第五章方差分析精品PPT课件

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1、第五章第五章 方差分析方差分析 t t检验法适用于样本平均数与总体平均数以及检验法适用于样本平均数与总体平均数以及检验法适用于样本平均数与总体平均数以及检验法适用于样本平均数与总体平均数以及两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。即需进行多个平均数间

2、的差异显著性检验。即需进行多个平均数间的差异显著性检验。即需进行多个平均数间的差异显著性检验。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 多个样本平均数间的差异显著性检验，多个样本平均数间的差异显著性检验，t检验法是不适宜的，原因有三：检验法是不适宜的，原因有三： 例如，一试验包含例如，一试验包含例如，一试验包含例如，一试验包含5 5个处理，如采用个处理，如采用个处理，如采用个处理，如采用t t检验法进行检验，需作检验法进行检验，需作检验法进行检验，需作检验法进行检验，需作=10=10次两两平均数的差异显著性检验；若有次两两平均数的差异显著性检验；若有次两两平均数的差异显著性检验；若有

3、次两两平均数的差异显著性检验；若有k k个处理，则个处理，则个处理，则个处理，则要作要作要作要作 k k( (k-1k-1)/)/2 2次类似的检验。次类似的检验。次类似的检验。次类似的检验。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1、检验过程烦琐、检验过程烦琐2、无统一的试验误差，试验误差估计的精确、无统一的试验误差，试验误差估计的精确性和检验的灵敏性低性和检验的灵敏性低对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估

4、计值。若用验误差的估计值。若用验误差的估计值。若用验误差的估计值。若用 t t 检验法作两两比较，由于每次比检验法作两两比较，由于每次比检验法作两两比较，由于每次比检验法作两两比较，由于每次比较需估计一个较需估计一个较需估计一个较需估计一个，故使得各次比较误差的估计不统一，故使得各次比较误差的估计不统一，故使得各次比较误差的估计不统一，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。

5、性降低，从而降低检验的灵敏性。性降低，从而降低检验的灵敏性。性降低，从而降低检验的灵敏性。例如，试验有例如，试验有例如，试验有例如，试验有5 5个处理个处理个处理个处理 ，每个处理，每个处理，每个处理，每个处理 重复重复重复重复 6 6次，共有次，共有次，共有次，共有3030个个个个观测值。进行观测值。进行观测值。进行观测值。进行t t检验时，每次只能利用两个处理共检验时，每次只能利用两个处理共检验时，每次只能利用两个处理共检验时，每次只能利用两个处理共1212个观个观个观个观测值估计试验误差测值估计试验误差测值估计试验误差测值估计试验误差 ，误差自由度为，误差自由度为，误差自由度为，误差自由

6、度为 2(6-1)=102(6-1)=10；若利；若利；若利；若利用整个试验的用整个试验的用整个试验的用整个试验的3030个观测值估计试验误差个观测值估计试验误差个观测值估计试验误差个观测值估计试验误差 ，显然估计的精，显然估计的精，显然估计的精，显然估计的精确性高，且误差自由度为确性高，且误差自由度为确性高，且误差自由度为确性高，且误差自由度为5(6-1)=255(6-1)=25。可见，在用。可见，在用。可见，在用。可见，在用t t检检检检法进行检验时法进行检验时法进行检验时法进行检验时 ，由，由，由，由 于估计误差的精确性低，误差自由度于估计误差的精确性低，误差自由度于估计误差的精确性低，

7、误差自由度于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 3、推断的可靠性低，犯、推断的可靠性低，犯I型错误的概率增大型错误的概率增大即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用t t 检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由

8、于没检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯 I I型错误的概率，降低推断的可靠性。型错误的概率，降低推断的可靠性。型错误的概率，降低推断的可靠性。型错误的概率，降低推断的可靠性。所以，多个平均数的差异显著性检验不宜所以，多个平均数的差异显著性检验不宜所以，多个平均数的差异显著性检验不宜所

9、以，多个平均数的差异显著性检验不宜用用用用 t t 检验，须采用方差分析法。检验，须采用方差分析法。检验，须采用方差分析法。检验，须采用方差分析法。方差分析是将方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方差估计值构造差估计值构造F统计量，计算统计量，计算F值，检验各样本所属值，检验各样本所属总体平均数是否相等。总

10、体平均数是否相等。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 方差分析方差分析(analysisofvariance)(analysisofvariance)是由英国统计学家是由英国统计学家是由英国统计学家是由英国统计学家R.A.FisherR.A.Fisher于于于于19231923年提出的。年提出的。年提出的。年提出的。方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。1 方差分析的基本原理与步骤方差分析的基本原理与步骤1.1线性模型与基本假定线性模

11、型与基本假定假设某单因素试验有假设某单因素试验有假设某单因素试验有假设某单因素试验有k k个处理，每个处理有个处理，每个处理有个处理，每个处理有个处理，每个处理有n n次次次次重复，共有重复，共有重复，共有重复，共有nknk个观测值。试验资料的数据模式如个观测值。试验资料的数据模式如个观测值。试验资料的数据模式如个观测值。试验资料的数据模式如表表表表5-15-1所示。所示。所示。所示。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表表表表5-15-1k k个处理每个处理有个处理每个处理有个处理每个处理有个处理每个处理有n n个观测值的数

12、据模式个观测值的数据模式个观测值的数据模式个观测值的数据模式表中表中表中表中表示第表示第表示第表示第i i个处理的第个处理的第个处理的第个处理的第j j个观测值个观测值个观测值个观测值 i i=1,2,=1,2,k k；j j=1,2,=1,2,n n）；）；）；）；下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表示第表示第表示第表示第i i个处理个处理个处理个处理n n个观测值之和；个观测值之和；个观测值之和；个观测值之和；表示全部观测值的总和；表示全部观测值的总和；表示全部观测值的总和；表示全部观测值的总和；表示第表示第表示第表示第i i个处理的平均数；个处理的平均数；个处理的平均数

13、；个处理的平均数；表示全部观测值的总平均数；表示全部观测值的总平均数；表示全部观测值的总平均数；表示全部观测值的总平均数；可以分解为：可以分解为：表示表示表示表示第第第第i i个处理个处理个处理个处理n n个观测值个观测值个观测值个观测值的总体平均数。的总体平均数。的总体平均数。的总体平均数。（5-15-1）为了比较各处理的影响大小，将为了比较各处理的影响大小，将再进行再进行分解，令分解，令（5-2）（5-3）则则（5-4） 其中其中其中其中 表示所有试验观测值表示所有试验观测值表示所有试验观测值表示所有试验观测值（nknk个）个）个）个）总体的平均数；总体的平均数；总体的平均数；总体的平均数

14、；下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 ai 是是第第i 个个处理的效应处理的效应（treatmenteffects）表示处理表示处理i对试验结果产生的影响。显对试验结果产生的影响。显然有然有（5-5）ij是试验误差，相互独立，且服从是试验误差，相互独立，且服从正态分正态分布布N（0，2）。）。叫做叫做单因素试验的线性模型单因素试验的线性模型（linear modellinear model）亦称数学模型。亦称数学模型。观察值观察值xij表示为总平均数表示为总平均数、处理效应处理效应i、试验误差试验误差ij之之和。和。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 由由ij相

15、互独立且服从正态分布相互独立且服从正态分布N（0，2），），可知各处理可知各处理Ai（i=1，2，k）所属）所属总体亦应具正态性，即服从正态分布总体亦应具正态性，即服从正态分布N(i，2)。尽管各总体的均数尽管各总体的均数 可以不等或相等，可以不等或相等，2则必须是相等的则必须是相等的（外界试验条件尽可能保持一致，处外界试验条件尽可能保持一致，处外界试验条件尽可能保持一致，处外界试验条件尽可能保持一致，处理效应才可比理效应才可比理效应才可比理效应才可比）。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：所以，单因素试验的数学模型可归纳为：效应的可加性效应的可加性（additivity）、）、分布的分布的正

16、态性正态性（normality）、）、方差的同质性方差的同质性（homogeneity）。）。这是方差分析的前提条这是方差分析的前提条件或基本假定。件或基本假定。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 若将表若将表5-1中的观测值中的观测值xij（i=1,2,k；j=1,2,n）的数据结构（模型）用样本符号的数据结构（模型）用样本符号来表示，则来表示，则（5-6）与（与（5-4）式比较可知，）式比较可知，分分别是别是、（、（i-）=、（xij-）=的估计值。的估计值。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 每每每每 个个个个 观观观观 测测测测 值值值值 都包含处理效应

17、（都包含处理效应（都包含处理效应（都包含处理效应（ i i- - 或或或或），与误差（），与误差（），与误差（），与误差（ 或或或或) )，故，故，故，故knkn个观测值个观测值个观测值个观测值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。两部分。两部分。两部分。 由（由（由（由（5-45-4）、（）、（）、（）、（5-65-6）两式可以看出：）两式可以看出：）两式可以看出：）两式可以看出：1.2方差分析的基本步骤方差分析的基本步骤1.2.11.2.1偏差平方和与自

18、由度的分解偏差平方和与自由度的分解偏差平方和与自由度的分解偏差平方和与自由度的分解在方差分析中是用样本方差即均方（在方差分析中是用样本方差即均方（在方差分析中是用样本方差即均方（在方差分析中是用样本方差即均方（meanmeansquaressquares）来度量数据资料的变异程度。来度量数据资料的变异程度。来度量数据资料的变异程度。来度量数据资料的变异程度。将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总均方分解为处理间均方和处理内均方。将总均方分解为处理间均方和

19、处理内均方。将总均方分解为处理间均方和处理内均方。将总均方分解为处理间均方和处理内均方。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 总偏差平方和：总偏差平方和：分解为处理间偏差平方分解为处理间偏差平方分解为处理间偏差平方分解为处理间偏差平方和与处理内偏差平方和两部分；和与处理内偏差平方和两部分；和与处理内偏差平方和两部分；和与处理内偏差平方和两部分；总自由度：总自由度：分解为处理间自由度与处理内分解为处理间自由度与处理内分解为处理间自由度与处理内分解为处理间自由度与处理内自由度两部分来。自由度两部分来。自由度两部分来。自由度两部分来。（1）总偏差平方和的分解）总偏差平方和的分解在表在表

20、5-1中，反映全部观测值总变异的中，反映全部观测值总变异的总偏差平方和是各观测值总偏差平方和是各观测值xij与总平均数与总平均数的离均差平方和，记为的离均差平方和，记为SST。即即下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 说明：说明：说明：说明：k k，试验处理个数；试验处理个数；试验处理个数；试验处理个数；n n，每个处理的重复数每个处理的重复数每个处理的重复数每个处理的重复数其中其中所以所以（5-7）为各处理平均数与总平均数的离均差平为各处理平均数与总平均数的离均差平为各处理平均数与总平均数的离均差平为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数方和与重复数方和与重复数方和与重复

21、数n n的乘积的乘积的乘积的乘积 ，反映了重复，反映了重复，反映了重复，反映了重复n n次的处理间变异次的处理间变异次的处理间变异次的处理间变异 ，称为处理间偏差平方和，记为，称为处理间偏差平方和，记为，称为处理间偏差平方和，记为，称为处理间偏差平方和，记为SSSSt t，即即即即下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 离均差和为零离均差和为零为各处理内离均差偏差平方和之为各处理内离均差偏差平方和之和，反映了各处理内的变异即和，反映了各处理内的变异即误差误差，称为，称为处理内处理内偏差平方和偏差平方和或或误差偏差平方和误差偏差平方和，记为，记为SSe，即即于是有于是有 SST =S

22、St+SSe （5-8）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 总偏差平方和=处理间偏差平方和+处理内偏差平方和 或 =因素偏差平方和+误差偏差平方和所以（2）总自由度的分解）总自由度的分解在计算总偏差平方和时，资料中的各个观测值要在计算总偏差平方和时，资料中的各个观测值要在计算总偏差平方和时，资料中的各个观测值要在计算总偏差平方和时，资料中的各个观测值要受受受受这一条件的约束，故总自由度等于资料这一条件的约束，故总自由度等于资料这一条件的约束，故总自由度等于资料这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减中观测值的总个数减中观测值的总个数减中观测值的总个数减1 1，即，即

