变换基变换与坐标变换问题问题：同一元素在不同基底下的坐标不同：同一元素在不同基底下的坐标不同, 坐坐标之间的关系如何？标之间的关系如何？此方程组只有零解此方程组只有零解系数行列式不为零系数行列式不为零定义定义 设设 1, 2, , n与与 1, 2, , n是是n
6、维维向量向量空空间间V的两组基的两组基, 并且并且令令称称P为由基底为由基底 1, 2 , , n到到 1, 2, , n的的过渡矩阵过渡矩阵, (1)称为称为基基底变换公式底变换公式.( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P利用矩阵乘法运算的规则利用矩阵乘法运算的规则, (1)可以写成可以写成 设设 1, 2, , n与与 1, 2, , n是是向量向量空间空间V的的两组基底两组基底, 由由 1, 2, , n到到 1, 2, , n的的过渡矩阵为过渡矩阵为P, 如果如果V中任意元素中任意元素 在这两组基底下坐在这两组基底下坐标分别为标分别为(x1, x2, , xn)与与(y1
7、, y2, , yn), 则则或或定理定理3.2( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P基底变换公式基底变换公式.坐标变换公式坐标变换公式.证明证明设设 =x1 1+x2 2+ +xn n =y1 1+y2 2+ +yn n由由( 1, 2, , n)=( 1, 2, , n)P, 代入得代入得由坐标的唯一性由坐标的唯一性, 得得 由由P可可逆逆, 因因此此例例3 设设n维向量空间中维向量空间中 1=(1, 0, , 0), 2=(0, 1, , 0), , n=(0, 0, , 1)是一组基底是一组基底(自然基自然基)， e1 =(1, 0, , 0)T , e2 =(1, 1,
8、 0, , 0)T , , en =(1, 1, , 1)T 也是一组基底也是一组基底. 求由基底求由基底 1, 2, , n到到e1, e2, , en的过渡矩阵及坐标间的关系的过渡矩阵及坐标间的关系.解解则则为基底为基底 1, 2, , n到到e1, e2, , en的过渡矩阵的过渡矩阵.由由即即例例4 在三维向量空间在三维向量空间R3中求向量对两组基底中求向量对两组基底 1=(1, 2, 1), 2=(2, 3, 3), 3=(3, 7, 1)与与 1=(3, 1, 4), 2=(5, 2, 1), 3=(1, 1, -6)的不同坐标间的变换公式的不同坐标间的变换公式.解解设设R3中中自
9、然基为自然基为 1=(1, 0, 0), 2=(0, 1, 0), 3=(0, 0, 1)则则 1=(1, 2, 1), 2=(2, 3, 3), 3=(3, 7, 1)与与得到得到于是于是由由 1, 2, 3到到 1, 2, 3的过渡矩的过渡矩阵阵从而从而于是于是向量空间的概念：向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间子空间的概念子空间的概念向量空间的基和维数：向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法求向量空间基和维数的方法五、小结五、小结4 4向量的坐标向量的坐标, , 基变换与坐标变换：基变换与坐标变换：求过渡矩阵的方法求过渡矩阵的方法 六六. .作业作业P P164164. 2.1 2. 3.1 2. 2.1 2. 3.1 2. 七七. .自学指导自学指导 参考书参考书 P P81-8381-83 及相应部分的例題及相应部分的例題
