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1、第一章 拓扑空间与连续映射 第一节 拓扑空间 数学分析中连续概念的刻画 11 拓扑空间的定义 例子 Ex.5 (欧氏拓扑)设R是全体实数的集合, 拓扑的比较 问题1(如何构造具体的拓扑) (1)若X有一个元素,则X上一共有几个拓扑?(1个) (2)若X有两个元素,则X上一共有几个拓扑?(4个) (3)若X有三个元素,则X上一共有几个拓扑?(29个) (4)若X有n()个元素,则4nX上一共有几个拓扑?(思考题) 1.2 由度量诱导的拓扑 13拓扑空间中的几个基本概念 闭集 Def. 1 拓扑空间X的子集A称为闭集,如果Ac是开集。 14子空间 第二节 连续映射与同胚映射 21连续映射的定义 2
2、2连续映射的性质 下列映射一定连续: 23同胚映射 下面求f 的逆映射,为此令 第三节 乘积空间与拓扑基 在第一节中,我们曾提出过如下问题: 问题3 设11(,X ) 和22(,X ) 都是拓扑空间,则如何给出1 XX2 上的拓扑结构?(乘积拓扑) 3.1 乘积空间 1 投射:注:是满足这两个投射都连续的最小拓扑。(思考为什么要这样?) 2 生成的子集族:生成的子集族:设是X的一个子集族,规定新的子集族 类似地,可以给出有限个拓扑空间的乘积空间。 任意多个集合的笛卡尔积 无限个拓扑空间的乘积空间定义比较麻烦,一般有两种: 3.2 乘积空间的性质 33 拓扑基想法:度量空间中的开集是若干个互不相交想法:度量空间中的开集是若干个互不相交的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成;的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成;乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基就是从上述方法中抽象出来的。就是从上述方法中抽象出来的。Pro1. 是集合X 的拓扑基的充分必要条件是:补充知识:拓扑空间的子基 (可参考熊金城点集拓扑讲义)