23、，即，即kn-kn-1 1。总自由度记为总自由度记为总自由度记为总自由度记为dfdfT T下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 各偏差平方和计算公式：各偏差平方和计算公式：各偏差平方和计算公式：各偏差平方和计算公式：(5-9)(5-9)其中，其中，其中，其中，C= /C= /knkn称为矫正数或修正项。称为矫正数或修正项。称为矫正数或修正项。称为矫正数或修正项。dfdfT T=kn-=kn-1 1在计算处理内平方和时，要受在计算处理内平方和时，要受k个条件的约个条件的约束，即束，即（i=1,2,k。故处理内自由故处理内自由度为资料中观测值的总个数减度为资料中观测值的总个数减k，即

24、，即kn-k。处处理内自由度记为理内自由度记为dfe，在计算处理间平方和时，各处理均数在计算处理间平方和时，各处理均数要要受受这一条件的约束，故处理间自由度这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减为处理数减1，即，即k-1。处理间自由度记为处理间自由度记为dft，下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 dft=k-1dfe=kn-k=k(n-1)所以所以下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 (5-11)(5-11)(5-10)(5-10)因为因为综合以上分析：综合以上分析：各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得到总均方、处理间均方

25、和处理内均方，到总均方、处理间均方和处理内均方，分别记分别记为为MST（或或）、MSt（或或）和）和MSe（或或）。）。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （5-125-12）即即注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。【例例例例5-15-1】以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱色之前应尽可的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱

26、色之前应尽可的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱色之前应尽可的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用5 5中除杂方中除杂方中除杂方中除杂方法，每种方法做法，每种方法做法，每种方法做法，每种方法做4 4次试验，试验结果见表次试验，试验结果见表次试验，试验结果见表次试验，试验结果见表5-25-2，试，试，试，试分析不同除杂方法的除杂效果有无差异？分析不同除杂方法的除杂效果有无差异？分析不同除杂方法的除杂效果有无差异？分析不同除杂方法的除杂效果有无差异？除杂方法（除

27、杂方法（除杂方法（除杂方法（A A A Ai i i i）除杂量（除杂量（除杂量（除杂量（x x x xijijijij）合计（合计（合计（合计（x x x xi i i i. . . .）平均平均平均平均方差方差方差方差S S S Si i i i2 2 2 2A A A A1 1 1 125.6 25.6 25.6 25.6 24.4 24.4 24.4 24.4 25.0 25.0 25.0 25.0 25.9 25.9 25.9 25.9 100.9100.9100.9100.925.2 25.2 25.2 25.2 0.442 0.442 0.442 0.442 A A A A2 2

28、 2 227.8 27.8 27.8 27.8 27.0 27.0 27.0 27.0 27.0 27.0 27.0 27.0 28.0 28.0 28.0 28.0 109.8109.8109.8109.827.5 27.5 27.5 27.5 0.277 0.277 0.277 0.277 A A A A3 3 3 327.0 27.0 27.0 27.0 27.7 27.7 27.7 27.7 27.5 27.5 27.5 27.5 25.9 25.9 25.9 25.9 108.1108.1108.1108.127.0 27.0 27.0 27.0 0.649 0.649 0.649

29、0.649 A A A A4 4 4 429.0 29.0 29.0 29.0 27.3 27.3 27.3 27.3 27.5 27.5 27.5 27.5 29.9 29.9 29.9 29.9 113.7113.7113.7113.728.4 28.4 28.4 28.4 1.543 1.543 1.543 1.543 A A A A5 5 5 520.6 20.6 20.6 20.6 21.2 21.2 21.2 21.2 22.0 22.0 22.0 22.0 21.2 21.2 21.2 21.2 85.085.085.085.021.3 21.3 21.3 21.3 0.330

30、0.330 0.330 0.330 x.x.517.5517.5表表表表5-25-2不同除杂方法的除杂量不同除杂方法的除杂量不同除杂方法的除杂量不同除杂方法的除杂量g/kgg/kg单因素试验，处理数单因素试验，处理数k=5，重复数，重复数n=4。各项偏差平方和及自由度计算如下：各项偏差平方和及自由度计算如下：矫正数矫正数总偏差平方和总偏差平方和下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 处理间（不同除杂方法间）的偏差平方和处理间（不同除杂方法间）的偏差平方和处理内（误差）的偏差平方和处理内（误差）的偏差平方和总自由度总自由度处理间自由度处理间自由度处理内自由度处理内自由度用用SSt、S

31、Se分别除分别除以以dft和和dfe便可得到处便可得到处理间均方理间均方MSt及处理内均方及处理内均方MSe。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 假设各处理没有真实差异，那么假设各处理没有真实差异，那么假设各处理没有真实差异，那么假设各处理没有真实差异，那么和和和和都是误差方差都是误差方差都是误差方差都是误差方差的估计量。以的估计量。以的估计量。以的估计量。以为分母，为分母，为分母，为分母，为分子，求其比值。统计学上把两个均方之为分子，求其比值。统计学上把两个均方之为分子，求其比值。统计学上把两个均方之为分子，求其比值。统计学上把两个均方之比值称为比值称为比值称为比值称为F F

32、值。即值。即值。即值。即1.2.2 构造构造F统计量，进行统计量，进行F检验检验（1 1） F F统计量构造统计量构造统计量构造统计量构造F F（dfdf1 1,df,df2 2）（2）F 检验检验附表附表附表附表4 4是专门为检验是专门为检验是专门为检验是专门为检验代表的总体方差是否代表的总体方差是否代表的总体方差是否代表的总体方差是否比比比比代表的总体方差大而设计的。代表的总体方差大而设计的。代表的总体方差大而设计的。代表的总体方差大而设计的。若实际计算的若实际计算的若实际计算的若实际计算的F F值大于值大于值大于值大于，则，则，则，则 F F 值在值在值在值在=0.05=0.05的水平上

33、显著，我们以的水平上显著，我们以的水平上显著，我们以的水平上显著，我们以95%95%的的的的 可靠性可靠性可靠性可靠性( (即冒即冒即冒即冒5%5%的风险的风险的风险的风险) )推断推断推断推断代代代代 表表表表 的总体方差大于的总体方差大于的总体方差大于的总体方差大于代表的总体方差。这种用代表的总体方差。这种用代表的总体方差。这种用代表的总体方差。这种用F F值出现概率的大小推断值出现概率的大小推断值出现概率的大小推断值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为两个总体方差是否相等的方法称为两个总体方差是否相等的方法称为两个总体方差是否相等的方法称为 F F检验检验检验检验（F F-t

34、est-test）。）。）。）。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在单因素试验结果的方差分析中，无效假设在单因素试验结果的方差分析中，无效假设为为H0：1=2=k，备择假设为备择假设为HA：各各i不全相等不全相等，或或H0 ：=0，HA:0； F=MSt/MSe，也就是要也就是要判断处理间均方是否判断处理间均方是否显著大于处理内显著大于处理内(误差误差)均方均方。如果结论是肯定的，否定如果结论是肯定的，否定H0；反之，接受反之，接受H0。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 实际进行实际进行F检验时检验时，是将由试验资料所算得，是将由试验资料所算得的的F值与根

35、据值与根据df1=dft （大均方（大均方（大均方（大均方 ，即分子均方的自由度），即分子均方的自由度），即分子均方的自由度），即分子均方的自由度）、df2=dfe小小（均方，即分母均方的自由度）（均方，即分母均方的自由度）（均方，即分母均方的自由度）（均方，即分母均方的自由度）查附表所查附表所得的临界得的临界F值值，相比较作出统相比较作出统计推断。计推断。若若F，即，即P0.05，不能否定不能否定H0，统计学上，把这一检验结果表述为：各处统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异不显著，理间差异不显著，在在F值的右上方标记值的右上方标记“ns”，或或不标记符号；不标记符号；若若F ，即即0

36、.01P0.05，否定否定H0，接受接受HA，统计学统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异显著，上，把这一检验结果表述为：各处理间差异显著，在在F值的右上方标记值的右上方标记“*”；若若F，即，即P0.01，否定否定H0，接受接受HA，统计学上，把这一检验结果表述为：统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异极显著，在各处理间差异极显著，在F 值值的的右上方标记右上方标记“*”。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对于对于对于对于【例例例例5.15.1】，因为因为因为因为F F=MSMSt t/MS/MSe e=32.12/0.65=49.42*=32.12/0.65=

37、49.42*；根据根据根据根据 dfdf11=dfdft t =4=4， dfdf22=dfdfe e =15=15查附查附查附查附表表表表4 4，得，得，得，得F F0.01(40.01(4，15)15)4.894.89；因为因为因为因为 F FF F0.01(40.01(4，15)15)=4.89=4.89，P P0.010.01表明表明表明表明5 5种不同除杂方法间的除杂效果差异极显种不同除杂方法间的除杂效果差异极显种不同除杂方法间的除杂效果差异极显种不同除杂方法间的除杂效果差异极显著，不同除杂方法的除杂效果不同。著，不同除杂方法的除杂效果不同。著，不同除杂方法的除杂效果不同。著，不同除

38、杂方法的除杂效果不同。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在方差分析中，在方差分析中，通常将变异来源、偏差平通常将变异来源、偏差平方和、自由度、均方和方和、自由度、均方和F值归纳成一张值归纳成一张方差分析方差分析表表，见表，见表5-3。表表表表5-35-3表表表表5-25-2资料方差分析表资料方差分析表资料方差分析表资料方差分析表变异来源偏差平方和自由度方差F值F临界值显著性处理间128.475432.1249.42F0.05（4,15)3.05F0.01(4,15)=4.89*处理内9.7225150.65总变异138.19

39、7519 F F检验是整体检验。检验是整体检验。检验是整体检验。检验是整体检验。F F值显著或极显著，否定了无值显著或极显著，否定了无值显著或极显著，否定了无值显著或极显著，否定了无效假设效假设效假设效假设HH00，只能表明试验的总变异主要来源于处理间只能表明试验的总变异主要来源于处理间只能表明试验的总变异主要来源于处理间只能表明试验的总变异主要来源于处理间的变异或因素水平变化引起的变异，试验中各处理平的变异或因素水平变化引起的变异，试验中各处理平的变异或因素水平变化引起的变异，试验中各处理平的变异或因素水平变化引起的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，均数间存在显著或极显著差异，

40、均数间存在显著或极显著差异，均数间存在显著或极显著差异，但但但但并不意味着每两个并不意味着每两个并不意味着每两个并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。不显著。不显著。不显著。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 因而，有必要进行两

41、两处理平均数间的比较，因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。1.2.3多重比较多重比较统计上把多个平均数两两间的相互比较称统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较为多重比较(multiplecomparisons)。多重比较的方法甚多，常用的有最小显著多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法差数法(LSD法法)和和最小显著极差最小显著极差法法(LSR法法)，现，现分别介绍如下。分别介绍如下。此法的基本作法是：此法的基本作法是：在在F检验显著的前检验显著的前提下，先计算出显著水平为提下，先计算出显著水平为的

42、最小显著差的最小显著差数数，然后将任意两个处理平均数之差，然后将任意两个处理平均数之差的绝对值的绝对值与其比较。与其比较。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 (LSD法，法，least significant difference)（1）最小显著差数法）最小显著差数法LSD LSD 法实质是法实质是法实质是法实质是t t 检验法检验法检验法检验法若若LSD时，则时，则与与在在水平水平上差异显著；反之，则在上差异显著；反之，则在水平上差异不显著。水平上差异不显著。最小显著差数由下式计算，最小显著差数由下式计算，式中：式中：为在为在F检验中的检验中的误差自由度误差自由度下，下，显著

43、水平显著水平为为的临界的临界t值，值，为为均均数差异数差异标准误，由下式求得，标准误，由下式求得，下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 其中其中其中其中为为为为F F检验中的误差均方，检验中的误差均方，检验中的误差均方，检验中的误差均方，n n为各处理的重复数。为各处理的重复数。为各处理的重复数。为各处理的重复数。(5-17)(5-17)（5-165-16）当显著水平当显著水平=0.05和和0.01时，从时，从t值表中查值表中查出出和和，代入（，代入（5-17）式得：）式得：利用利用LSD法进行多重比较时，基本步骤如下：法进行多重比较时，基本步骤如下：(1)列出平均数的多重比较表

44、列出平均数的多重比较表各处理按其平均数从大到小自上而下排列；各处理按其平均数从大到小自上而下排列；各处理按其平均数从大到小自上而下排列；各处理按其平均数从大到小自上而下排列；(2)计算最小显著差数计算最小显著差数和和；(3)将平均数多重比较表中两两平均数的差将平均数多重比较表中两两平均数的差数与数与、比较，作出统计推断。比较，作出统计推断。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对例对例5-1分析，均数之差的标准误分析，均数之差的标准误查查t值表得：值表得： t0.05(dfe)=t0.05(15)=2.131 t0.01(dfe)=t0.01(15)=2.947所以，显著水平为所

45、以，显著水平为所以，显著水平为所以，显著水平为0.050.05与与与与0.010.01的最小显著差数为：的最小显著差数为：的最小显著差数为：的最小显著差数为：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 将表将表5-6中的中的10个差数与个差数与，比较：比较：小于小于者不显著，在差数的右上方标者不显著，在差数的右上方标记记“ns”，或不标记符号；或不标记符号；介于介于与与之间者显著，在差之间者显著，在差数的右上方标记数的右上方标记“*”；大于大于者极显著，在差数的右上方标者极显著，在差数的右上方标记记“*”。表表表表5-455-45种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较

46、结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果（LSDLSD法）法）法）法）对于对于对于对于【例例例例5-15-1】各处理进行多重比较，结果见表各处理进行多重比较，结果见表各处理进行多重比较，结果见表各处理进行多重比较，结果见表5-45-4。除杂方法A428.47.1*3.2 *1.4*0.9A227.56.2 *2.3 *0.5A327.05.7 *1.8 *A125.23.9 *A521.3注：注：注：注：LSDLSD0.050.05=1.21=1.21，LSDLSD0.010.01=1.68=1.68结论：除结论：除结论：除结论：除AA4 4与与与与AA2 2、AA2

47、2与与与与AA3 3差异不显著外，其余方法之间的差异差异不显著外，其余方法之间的差异差异不显著外，其余方法之间的差异差异不显著外，其余方法之间的差异达到显著或极显著水平。达到显著或极显著水平。达到显著或极显著水平。达到显著或极显著水平。AA4 4除杂效果最好，除杂效果最好，除杂效果最好，除杂效果最好，AA5 5效果最差。效果最差。效果最差。效果最差。1 1、 LSD LSD 法实质上就是法实质上就是法实质上就是法实质上就是t t检验法。检验法。检验法。检验法。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 LSDLSD 法的应用说明：法的应用说明：法的应用说明：法的应用说明： 2、LSD法

48、适用于各处理组与对照组比较而处理组法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。间不进行比较的比较形式。对于多个处理平均数所有可能的两两比较对于多个处理平均数所有可能的两两比较，LSD法的优点在于方法比较简便，克服一般检验法所法的优点在于方法比较简便，克服一般检验法所具有的某些缺点，但是由于没有考虑相互比较的具有的某些缺点，但是由于没有考虑相互比较的处理平均数依数值大小排列上的秩次，处理平均数依数值大小排列上的秩次，故仍有推故仍有推断可靠性低、犯断可靠性低、犯I型错误概率增大的问题型错误概率增大的问题。为克服。为克服此弊病，统计学家提出了最小显著极差法此弊病，统计学家提出了最小显

49、著极差法LSR法。法。 LSR法的特点是把平均数的差数看成是平法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数根据极差范围内所包含的处理数（称为（称为秩次距）秩次距）k的不同而的不同而采用不同的检验尺采用不同的检验尺度，以克服度，以克服LSD法的不足法的不足。在显著水平。在显著水平上依上依秩次距秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极差最小显著极差LSR。(LSR法法，Leastsignificantranges)（2）最小显著极差法最小显著极差法例如有例如有例如有例如有1010个要相互比较，先个要相互比较，先个要相

50、互比较，先个要相互比较，先将将将将1010个个个个依依依依其数值大小顺次排列，其数值大小顺次排列，其数值大小顺次排列，其数值大小顺次排列， 两两两两 极极极极 端平均数的差数端平均数的差数端平均数的差数端平均数的差数（极差）的显著性，由（极差）的显著性，由（极差）的显著性，由（极差）的显著性，由 其其其其 差差差差 数数数数 是是是是 否否否否 大于秩次大于秩次大于秩次大于秩次距距距距k k=10=10时的最小显著极差决定时的最小显著极差决定时的最小显著极差决定时的最小显著极差决定 (为显著，为为显著，为为显著，为为显著，为不显著）；而后是秩次距不显著）；而后是秩次距不显著）；而后是秩次距不显

51、著）；而后是秩次距 k k=9=9的平均数的极差的的平均数的极差的的平均数的极差的的平均数的极差的显著性，则由极差是否大于显著性，则由极差是否大于显著性，则由极差是否大于显著性，则由极差是否大于k k=9=9时时时时 的最小显著极的最小显著极的最小显著极的最小显著极差决定差决定差决定差决定；直到任何两个相邻平均数的差数的直到任何两个相邻平均数的差数的直到任何两个相邻平均数的差数的直到任何两个相邻平均数的差数的显著性由这些差数是否大于秩次距显著性由这些差数是否大于秩次距显著性由这些差数是否大于秩次距显著性由这些差数是否大于秩次距 k k=2=2时的最小时的最小时的最小时的最小显著极差决定为止。因

52、此，有显著极差决定为止。因此，有显著极差决定为止。因此，有显著极差决定为止。因此，有 k k个平均数相互比个平均数相互比个平均数相互比个平均数相互比较，就有较，就有较，就有较，就有 k k-1-1种秩次距种秩次距种秩次距种秩次距 （k k ， k k-1-1，k k-2-2，2 2），因而需求），因而需求），因而需求），因而需求得得得得k k-1-1个最小显著极差个最小显著极差个最小显著极差个最小显著极差（LSRLSR ，k k） ，分别作为判断具有相应秩次距的分别作为判断具有相应秩次距的分别作为判断具有相应秩次距的分别作为判断具有相应秩次距的平均数的极差是否显著的标准。平均数的极差是否显著的

53、标准。平均数的极差是否显著的标准。平均数的极差是否显著的标准。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 LSR法克服法克服了了LSD法的不足法的不足，但检，但检验的工作量有所增加。常用的验的工作量有所增加。常用的LSR法有法有q检验法（检验法（q-test，Tukey法）和新复极法）和新复极差法两种（差法两种（SSR法，法，Duncan法）。法）。式中，式中，式中，式中，RR为极差，为极差，为极差，为极差，为标准误，其分布为标准误，其分布为标准误，其分布为标准误，其分布依赖于依赖于依赖于依赖于误差自由度误差自由度误差自由度误差自由度dfedfe及及及及秩次距秩次距秩次距秩次距k k

54、。利用利用利用利用q q检验法进行多重比较时检验法进行多重比较时检验法进行多重比较时检验法进行多重比较时 ，为了简便起见，为了简便起见，为了简便起见，为了简便起见，是将极差与是将极差与是将极差与是将极差与比较，从而作出统计推断。比较，从而作出统计推断。比较，从而作出统计推断。比较，从而作出统计推断。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 q检验法检验法(q-test)TukeyTukey，19491949年提出年提出年提出年提出此法是以统计量此法是以统计量此法是以统计量此法是以统计量q q的概率分布为基础的。的概率分布为基础的。的概率分布为基础的。的概率分布为基础的。q q值由下值

55、由下值由下值由下式求得：式求得：式求得：式求得：（5-185-18）称为称为称为称为 水平上的最小显著极差水平上的最小显著极差水平上的最小显著极差水平上的最小显著极差当显著水平当显著水平=0.05和和0.01时，时，从从附附表表5（q值表）中根据自由度值表）中根据自由度及及秩秩次次距距k 查出查出和和代入（代入（5-19）式求得）式求得LSR即即其中其中其中其中（5-195-19）利用利用q检验法进行多重比较时，步骤如下：检验法进行多重比较时，步骤如下：（1）列出平均数多重比较表；）列出平均数多重比较表；（2）由自由度）由自由度dfe、秩次距秩次距k查临界查临界q值，值，计算最小显著极计算最小

56、显著极差差LSR0.05,k，LSR0.01,k；（3）将平均数多重比较表中的各极差与相）将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极应的最小显著极差差LSR0.05,k，LSR0.01,k比较，比较，作出统计推断。作出统计推断。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 因为因为因为因为MSMSe e=0.65=0.65，故标准误，故标准误，故标准误，故标准误为为为为根据根据根据根据dfdfe e=15=15，k k=2=2、3 3、4 4、5 5， 由由由由 附表附表附表附表5 5查出查出查出查出 =0.05=0.05、0.010.01水平下临界水平下临界水平下临界水平下临界q

57、q值，乘以标准误值，乘以标准误值，乘以标准误值，乘以标准误求得各最求得各最求得各最求得各最小显著极差，所得结果列于表小显著极差，所得结果列于表小显著极差，所得结果列于表小显著极差，所得结果列于表5-85-8。对于对于对于对于【例例例例5.15.1】，各处理平均数，各处理平均数，各处理平均数，各处理平均数q q法多重比较见表法多重比较见表法多重比较见表法多重比较见表5-75-7。 在表在表在表在表5-75-7中，中，中，中， 极差极差极差极差0.90.9、0.50.5、1.81.8、3.93.9的秩次距为的秩次距为的秩次距为的秩次距为2 2；极差；极差；极差；极差1.41.4、2.32.3、5.

58、75.7的秩次距为的秩次距为的秩次距为的秩次距为3 3；极差；极差；极差；极差3.23.2、6.26.2的秩次距为的秩次距为的秩次距为的秩次距为4 4；7.17.1的秩次距为的秩次距为的秩次距为的秩次距为5 5。表表表表5-755-75种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果（q q法）法）法）法）除杂方法A428.47.1*3.2 *1.40.9A227.56.2 *2.3 *0.5A327.05.7 *1.8 *A125.23.9 *A521.3dfedfedfedfe秩次距秩次距秩次距秩次距k k k kq

59、q q q0.050.050.050.05q q q q0.010.010.010.01LSRLSRLSRLSR0.050.050.050.05LSRLSRLSRLSR0.010.010.010.01151515152 2 2 23.013.013.013.014.174.174.174.171.21 1.21 1.21 1.21 1.68 1.68 1.68 1.68 3 3 3 33.673.673.673.674.844.844.844.841.48 1.48 1.48 1.48 1.95 1.95 1.95 1.95 4 4 4 44.084.084.084.085.255.255.2

60、55.251.64 1.64 1.64 1.64 2.12 2.12 2.12 2.12 5 5 5 54.374.374.374.375.565.565.565.561.76 1.76 1.76 1.76 2.24 2.24 2.24 2.24 表表表表5-85-8q q值及值及值及值及LSRLSR值值值值将表将表5-7中的均数差数（极差）与表中的均数差数（极差）与表5-8中相应秩次距中相应秩次距k下的下的LSR比较，检验结比较，检验结果标记于表中。果标记于表中。检验结果，检验结果，A4、A2、 A3三者差异不三者差异不显著，其余两两均数间的差异极显著。显著，其余两两均数间的差异极显著。随着

61、秩次距的增加，检验尺度随着秩次距的增加，检验尺度LSR值值也在增加，可以有效地控制犯也在增加，可以有效地控制犯型错误的概型错误的概率。率。新复极差法（新复极差法（newmultiplerangemethod）DuncanDuncan，19551955年年年年此法是由邓肯此法是由邓肯(Duncan)于于1955年提出，年提出，故又称故又称Duncan法法，此法还，此法还称称SSR法法(shortestsignificantranges)。新复极差法与新复极差法与q检验法的检验步骤相同，唯检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查一不同的是计算最小显著极差时需查SSR表表（附表（附表

62、6）而不是查）而不是查q值表。最小显著极差计算值表。最小显著极差计算公式为公式为下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （5-205-20）根据显著水平根据显著水平、误差自由度误差自由度dfe、秩次距秩次距k，由，由SSR表查得的临界表查得的临界SSR。=0.05和和=0.01水平下水平下的的最小显著极差为：最小显著极差为：对于对于【例例5.1】分析，分析，=0.403，依，依dfe=15，k=2、3、4、5，由附表，由附表6查临界查临界SSR0.05(15,k)和和SSR0.01(15,k)值，乘以值，乘以，求，求得各最小显著极差，所得结果列于表得各最小显著极差，所得结果列于表5

63、-9。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 dfedfe秩次距秩次距k kq q0.050.05q q0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.0115152 23.013.014.174.171.21 1.21 1.681.683 33.164.371.271.764 43.254.501.311.815 53.314.581.331.85表表表表5-95-9SSRSSR值与值与值与值与LSRLSR值值值值表表表表5-755-75种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果（S

64、SRSSR法）法）法）法）除杂方法A428.47.1*3.2 *1.4*0.9A227.56.2 *2.3 *0.5A327.05.7 *1.8 *A125.23.9 *A521.3式中式中式中式中k k为试验的处理数，为试验的处理数，为试验的处理数，为试验的处理数，（i i=1,2,=1,2,k k）为第）为第）为第）为第i i处理处理处理处理的重复数。的重复数。的重复数。的重复数。 当各处理重复数不等时，为简便起见，不论当各处理重复数不等时，为简便起见，不论LSD法还是法还是LSR法，可用下式计算出各处理的法，可用下式计算出各处理的平均重复平均重复数数n0，以代替计算以代替计算或或时所需时

65、所需的的n。（5-215-21）以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度关以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度关以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度关以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度关系如下：系如下：系如下：系如下：当秩次距当秩次距当秩次距当秩次距k=2k=2时，取等号；时，取等号；时，取等号；时，取等号； 秩次距秩次距秩次距秩次距 k3k3时，取小于时，取小于时，取小于时，取小于号。在多重比较中，号。在多重比较中，号。在多重比较中，号。在多重比较中，LSDLSD法的尺度最小法的尺度最小法的尺度最小法的尺度最小，q q检验法尺度最大，检验法尺度最大，检验法尺度最大，检验法尺度最大，新复

66、极差法尺度居中。新复极差法尺度居中。新复极差法尺度居中。新复极差法尺度居中。 一一一一 般般般般 地地地地 讲，一讲，一讲，一讲，一 个试验资料，究竟个试验资料，究竟个试验资料，究竟个试验资料，究竟采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的 HH00和接受一个不正确的和接受一个不正确的和接受一个不正确的和接受一个不正确的HH0 0的相对重要性来决定。的相对重要性来决定。的相对重要性来决定。的相对重要性来决定。试验要求严试验要求严试验要求严试验要求

67、严格时，用格时，用格时，用格时，用q q检验法较为妥当检验法较为妥当检验法较为妥当检验法较为妥当。生物试验中，由于试验误差较大，生物试验中，由于试验误差较大，生物试验中，由于试验误差较大，生物试验中，由于试验误差较大，下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 常采用新复极差法常采用新复极差法常采用新复极差法常采用新复极差法LSDLSD法法法法新复极差法新复极差法新复极差法新复极差法qq检验法检验法检验法检验法（3）多重比较方法的选择）多重比较方法的选择（4 4）多重比较结果的表示）多重比较结果的表示）多重比较结果的表示）多重比较结果的表示常用的表示方法有以下两种。常用的表示方法有以下

68、两种。常用的表示方法有以下两种。常用的表示方法有以下两种。 三角形法三角形法三角形法三角形法 此法是将多重比较结果直接标记在平均此法是将多重比较结果直接标记在平均此法是将多重比较结果直接标记在平均此法是将多重比较结果直接标记在平均数多重比较表上，数多重比较表上，数多重比较表上，数多重比较表上，如表如表如表如表5-45-4所示。所示。所示。所示。此法的优点是简便直观，此法的优点是简便直观，此法的优点是简便直观，此法的优点是简便直观，缺点是占的篇幅较大。缺点是占的篇幅较大。缺点是占的篇幅较大。缺点是占的篇幅较大。 标记字母法标记字母法标记字母法标记字母法此法是先将各处理平均数由大到小自此法是先将各

69、处理平均数由大到小自此法是先将各处理平均数由大到小自此法是先将各处理平均数由大到小自上而下排列上而下排列上而下排列上而下排列 ；然后在最大平均数后标记字母；然后在最大平均数后标记字母；然后在最大平均数后标记字母；然后在最大平均数后标记字母a a，并将该平，并将该平，并将该平，并将该平均数与以均数与以均数与以均数与以 下各平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字下各平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字下各平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字下各平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字母母母母 ，直到某一个与其差异显著的平均数标记字母，直到某一个与其差异显著的平均数标记字母，直到某一个与其差异显著

70、的平均数标记字母，直到某一个与其差异显著的平均数标记字母b b；再以；再以；再以；再以标有字母标有字母标有字母标有字母b b的平均数为标准的平均数为标准的平均数为标准的平均数为标准 ，与上方比它大的各个平均数，与上方比它大的各个平均数，与上方比它大的各个平均数，与上方比它大的各个平均数比较，凡差异不显著一律比较，凡差异不显著一律比较，凡差异不显著一律比较，凡差异不显著一律再加标再加标再加标再加标b b ，直至显著为止；再以直至显著为止；再以直至显著为止；再以直至显著为止；再以标记有字母标记有字母标记有字母标记有字母b b的最大平均数为标准，与下面各未标记字母的最大平均数为标准，与下面各未标记字

71、母的最大平均数为标准，与下面各未标记字母的最大平均数为标准，与下面各未标记字母的平均数相比，凡差异不显著，继续标记字母的平均数相比，凡差异不显著，继续标记字母的平均数相比，凡差异不显著，继续标记字母的平均数相比，凡差异不显著，继续标记字母b b，直至某直至某直至某直至某一个与其差异显著的平均数标记一个与其差异显著的平均数标记一个与其差异显著的平均数标记一个与其差异显著的平均数标记c c；如此重复下去，如此重复下去，如此重复下去，如此重复下去，直至最小一个平均数被标记比较完毕为止。这样，各平均直至最小一个平均数被标记比较完毕为止。这样，各平均直至最小一个平均数被标记比较完毕为止。这样，各平均直至

72、最小一个平均数被标记比较完毕为止。这样，各平均数间凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡无相同字母数间凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡无相同字母数间凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡无相同字母数间凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡无相同字母的即为差异显著。的即为差异显著。的即为差异显著。的即为差异显著。占篇幅小，在科技文献中常见。占篇幅小，在科技文献中常见。占篇幅小，在科技文献中常见。占篇幅小，在科技文献中常见。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对于对于【例例5.1】，多重比较结果用字母标记，多重比较结果用字母标记见表见表5-10。下一张下一张 主主 页页 退退 出出

73、上一张上一张 表表表表5-1055-105种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果（SSRSSR法）法）法）法）除杂方法差异显著性0.050.01A428.4aAA227.5abAA327.0bAA125.2cBA521.3dC由表由表由表由表5-105-10可以看出，在可以看出，在可以看出，在可以看出，在0.050.05水平下，水平下，水平下，水平下，AA4 4与与与与AA2 2、AA2 2与与与与AA3 3均数间差异不显著，其余均差异显著；在均数间差异不显著，其余均差异显著；在均数间差异不显著，其余均差异显著；

74、在均数间差异不显著，其余均差异显著；在0.010.01水平下，水平下，水平下，水平下，AA4 4、AA2 2、AA3 3三者均数间差异不显著，其余差异三者均数间差异不显著，其余差异三者均数间差异不显著，其余差异三者均数间差异不显著，其余差异显著。显著。显著。显著。dfedfedfedfe秩次距秩次距秩次距秩次距k k k kq q q q0.050.050.050.05q q q q0.010.010.010.01LSRLSRLSRLSR0.050.050.050.05LSRLSRLSRLSR0.010.010.010.01151515152 2 2 23.013.013.013.014.17

75、4.174.174.171.21 1.21 1.21 1.21 1.681.681.681.683 3 3 33.163.164.374.371.271.271.761.764 4 4 43.253.254.504.501.311.311.811.815 5 5 53.313.314.584.581.331.331.851.85表表表表5-95-9SSRSSR值与值与值与值与LSRLSR值值值值表表表表5-1055-105种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果种除杂方法除杂效果多重比较结果（SSRSSR法）法）法）法）除杂方法差异显著性差异显

76、著性0.050.050.010.01A428.4aAA227.5abAA327.0bAA125.2cBA521.3dC1资料总偏差平方和与自由度的分解；资料总偏差平方和与自由度的分解；2列出方差分析表，计算各项均方和列出方差分析表，计算各项均方和F值，进行值，进行F检验，以判断各变异因素的影响大检验，以判断各变异因素的影响大小；小；3若若F检验显著，则进行多重比较。检验显著，则进行多重比较。下一张 主 页 退 出 上一张 方差分析的基本步骤归纳如下方差分析的基本步骤归纳如下2 单因素试验资料的方差分析单因素试验资料的方差分析根据各处理内重复数是否相等，单因素试根据各处理内重复数是否相等，单因素

77、试验资料的方差分析又分为重复数相等和重复数验资料的方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。本节各举一例予以说明。不等两种情况。本节各举一例予以说明。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例例例例5-25-2】对某地区对某地区对某地区对某地区5 5类海产食品中无机砷含量进行检类海产食品中无机砷含量进行检类海产食品中无机砷含量进行检类海产食品中无机砷含量进行检测，测定结果见测，测定结果见测，测定结果见测，测定结果见表表表表5-125-12，其中藻类以干重计，其他，其中藻类以干重计，其他，其中藻类以干重计，其他，其中藻类以干重计，其他4 4类以鲜重计。试分析不同类型海产品的砷

78、含量差异是否类以鲜重计。试分析不同类型海产品的砷含量差异是否类以鲜重计。试分析不同类型海产品的砷含量差异是否类以鲜重计。试分析不同类型海产品的砷含量差异是否显著。显著。显著。显著。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 2.1各处理重复数相等的方差分析各处理重复数相等的方差分析表表表表5-125-12五种不同类型海产品中无机砷含量五种不同类型海产品中无机砷含量五种不同类型海产品中无机砷含量五种不同类型海产品中无机砷含量0.57这是一个单因素试验，这是一个单因素试验，k=5，n=7。现对现对此试验结果进行方差分析：此试验结果进行方差分析：1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自

79、由度下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 2、列出方差分析表，进行、列出方差分析表，进行F检验检验表表表表5-135-13不同类型海产品无机砷含量方差分析表不同类型海产品无机砷含量方差分析表不同类型海产品无机砷含量方差分析表不同类型海产品无机砷含量方差分析表下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 根据根据根据根据dfdf1 1=dfdft t=4,=4,dfdf2 2=dfdfe e=30=30查临界查临界查临界查临界F F值值值值 得：得：得：得：F F0.05(4,30)0.05(4,30)=2.69=2.69，

80、F F0.05(4,30)0.05(4,30)=4.02=4.02因为因为因为因为F FF F0.01(4,30)0.01(4,30)，即，即，即，即P P0.010.01，表明品种间无机表明品种间无机表明品种间无机表明品种间无机砷含量差异达到砷含量差异达到砷含量差异达到砷含量差异达到1%1%显著水平，有极显著差异。显著水平，有极显著差异。显著水平，有极显著差异。显著水平，有极显著差异。3 3、多重比较、多重比较、多重比较、多重比较采用新复极差法采用新复极差法采用新复极差法采用新复极差法SSRSSR因为因为MSe=0.0084，n=7，所以所以为：为：根据根据dfe=30，秩次距秩次距k=2，

81、3，4，5由由附表附表6查出查出=0.05和和=0.01的各临界的各临界SSR值，值，乘以乘以，即得各最小显著极差，所得结果列于，即得各最小显著极差，所得结果列于表表5-14。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表表表表5-145-14SSRSSR值及值及值及值及LSRLSR值值值值下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表表表表5-145-14不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果 ( (SSRSSR法法法法) )下一张下一张 主主 页页 退退 出出

82、上一张上一张 结论：结论：藻类中无机砷含量极显著高于贝类、软体类、甲藻类中无机砷含量极显著高于贝类、软体类、甲藻类中无机砷含量极显著高于贝类、软体类、甲藻类中无机砷含量极显著高于贝类、软体类、甲壳类以及鱼类；贝类、软体类、甲壳类壳类以及鱼类；贝类、软体类、甲壳类壳类以及鱼类；贝类、软体类、甲壳类壳类以及鱼类；贝类、软体类、甲壳类3 3种海产品无机砷含种海产品无机砷含种海产品无机砷含种海产品无机砷含量差异不显著，但均极显著高于鱼类。量差异不显著，但均极显著高于鱼类。量差异不显著，但均极显著高于鱼类。量差异不显著，但均极显著高于鱼类。类类型型平均数平均数/ / （mg/kgmg/kg）差异差异显显

83、著性著性= =0.050.05=0.010.01藻藻类类（D D）1.3411.341a aA A贝类贝类（B B）0.6370.637b bB B软软体体类类（E E）0.6360.636b bB B甲壳甲壳类类（C C）0.6130.613b bB B鱼类鱼类（A A）0.3930.393c cC C设处理数为设处理数为设处理数为设处理数为k k；各各各各处理重复数为处理重复数为处理重复数为处理重复数为n n1 1，n n2 2，n nk k；试验试验试验试验观测值总数观测值总数观测值总数观测值总数为为为为NN= n ni i。则。则。则。则 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上

84、一张 2.2各处理重复数不等的方差分析各处理重复数不等的方差分析（5-225-22）（5-235-23）修正项修正项修正项修正项1平方和与自由度的分解平方和与自由度的分解2多重比较多重比较因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数数数数n n0 0来代替标准误来代替标准误来代替标准误来代替标准误中的中的中的中的n n，下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 【例例5-3】在食品质量检查中，对在食品质量检查中，对4种不同品牌种不同品牌腊肉的酸价进行了随机抽样

85、检测，结果见表腊肉的酸价进行了随机抽样检测，结果见表5-16，试分析，试分析4种不同品牌腊肉的酸价指标有无差种不同品牌腊肉的酸价指标有无差异。异。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 品牌（Ai）酸价（xij）xi.niA11.61.5 2.01.91.31.01.21.411.91.49 8A21.71.9 2.02.52.71.812.62.10 6A30.91.0 1.31.11.91.61.59.31.33 7A41.82.01.72.11.52.52.213.81.97 747.628xi.表表表表5-1645-164种品牌腊肉酸价检测结果种品牌腊肉酸价检测结果种品牌腊

86、肉酸价检测结果种品牌腊肉酸价检测结果处理数处理数k=4，各处理重复数不等。，各处理重复数不等。方差分析如下：方差分析如下：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （1 1）计算各项偏差平方和与自由度）计算各项偏差平方和与自由度）计算各项偏差平方和与自由度）计算各项偏差平方和与自由度下一张 主 页 退 出 上一张 临界临界临界临界F F值为：值为：值为：值为：F F0.05(3,24)0.05(3,24)=3.01=3.01，F F0.01(3,24)0.01(3,24) =4.72=4.72， 因为品牌间的因为品牌间的因为品牌间的因为品牌间的F F值值值值 为为为为7.2877.2

87、87F F0.01(3,24)0.01(3,24)，故故故故P P0.010.01，表明表明表明表明4 4个品牌腊肉的酸价有极显著差异。个品牌腊肉的酸价有极显著差异。个品牌腊肉的酸价有极显著差异。个品牌腊肉的酸价有极显著差异。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （2）列出方差分析表，进行）列出方差分析表，进行F检验检验 表表5-17 4个品牌腊肉酸价方差分析表个品牌腊肉酸价方差分析表变变异来源异来源SSSSdfdfMSMSF F值值显显著性著性品牌品牌间间2.80272.80273 30.93420.93427.2877.287*误误差差3.07733.077324240.12

88、820.1282总变总变异异5.88005.88002727因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数n n0 0，下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （3）多重比较）多重比较那么，标准误为：那么，标准误为：那么，标准误为：那么，标准误为： 根据根据dfe=24，秩次距，秩次距k=2,3,4，从附表，从附表5中查出中查出=0.05与与=0.01的临界的临界q值，计算最值，计算最小显著极差，所得结果列于小显著极差，所得结果列于表表5-18。下一张下

89、一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.012422.92 3.960.3960.53733.53 4.550.4790.61743.90 4.910.5290.666表表表表5-18q5-18q值及值及值及值及LSRLSR值值值值表表表表5-1945-194个种品牌腊肉酸价多重比较（个种品牌腊肉酸价多重比较（个种品牌腊肉酸价多重比较（个种品牌腊肉酸价多重比较（q q法）法）法）法）下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 多重比较结果表明，多重比较结果表明，多重比较结果表明，多重比较结果表明，AA2 2与与与与AA4 4

90、、 AA1 1与与与与AA3 3在在在在5 5水平上差异不显著，但水平上差异不显著，但水平上差异不显著，但水平上差异不显著，但AA2 2，AA4 4与与与与AA1 1，AA3 3在在在在5%5%水平水平水平水平上差异显著，即上差异显著，即上差异显著，即上差异显著，即AA2 2，AA4 4的酸价高于的酸价高于的酸价高于的酸价高于 AA1 1，AA3 3； AA2 2，AA4 4，AA1 1在在在在1%1%上差异不显著，但上差异不显著，但上差异不显著，但上差异不显著，但AA2 2，AA4 4与与与与AA3 3差异差异差异差异显著，显著，显著，显著， AA1 1与与与与AA3 3在在在在1 1上差异

91、不显著。上差异不显著。上差异不显著。上差异不显著。品牌品牌xi i.差异差异显显著性著性=0.05=0.05=0.01=0.01A A2 22.10 2.10 a aA AA A4 41.97 1.97 a aA AA A1 11.49 1.49 b bABABA A3 31.33 1.33 b bB B4 两因素试验资料的方差分析两因素试验资料的方差分析两因素试验按水平组合的方式不同，分为两因素试验按水平组合的方式不同，分为交交叉分组叉分组和和系统分组系统分组两类，这里仅以两类，这里仅以两因素交两因素交叉分组资料叉分组资料为例来说明如何进行方差分析。为例来说明如何进行方差分析。下一张下一张

92、主主 页页 退退 出出 上一张上一张 考查两个因素对试验指标的影响情况考查两个因素对试验指标的影响情况考查两个因素对试验指标的影响情况考查两个因素对试验指标的影响情况4.1交叉分组资料的方差分析交叉分组资料的方差分析设试验考察设试验考察A、B两个因素，两个因素，A因素因素分分a个水个水平平，B因素因素分分b个水平个水平。所谓交叉分组是指所谓交叉分组是指A因因素每个水平与素每个水平与B因素的每个水平都要搭配因素的每个水平都要搭配，两者，两者交叉搭配形成交叉搭配形成ab个水平组合即处理个水平组合即处理，试验因素，试验因素A 、B在试验中处于平等地位在试验中处于平等地位。如果将试验单元。如果将试验单

93、元分成分成ab 个组，每组随机接受一种处理个组，每组随机接受一种处理，因而试，因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。这种料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。这种试验以各处理是无重复观测值还是有重复观测值试验以各处理是无重复观测值还是有重复观测值又分为两种类型。又分为两种类型。对于对于A、B两个试验因素的全部两个试验因素的全部ab个水个水平组合，每个水平组合只有一个观测值平组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），（无重复），全试验共有全试验共有ab个观测值，个观测值，其数据模式如其数据模式如表表5-2

94、0所示。所示。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 4.1.1两因素无重复试验资料的方差分析两因素无重复试验资料的方差分析表表表表5-205-20两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式两因素无重复观测值的试验数据模式注：注：注：注：AA因素有因素有因素有因素有a a个水平，个水平，个水平，个水平，BB因素有因素有因素有因素有b b个水平，共计有个水平，共计有个水平，共计有个水平，共计有abab个水平个水平个水平个水平组合，每一组合观测一次，有组合，每一组合观测一次，有组合，每一组合观测一次，有组合，每一组合观测一次，有ab

95、ab个观测值（表个观测值（表个观测值（表个观测值（表5-205-20），），），），x xijij 为为为为AA的第的第的第的第i i水平与水平与水平与水平与BB的第的第的第的第j j水平组合观测值。水平组合观测值。水平组合观测值。水平组合观测值。AA的第的第的第的第i i水平水平水平水平b b个观测值之和个观测值之和个观测值之和个观测值之和AA的第的第的第的第i i水平水平水平水平b b个观测值的平均数个观测值的平均数个观测值的平均数个观测值的平均数BB的第的第的第的第j j水平水平水平水平a a个观测值之和个观测值之和个观测值之和个观测值之和BB的第的第的第的第j j水平水平水平水平b b

96、个观测值的平均数个观测值的平均数个观测值的平均数个观测值的平均数abab个观测值的总和个观测值的总和个观测值的总和个观测值的总和abab个观测值的总平均数个观测值的总平均数个观测值的总平均数个观测值的总平均数两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：式中，式中，式中，式中， 为总平均数；为总平均数；为总平均数；为总平均数；下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 (5-26)(5-26) i i， j j分别为分别为分别为分别为AAi i、BBj j的效应；的效应；的

97、效应；的效应； i i=i i-， j j=j j-， i i、 j j分别为分别为分别为分别为AAi i、BBj j观测值总体平均数，观测值总体平均数，观测值总体平均数，观测值总体平均数，且且且且i i=0=0，j j=0=0； ijij为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从NN(0(0， 2 2)交叉分组两因素无重复观测值的试验，交叉分组两因素无重复观测值的试验，交叉分组两因素无重复观测值的试验，交叉分组两因素无重复观测值的试验，AA因素因素因素因素的每个水平有的每个水平有的每个水平有的每个水平有b b次重复，次重复

98、，次重复，次重复，BB因素的每个水平有因素的每个水平有因素的每个水平有因素的每个水平有a a次重次重次重次重复，每个观测值同时受到复，每个观测值同时受到复，每个观测值同时受到复，每个观测值同时受到AA、B B 两因素及随机误差两因素及随机误差两因素及随机误差两因素及随机误差的作用。因此全部的作用。因此全部的作用。因此全部的作用。因此全部 a ab b 个观测值的总变异可以分解个观测值的总变异可以分解个观测值的总变异可以分解个观测值的总变异可以分解为为为为 A A 因素水平间变异因素水平间变异因素水平间变异因素水平间变异、BB因素水平间变异及试验因素水平间变异及试验因素水平间变异及试验因素水平间

99、变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。误差三部分；自由度也相应分解。误差三部分；自由度也相应分解。误差三部分；自由度也相应分解。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 偏差平方和与自由度的分解如下：偏差平方和与自由度的分解如下：偏差平方和与自由度的分解如下：偏差平方和与自由度的分解如下：(5-27)(5-27) 矫正数矫正数矫正数矫正数 总平方和总平方和总平方和总平方和 AA因素偏差平方和因素偏差平方和因素偏差平方和因素偏差平方和 BB因素偏差平方和因素偏差平方和因素偏差平方和因素偏差平方和(5-28)(5-28)各项偏差平方和与自由度的计算公式为各项偏差平方和与自由度的计算公式

100、为:误差平方和误差平方和误差平方和误差平方和SSSSe e=SSSST T- -SSSSAA- -SSSSBB总自由度总自由度总自由度总自由度dfdfT T=ab-=ab-1 1 A A因素自由度因素自由度因素自由度因素自由度dfdfAA=a-=a-1 1 B B因素自由度因素自由度因素自由度因素自由度dfdfBB=b-=b-1 1误差自由度误差自由度误差自由度误差自由度 dfdfe e= = dfdfT T - - dfdfAA dfdfBB =(=(a-a-1)(b-1)1)(b-1)相应均方为相应均方为【例例例例5-45-4】某厂现有化验员某厂现有化验员某厂现有化验员某厂现有化验员3 3

101、人，担任该厂牛奶酸度人，担任该厂牛奶酸度人，担任该厂牛奶酸度人，担任该厂牛奶酸度（T T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，连续连续连续连续1010天的检验分析结果见表天的检验分析结果见表天的检验分析结果见表天的检验分析结果见表5-225-22。试分析。试分析。试分析。试分析3 3名化名化名化名化验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度

102、有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20T20T ） 。化验化验化验化验员员员员B B B B1 1 1 1B B B B2 2 2 2B B B B3 3 3 3B B B B4 4 4 4B B B B5 5 5 5B B B B6 6 6 6B B B B7 7 7 7B B B B8 8 8 8B B B B9 9 9 9B B B B10101010x x x xi i i i. . . .x x x xi i i i. . . .A A A A1 1 1 111.7111.7111.7111.

103、7110.8110.8110.8110.8112.3912.3912.3912.3912.5612.5612.5612.5610.6410.6410.6410.6413.2613.2613.2613.2613.3413.3413.3413.3412.6712.6712.6712.6711.2711.2711.2711.2712.6812.6812.6812.68121.33121.33121.33121.3312.13 12.13 12.13 12.13 A A A A2 2 2 211.7811.7811.7811.7810.710.710.710.712.512.512.512.512.3

104、512.3512.3512.3510.3210.3210.3210.3212.9312.9312.9312.9313.8113.8113.8113.8112.4812.4812.4812.4811.611.611.611.612.6512.6512.6512.65121.12121.12121.12121.1212.11 12.11 12.11 12.11 A A A A3 3 3 311.6111.6111.6111.6110.7510.7510.7510.7512.412.412.412.412.4112.4112.4112.4110.7210.7210.7210.7213.113.113

105、.113.113.5813.5813.5813.5812.8812.8812.8812.8811.4611.4611.4611.4612.9412.9412.9412.94121.85121.85121.85121.8512.19 12.19 12.19 12.19 x.x.x.x.j j j j35.1035.1035.1035.1032.2632.2632.2632.2637.2937.2937.2937.2937.3237.3237.3237.3231.6831.6831.6831.6839.2939.2939.2939.2940.7340.7340.7340.7338.0338.033

106、8.0338.0334.3334.3334.3334.3338.2738.2738.2738.27364.3364.3364.3364.3x.x.x.x.j j j j11.7011.7011.7011.7010.7510.7510.7510.7512.4312.4312.4312.4312.4412.4412.4412.4410.5610.5610.5610.5613.1013.1013.1013.1013.5813.5813.5813.5812.6812.6812.6812.6811.4411.4411.4411.4412.7612.7612.7612.76表表表表5-225-22牛奶酸度

107、测定结果牛奶酸度测定结果牛奶酸度测定结果牛奶酸度测定结果AA因素（化验员）有因素（化验员）有因素（化验员）有因素（化验员）有3 3个水平，即个水平，即个水平，即个水平，即a=3a=3；BB因素因素因素因素（天数）（天数）（天数）（天数） 有有有有1010个水平个水平个水平个水平 ，即，即，即，即 b b =10=10， 共有共有共有共有aab b=310=30=310=30个观测值。个观测值。个观测值。个观测值。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 1计算各项偏差平方和与自由度计算各项偏差平方和与自由度2列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验下一张下一张 主主 页页

108、退退 出出 上一张上一张 表表表表6-226-22表表表表5-225-22资料的方差分析表资料的方差分析表资料的方差分析表资料的方差分析表变变异来源异来源SSSSdfdfMSMSF F值值显显著性著性化化验员间验员间0.02830.02832 20.01420.01420.5500.550日期日期间间26.759126.75919 92.97322.9732115.240115.240*误误差差0.46350.463518180.02580.0258合合计计27.250927.25092929结果表明，结果表明，3个化验员的化验技术没有显著个化验员的化验技术没有显著差异，不同日期牛奶的酸度有极

109、显著差异。差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。注：注：注：注：F F0.01(9,180.01(9,18）=3.60=3.603多重比较多重比较在两因素无重复观测值试验中，在两因素无重复观测值试验中，A因素每因素每一水平的重复数恰为一水平的重复数恰为B因素的水平数因素的水平数b，故，故A因因素的标准误为素的标准误为；同理，；同理，B 因因素素的的标准误标准误下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对例对例对例对例5-45-4分析，分析，分析，分析，a=3a=3，MSMSe e=0.0258=0.0258。故。故。故。故根据根据根据根据 dfdfe e=18=18，秩次距，秩次距，

110、秩次距，秩次距 k k=2=2，33，1010，查临，查临，查临，查临界界界界 q q 值值值值 ，计算最小显著极差，计算最小显著极差，计算最小显著极差，计算最小显著极差LSRLSR，见表，见表，见表，见表5-245-24。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表表表表5-245-24q q值与值与值与值与LSRLSR值值值值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.28 0.38 33.614.70.34 0.44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74

111、.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46 0.57 105.076.20.47 0.58 BB因素各水平均值多重比较结果见因素各水平均值多重比较结果见因素各水平均值多重比较结果见因素各水平均值多重比较结果见5-255-25测定测定测定测定日期日期日期日期x x x x.j.j.j.jx x x x.j-.j-.j-.j-1 1 1 10.560.560.560.56x.x.x.x.j j j j- - - -10.7510.7510.7510.7511.44 11.44 11.44 11.44 11.70 11.70 11.70 11.

112、70 12.43 12.43 12.43 12.43 12.44 12.44 12.44 12.44 12.68 12.68 12.68 12.68 12.76 12.76 12.76 12.76 13.10 13.10 13.10 13.10 B7B7B7B713.58 13.58 13.58 13.58 3.023.023.023.02* * * * 2.83 2.83 2.83 2.83 2.14 2.14 2.14 2.14 1.88 1.88 1.88 1.88 1.15 1.15 1.15 1.15 1.14 1.14 1.14 1.14 0.90 0.90 0.90 0.90 0

113、.82 0.82 0.82 0.82 0.48 0.48 0.48 0.48 B6B6B6B613.10 13.10 13.10 13.10 2.54 2.54 2.54 2.54 2.35 2.35 2.35 2.35 1.66 1.66 1.66 1.66 1.40 1.40 1.40 1.40 0.67 0.67 0.67 0.67 0.66 0.66 0.66 0.66 0.42 0.42 0.42 0.42 0.34 0.34 0.34 0.34 B10B10B10B1012.76 12.76 12.76 12.76 2.20 2.20 2.20 2.20 2.01 2.01 2.0

114、1 2.01 1.32 1.32 1.32 1.32 1.06 1.06 1.06 1.06 0.33 0.33 0.33 0.33 0.32 0.32 0.32 0.32 0.08 0.08 0.08 0.08 B8B8B8B812.68 12.68 12.68 12.68 2.12 2.12 2.12 2.12 1.93 1.93 1.93 1.93 1.24 1.24 1.24 1.24 0.98 0.98 0.98 0.98 0.25 0.25 0.25 0.25 0.24 0.24 0.24 0.24 B4B4B4B412.44 12.44 12.44 12.44 1.88 1.88

115、 1.88 1.88 1.69 1.69 1.69 1.69 1.00 1.00 1.00 1.00 0.74 0.74 0.74 0.74 0.01 0.01 0.01 0.01 B3B3B3B312.43 12.43 12.43 12.43 1.87 1.87 1.87 1.87 1.68 1.68 1.68 1.68 0.99 0.99 0.99 0.99 0.73 0.73 0.73 0.73 B1B1B1B111.70 11.70 11.70 11.70 1.14 1.14 1.14 1.14 0.95 0.95 0.95 0.95 0.26 0.26 0.26 0.26 B9B9B

116、9B911.44 11.44 11.44 11.44 0.88 0.88 0.88 0.88 0.69 0.69 0.69 0.69 B2B2B2B210.75 10.75 10.75 10.75 0.19 0.19 0.19 0.19 B5B5B5B510.56 10.56 10.56 10.56 表表表表5-255-25不同测定日牛奶酸度多重比较结果（不同测定日牛奶酸度多重比较结果（不同测定日牛奶酸度多重比较结果（不同测定日牛奶酸度多重比较结果（q q法）法）法）法）处理处理处理处理 均值均值均值均值 5%5%5%5%显著水平显著水平显著水平显著水平 1%1%1%1%极显著水平极显著水平极

117、显著水平极显著水平 B7 B7 B7 B7 13.58 13.58 13.58 13.58 a a a a A A A A B6 B6 B6 B6 13.10 13.10 13.10 13.10 b b b b AB AB AB AB B10 B10 B10 B10 12.76 12.76 12.76 12.76 bcbcbcbc BC BC BC BC B8 B8 B8 B8 12.68 12.68 12.68 12.68 bcbcbcbc BC BC BC BC B4 B4 B4 B4 12.44 12.44 12.44 12.44 c c c c C C C C B3 B3 B3 B3

118、12.43 12.43 12.43 12.43 c c c c C C C C B1 B1 B1 B1 11.70 11.70 11.70 11.70 d d d d D D D D B9 B9 B9 B9 11.44 11.44 11.44 11.44 d d d d D D D D B2 B2 B2 B2 10.75 10.75 10.75 10.75 e e e e E E E E B5 B5 B5 B5 10.56 10.56 10.56 10.56 e e e e E E E E 附表：多重比较结果字母表示附表：多重比较结果字母表示附表：多重比较结果字母表示附表：多重比较结果字母表示

119、* *注：注：注：注：DPSDPS数据分析软件分析数据分析软件分析数据分析软件分析数据分析软件分析结果表明，除结果表明，除B2与与B5，B1与与B9，B4与与B3，B8与与B3、B4，B10与与B3、B4、B8差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸度均差异极显著或显著。酸度最高的是度均差异极显著或显著。酸度最高的是B7，最低的是，最低的是B5和和B2。从牛奶质量要求看，。从牛奶质量要求看，连续连续10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。的牛奶酸度均在鲜奶范围内。在进行两个因素或多个因素的试验时，在进行两个因素或多个因素的试验时，除了要研究每一个因素对试验指标的影响除了

120、要研究每一个因素对试验指标的影响外，往往更希望知道因素之间的交互作用外，往往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标的影响情况。例如，通过研究对试验指标的影响情况。例如，通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分等环境环境温度、湿度、光照、气体成分等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物的条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和微生物活动，保持食品质量有着重要意和微生物活动，保持食品质量有着重要意义。义。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验

121、只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况；的情况；的情况；的情况；若两因素间有交互作用，若两因素间有交互作用，若两因素间有交互作用，若两因素间有交互作用， 则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设则每个水平组合中只设 一个试验一个试验一个试验一个试验单位单位单位单位( (观察单位观察单位观察单位观察单位) )的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：下一

122、张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 (1)(1)在这种情况下在这种情况下在这种情况下在这种情况下，SSSSe e, ,dfdfe e实际上是实际上是实际上是实际上是AA、B B 两因两因两因两因素交互作用平方和与自由度，所算得的素交互作用平方和与自由度，所算得的素交互作用平方和与自由度，所算得的素交互作用平方和与自由度，所算得的MSMSe e是交互作用是交互作用是交互作用是交互作用均方均方均方均方 ，主要反映由交互作用引起的变异。，主要反映由交互作用引起的变异。，主要反映由交互作用引起的变异。，主要反映由交互作用引起的变异。(2)(2)这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差均这时

123、若仍按前述方法进行方差分析，由于误差均这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差均这时若仍按前述方法进行方差分析，由于误差均方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素的方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素的方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素的方值大（包含交互作用在内），有可能掩盖试验因素的显著性，显著性，显著性，显著性， 从而增大犯从而增大犯从而增大犯从而增大犯型错误的概率。型错误的概率。型错误的概率。型错误的概率。(3)(3)每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正每个水平组合只有一个观测值，无法估计真正每个水平组合只有一个观测

124、值，无法估计真正的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。 交互作用交互作用交互作用交互作用交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素交互作用：在多因素试验中一个因素对试验结果的影响依赖于另一因素所取的水平时，称两因素有交互作用。所取的水平时，称两因素有交互作用。所取的水平时，称两因素有交互作用。所取的水

125、平时，称两因素有交互作用。 在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约、互在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约、互在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约、互在多因素对比试验中，某些因素对指标的影响往往是互相制约、互相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来起作相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来起作相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来起作相联系的。即在试验中不仅因素起作用，而且因素间有时联合起来起作用，这种联合作用并不等于各因素单独作用所产生的影响之和，称这种用，这种联合作用并不等于各因素

126、单独作用所产生的影响之和，称这种用，这种联合作用并不等于各因素单独作用所产生的影响之和，称这种用，这种联合作用并不等于各因素单独作用所产生的影响之和，称这种联合作用为交互作用。联合作用为交互作用。联合作用为交互作用。联合作用为交互作用。例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷例：某农场对四块大豆试验田作施肥试验。每块田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其产量如下：肥和氮肥，其产量如下：肥和氮肥，其产量如下：肥和氮肥，其产量如下：可以看出可以看出可以看出可以

127、看出 当施氮肥和不施氮肥时，施以当施氮肥和不施氮肥时，施以当施氮肥和不施氮肥时，施以当施氮肥和不施氮肥时，施以4 4公斤磷肥后的增产数量是不同的公斤磷肥后的增产数量是不同的公斤磷肥后的增产数量是不同的公斤磷肥后的增产数量是不同的 当施磷肥和不施磷肥时，施以当施磷肥和不施磷肥时，施以当施磷肥和不施磷肥时，施以当施磷肥和不施磷肥时，施以6 6公斤氮肥后的增产数量是不同的公斤氮肥后的增产数量是不同的公斤氮肥后的增产数量是不同的公斤氮肥后的增产数量是不同的 若若若若N, PN, P分别起作用时增产为分别起作用时增产为分别起作用时增产为分别起作用时增产为50, 30kg50, 30kg。但同时施时其效果

128、并不是。但同时施时其效果并不是。但同时施时其效果并不是。但同时施时其效果并不是50+30=80kg50+30=80kg，而是增产，而是增产，而是增产，而是增产560-400=160kg560-400=160kg，增加的，增加的，增加的，增加的8080公斤则为交互作公斤则为交互作公斤则为交互作公斤则为交互作用的效果。用的效果。用的效果。用的效果。P P1 1=0=0P P2 2=4=4P P2 2-P-P1 1N N1 1=0=04004004504505050N N1 1=6=6430430560560130130N N2 2-N-N1 13030110110对两因素和多因素等重复试验结果进行

129、对两因素和多因素等重复试验结果进行的分析，的分析，可以研究因素的可以研究因素的简单效应简单效应、主效主效应应和和因素间的交互作用（互作效应）因素间的交互作用（互作效应）。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 4.2两因素等重复试验的方差分析两因素等重复试验的方差分析基本概念基本概念 11简单效应简单效应简单效应简单效应(simpleeffect)(simpleeffect) 在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。验指标的影响称为简单效

130、应。验指标的影响称为简单效应。验指标的影响称为简单效应。在在在在AA1 1（杀菌时间（杀菌时间（杀菌时间（杀菌时间55min55min）水平上：水平上：水平上：水平上： BB2 2- - B B 1 1=5.30=5.30；在在在在AA22（杀菌时间（杀菌时间（杀菌时间（杀菌时间65min65min）水平上：水平上：水平上：水平上： BB2 2- - B B1 1=-12.80=-12.80；在在在在BB11（杀菌温度（杀菌温度（杀菌温度（杀菌温度116116）水平上：）水平上：）水平上：）水平上：AA2 2- -AA1 1=10.50=10.50；在在在在 BB22（杀菌温度（杀菌温度（杀菌

131、温度（杀菌温度121121）水平上：）水平上：）水平上：）水平上： AA2 2- -AA1 1=-7.60=-7.60下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 简单效应简单效应A1A1（55min55min）A2(65min)A2(65min)A2-A1A2-A1平均（平均（BjBj）B1B1（116 116 ）70.3070.3080.8080.8010.510.575.5575.55B2(121 B2(121 ) )75.6075.6068.0068.00-7.60-7.6071.8071.80B2-B1B2-B15.305.30-12.80-12.80-3.75-3.75平均（

132、平均（AiAi）72.9572.9574.4074.401.451.45表表表表5-265-26不同杀菌时间和温度搭配下成品固形物含量不同杀菌时间和温度搭配下成品固形物含量不同杀菌时间和温度搭配下成品固形物含量不同杀菌时间和温度搭配下成品固形物含量在表在表在表在表5-265-26中，当中，当中，当中，当AA因素由因素由因素由因素由AA1 1水平变到水平变到水平变到水平变到AA2 2水平时，水平时，水平时，水平时， AA因素的主效应为因素的主效应为因素的主效应为因素的主效应为AA2 2水平的平均数减去水平的平均数减去水平的平均数减去水平的平均数减去AA1 1水平的平水平的平水平的平水平的平均数均

133、数均数均数，即，即，即，即 AA因素的主效应因素的主效应因素的主效应因素的主效应=74.40-72.95=1.45=74.40-72.95=1.45同理，同理，同理，同理，BB因素的主效应因素的主效应因素的主效应因素的主效应=71.80-75.55=-3.75=71.80-75.55=-3.75由于因素水平的改变而引起的平均数发生改变的量称为主效应。由于因素水平的改变而引起的平均数发生改变的量称为主效应。由于因素水平的改变而引起的平均数发生改变的量称为主效应。由于因素水平的改变而引起的平均数发生改变的量称为主效应。主效应也就是简单效应的平均。主效应也就是简单效应的平均。主效应也就是简单效应的平

134、均。主效应也就是简单效应的平均。 22主效应主效应主效应主效应(maineffect)(maineffect)3交互作用交互作用（互作（互作效应效应，interactioneffect）在多因素试验中，一个因素的作用要在多因素试验中，一个因素的作用要受到另一个因素的影响，表现为某一因素在另一受到另一个因素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，这种现象因素的不同水平上所产生的效应不同，这种现象称为该两因素存在交互作用。称为该两因素存在交互作用。在在在在表表表表5-265-26中：中：中：中： AA在在在在BB1 1水平上的效应水平上的效应水平上的效应水平上的效应=80.8

135、0-70.30=10.50=80.80-70.30=10.50 A A在在在在BB2 2水平上的效应水平上的效应水平上的效应水平上的效应=68.00-75.60=-7.60=68.00-75.60=-7.60BB在在在在AA1 1水平上的效应水平上的效应水平上的效应水平上的效应=75.60-70.30=5.30=75.60-70.30=5.30 B B在在在在AA2 2水平上的效应水平上的效应水平上的效应水平上的效应=68.00-80.80=-12.80=68.00-80.80=-12.80可以看出，可以看出，A的效应随着的效应随着B因素水平的不因素水平的不同同而不同，反之亦然，此时称而不同，

136、反之亦然，此时称A、B两因素间存在两因素间存在交互作用，记为交互作用，记为AB。或者说，或者说，某一因素的某一因素的简简单效应随着另一因素水平的变化而变化时，则称单效应随着另一因素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在交互作用该两因素间存在交互作用。互作效应互作效应可由可由（A1B1+A2B2-A1B2-A2B1）/2来估计。来估计。表表5-26中的互作效应为：中的互作效应为：（70.30+68.00-75.60-80.8070.30+68.00-75.60-80.80）/2=-9.05/2=-9.05下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上

137、一张上一张 互作效应：实际是指由于两个或两个以上试验因互作效应：实际是指由于两个或两个以上试验因互作效应：实际是指由于两个或两个以上试验因互作效应：实际是指由于两个或两个以上试验因素的相互作用而产生的效应。素的相互作用而产生的效应。素的相互作用而产生的效应。素的相互作用而产生的效应。设设A、B两因素，两因素，A因素有因素有a个个水平，水平，B因因素有素有b个水平，共有个水平，共有ab个水平组合，每个水平个水平组合，每个水平组合有组合有n次重复试验，则全试验共有次重复试验，则全试验共有abn个观个观测值测值。试验结果的数据模式如表。试验结果的数据模式如表5-27所示。所示。下一张下一张 主主 页

138、页 退退 出出 上一张上一张 两因素等重复试验的方差分析两因素等重复试验的方差分析表表5-27 5-27 两因素等重复观测值试验数据模式两因素等重复观测值试验数据模式 下一张 主 页 退 出 上一张 A A因素因素B B因素因素Ai i合计合计xi i.B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1jl1jlx x111111x x121121x x1b11b1x x112112x x122122x x1b21b2x x1 1.x x113113x x123123x x1b31b3x x11n11nx x12n12nx x1bn1bnx x1j1j. .x x1111. .x x12

139、12. .x x1b1b. .x x1j1j. .x x1111. .x x1212. .x x1b1b. .A2两因素等重复试验数据模式（部分）两因素等重复试验数据模式（部分）两因素等重复试验数据模式（部分）两因素等重复试验数据模式（部分）表表5-27中中下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 每个组合处理每个组合处理每个组合处理每个组合处理n n 次重复之和次重复之和次重复之和次重复之和BB因素第因素第因素第因素第j j水平水平水平水平anan个数据之和个数据之和个数据之和个数据之和abnabn个数据总和个数据总和个数据总和个数据总和AA因素第因素第因素第因素第i i水平水平水

140、平水平bnbn个数据之和个数据之和个数据之和个数据之和其中，其中，其中，其中，为总平均数；为总平均数；为总平均数；为总平均数； i i为为为为AAi i的效应；的效应；的效应；的效应； j j为为为为BBj j的效应；的效应；的效应；的效应；()()ijij为为为为AAi i与与与与BBj j的互作效应。的互作效应。的互作效应。的互作效应。(6-32)(6-32)两因素等重复试验资料的数学模型为两因素等重复试验资料的数学模型为:分别为分别为分别为分别为AAi i、BBj j、AAi i BBj j观测值总体平均数；且观测值总体平均数；且观测值总体平均数；且观测值总体平均数；且4.2.1偏差平方

141、和与自由度分解偏差平方和与自由度分解下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （5-305-30）其中，其中，SSAB，dfAB为为A因素与因素与B因素交互因素交互作用平方和与自由度。作用平方和与自由度。为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从为随机误差，相互独立，且服从NN（0 0，22）。）。）。）。若用若用SSAB，dfAB表示表示A、B水平组合间的水平组合间的平方和与自由度，即平方和与自由度，即处理间平方和与自由度处理间平方和与自由度，则处理引起的变异可进一步剖分为则处理引起的变异可进一步剖分为A因素因素、B因因素及素及A、B交互作

142、用交互作用三部分，于是三部分，于是SSAB、dfAB可分解为：可分解为：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （5-315-31）矫正数矫正数矫正数矫正数 总平方和与自由度总平方和与自由度总平方和与自由度总平方和与自由度因素水平组合平方和与自由度因素水平组合平方和与自由度因素水平组合平方和与自由度因素水平组合平方和与自由度AA因素平方和与自由度因素平方和与自由度因素平方和与自由度因素平方和与自由度（5-325-32）各项平方和、自由度及均方的计算公式如下：各项平方和、自由度及均方的计算公式如下：BB因素平方和与自由度因素平方和与自由度因素平方和与自由度因素平方和与自由度下一张下一

143、张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 交互作用平方和与自由度交互作用平方和与自由度交互作用平方和与自由度交互作用平方和与自由度误差平方和与自由度误差平方和与自由度误差平方和与自由度误差平方和与自由度所以，相应均方为所以，相应均方为因素因素因素因素AA的方差的方差的方差的方差因素因素因素因素BB的方差的方差的方差的方差AA、BB互作的方差互作的方差互作的方差互作的方差误差方差误差方差误差方差误差方差4.2.2列方差分析表，进行列方差分析表，进行F检验检验变异来源变异来源变异来源变异来源偏差平方和偏差平方和偏差平方和偏差平方和自由度自由度自由度自由度方差方差方差方差F F F F值值值值显著性

144、显著性显著性显著性A A A A因素因素因素因素SSSSSSSSA A A Aa-1a-1a-1a-1SSSSA A A A/(a-1)/(a-1)MSMSMSMSA A A A/ / / /MSeMSeMSeMSeB B B B因素因素因素因素SSSSSSSSB B B Bb-1b-1b-1b-1SSSSB B B B/(b-1)/(b-1)MSMSMSMSB B B B/ / / /MSeMSeMSeMSeA A A AB B B BSSSSSSSSA A A AB B B B(a-1)(b-1) (a-1)(b-1) (a-1)(b-1) (a-1)(b-1) SSSSSSSSA A A

145、 AB B B B/ / / / (a-1)(b-1) (a-1)(b-1) (a-1)(b-1) (a-1)(b-1) MSMSMSMSA A A AB B B B/ / / /MSeMSeMSeMSe误差误差误差误差SSeSSeSSeSSeab(n-1)ab(n-1)ab(n-1)ab(n-1)总计总计总计总计SSSSSSSST T T Tabn-1abn-1abn-1abn-1表表表表5-285-28方差分析表（固定模型）方差分析表（固定模型）方差分析表（固定模型）方差分析表（固定模型）4.2.3多重比较多重比较配方（配方（A A）食品添加剂（食品添加剂（B B）B1B1B2B2B3B3

146、A1A18 87 76 68 87 75 58 86 66 6A2A29 97 78 89 99 97 78 86 66 6A3A37 78 810107 77 79 96 68 89 9表表表表5-2935-293种食品添加剂对种食品添加剂对种食品添加剂对种食品添加剂对3 3种不同配方蛋糕质量的影响种不同配方蛋糕质量的影响种不同配方蛋糕质量的影响种不同配方蛋糕质量的影响【例例5-5】现有现有3种食品添加剂对种食品添加剂对3种不同配种不同配方蛋糕质量的影响试验结果，试作方差分析方蛋糕质量的影响试验结果，试作方差分析 AA因因因因素素素素（配配配配方方方方）有有有有3 3个个个个水水水水平平平平

147、，即即即即a=3a=3；BB因因因因素素素素（食食食食品品品品添添添添加加加加剂剂剂剂）有有有有3 3 3 3个个个个水水水水平平平平，即即即即b b=3=3；共共共共有有有有abab=33=9=33=9个个个个水水水水平平平平组组组组合合合合；每每每每个个个个水水水水平平平平组组组组合合合合重重重重复复复复数数数数n n=3=3；全全全全试试试试验验验验共共共共有有有有=333=27=333=27个观测值。个观测值。个观测值。个观测值。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （1 1） 计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度下一张

148、 主 页 退 出 上一张 变异来源变异来源变异来源变异来源 平方和平方和平方和平方和 自由度自由度自由度自由度 均均均均 方方方方 F F F F 值值值值 显著性显著性显著性显著性 A A A A因素间因素间因素间因素间 6.23 6.23 6.23 6.23 2 2 2 23.12 3.12 3.12 3.12 5.295.295.295.29* * * *B B B B因素间因素间因素间因素间 1.56 1.56 1.56 1.56 2 2 2 20.78 0.78 0.78 0.78 1.321.321.321.32AxBAxBAxBAxB 22.21 22.21 22.21 22.2

149、1 4 4 4 45.55 5.55 5.55 5.55 9.419.419.419.41*误误误误 差差差差 10.67 10.67 10.67 10.67 181818180.59 0.59 0.59 0.59 总变异总变异总变异总变异 40.67 40.67 40.67 40.67 26262626表表表表5-305-30方差分析表方差分析表方差分析表方差分析表（2 2）列出方差分析表，进行）列出方差分析表，进行）列出方差分析表，进行）列出方差分析表，进行F F检验检验检验检验查临界查临界查临界查临界F F值：值：值：值： F F0.050.05（2,182,18）=3.55=3.55，

150、F F0.010.01（2,182,18）=6.01=6.01；F F0.010.01（4,184,18）=4.58=4.58。因为，因为，因为，因为， F FAAF F0.05(2,180.05(2,18）； F FBBF F0.05(2,180.05(2,18）；F FABABF F0.010.01（4,184,18），表明不同配方、食品添加，表明不同配方、食品添加，表明不同配方、食品添加，表明不同配方、食品添加剂与配方的互作对蛋糕质量有显著或极显著影响，而食品添加剂剂与配方的互作对蛋糕质量有显著或极显著影响，而食品添加剂剂与配方的互作对蛋糕质量有显著或极显著影响，而食品添加剂剂与配方的互

151、作对蛋糕质量有显著或极显著影响，而食品添加剂间的差异不显著。因此，应进一步进行不同处理均数间、配方各间的差异不显著。因此，应进一步进行不同处理均数间、配方各间的差异不显著。因此，应进一步进行不同处理均数间、配方各间的差异不显著。因此，应进一步进行不同处理均数间、配方各水平均数间水平均数间水平均数间水平均数间 的多重比较。的多重比较。的多重比较。的多重比较。 配方配方配方配方因为因为因为因为AA因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为bnbn，故，故，故，故AA因素各水因素各水因素各水因素各水平的标准误为：平的标准误为：平的标准误为：平的标准误为： 对本例

152、而言，对本例而言，对本例而言，对本例而言，下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （3）多重比较）多重比较由由由由dfdfe e=18=18，秩次距，秩次距，秩次距，秩次距k k=2,3=2,3，从附表，从附表，从附表，从附表5 5中查出中查出中查出中查出SSR0.05SSR0.05与与与与SSR0.01SSR0.01的的的的 临临临临 界值界值界值界值 ，计算，计算，计算，计算LSRLSR值值值值 ，结果列于表，结果列于表，结果列于表，结果列于表5-315-31。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 表表表表5-315-31配方各水平均数比较配方各水平均数比较配方各

153、水平均数比较配方各水平均数比较SSRSSR值与值与值与值与LSRLSR值值值值dfedfe秩次距秩次距SSRSSR0.050.05SSRSSR0.010.01LSRLSR0.050.05LSRLSR0.010.0118182 22.972.974.074.070.76 0.76 1.04 1.04 3 33.123.124.274.270.80 0.80 1.09 1.09 处处理理 均均值值 5%5%显显著水平著水平 1%1%极极显显著水平著水平 A A3 7.9 7.9 a a A A A A2 7.7 7.7 a a AB AB A A1 6.8 6.8 b b B B 表表表表5-32

154、5-32配方间平均数多重比较结果（配方间平均数多重比较结果（配方间平均数多重比较结果（配方间平均数多重比较结果（SSRSSR法）法）法）法）因素因素A主效应分析，结果表明配方主效应分析，结果表明配方A3与与A1之间差异极显著，之间差异极显著，A2与与A1差异显著，差异显著，A2与与A3差异不显著。差异不显著。因因因因BB因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为因素各水平的重复数为anan，故，故，故，故BB因素各水平的因素各水平的因素各水平的因素各水平的标准误为：标准误为：标准误为：标准误为：下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在本例，在本例，在本例，在本例

155、，BB因素的影响不显著，不必进行多重比较。因素的影响不显著，不必进行多重比较。因素的影响不显著，不必进行多重比较。因素的影响不显著，不必进行多重比较。 以上所进行的多重比较，实际上是以上所进行的多重比较，实际上是A、B两因素两因素主效应的检验。若主效应的检验。若A、B因素交互作用不显著，则可因素交互作用不显著，则可从主效应检验中分别选出从主效应检验中分别选出A、B因素的最优水平，得因素的最优水平，得到最优水平组合；若到最优水平组合；若A、B因素交互作用显著，则应因素交互作用显著，则应进行水平组合平均数间的多重比较，以进行水平组合平均数间的多重比较，以 选出最优水选出最优水平组合，同时可进行简单

156、效应的检验。平组合，同时可进行简单效应的检验。 因为水平组合数通常较大因为水平组合数通常较大因为水平组合数通常较大因为水平组合数通常较大( (本例本例本例本例abab=44=16)=44=16)，采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用算较麻烦。为了简便起见，常采用算较麻烦。为了简便起见，常采用算较麻烦。为了简便起见，常采用T T检验法。所谓检验法。所谓检验法。所谓检验法。所谓T T检检检检验法验法验法验法 ，实，

157、实，实，实 际际际际 上上上上 就是以就是以就是以就是以q q检测法中秩次距检测法中秩次距检测法中秩次距检测法中秩次距k k最大时的最大时的最大时的最大时的LSRLSR值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显著性。著性。著性。著性。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 因为水平组合的重复数为因为水平组合的重复数为因为水平组合的重复数为因为水平组合的重复数为n n，故水平组合的标准误故水平组合的标准误故水平组合的标准误故水平组合的标准误为：为：为

158、：为：本例本例本例本例下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 由由dfe=18，k=2，3，9，从附表从附表5中查中查出出a=0.05、a=0.01的临界的临界SSR值，值，计算出计算出LSR值，然后进行比较判断得出结论。值，然后进行比较判断得出结论。各水平组合平均数间的比较各水平组合平均数间的比较水平组合水平组合水平组合水平组合 均值均值均值均值 5%5%5%5%显著水平显著水平显著水平显著水平 1%1%1%1%极显著水平极显著水平极显著水平极显著水平 A3B3A3B39.39.39.39.3a a a a A A A A A2B1A2B18.78.78.78.7abababab

159、 AB AB AB AB A1B1A1B18.08.08.08.0abcabcabcabc AB AB AB AB A3B2A3B27.77.77.77.7 bcbcbcbc ABC ABC ABC ABC A2B2A2B27.37.37.37.3 bcbcbcbc BC BC BC BC A2B3A2B37.07.07.07.0 cdcdcdcd BC BC BC BC A1B2A1B26.76.76.76.7 cdcdcdcd BC BC BC BC A3B1A3B16.76.76.76.7 cdcdcdcd BC BC BC BC A1B3A1B35.75.75.75.7 d d d d

160、 C C C C 表表表表5-345-34个水平组合平均数多重比较结果（个水平组合平均数多重比较结果（个水平组合平均数多重比较结果（个水平组合平均数多重比较结果（SSRSSR法）法）法）法）注：注：注：注：DPSDPS软件分析结果软件分析结果软件分析结果软件分析结果分析结果表明，分析结果表明，A3B3，A2B1，A1B1为优组合，按此组为优组合，按此组合选用配方和添加剂可望得到较好的蛋糕质量。合选用配方和添加剂可望得到较好的蛋糕质量。以以上上的的比比较较结结果果可可以以看看出出，当当A、B因因素素的的交交互互作作用用显显著著时时，一一般般不不必必进进行行两两个个因因素素主主效效应应的的显显著著

161、性性检检验验（因因为为这这时时主主效效应应的的显显著著性性在在实实用用意意义义上上并并不不重重要要），而而直直接接进进行行各各水水平平组组合合平平均均数数的的多多重重比比较较，选出最优水平组合。选出最优水平组合。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 通常水平组合数较大（通常水平组合数较大（ab），采用最小），采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用计算较麻烦。为了简便起见，常采用T检验法。检验法。所谓所谓T检验法检验法，实际上就是以，实际上就是以q检测法中秩次检测法中秩次距距k最大时的最大时的LSR值作为

162、检验尺度来检验各水值作为检验尺度来检验各水平组合平均数间的差异显著性。平组合平均数间的差异显著性。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 简单效应的检验简单效应的检验简简单单效效应应实实际际上上是是特特定定水水平平组组合合平平均均数数间间的的差差数数。在在A因因素素某某水水平平下下对对B因因素素各各水水平平平平均均数数间间的的比比较较或或在在B因因素素某某水水平平下下对对A因素各水平平均数间的比较。因素各水平平均数间的比较。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 *4 方差分析的数学模型方差分析的数学模型4.1数学模型数学模型方差分析的数学模型就是指试验资料的方差分析的

163、数学模型就是指试验资料的数据结构数据结构或者说是每一观测值的或者说是每一观测值的线性组成线性组成，它是方差分析的基础。它是方差分析的基础。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 数学模型中的处理效应数学模型中的处理效应i(或或j、ij)，由于由于处理性质的不同，处理性质的不同，有有固定效应固定效应(fixedeffect)和和随机效应随机效应(randomeffect)之分。之分。若按处理效应的类别来划分方差分析的模型，则若按处理效应的类别来划分方差分析的模型，则有三种，即有三种，即固定模型、随机模型和混合模型固定模型、随机模型和混合模型。就。就试验资料的具体统计分析过程而言，这三

164、种模型试验资料的具体统计分析过程而言，这三种模型的差别并不太大，但从解释和理论基础而言，它的差别并不太大，但从解释和理论基础而言，它们之间是有很重要的区别的。不论设计试验、解们之间是有很重要的区别的。不论设计试验、解释试验结果，还是最后进行统计推断，都必须了释试验结果，还是最后进行统计推断，都必须了解这三种模型的意义和区别。解这三种模型的意义和区别。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （1）固定模型）固定模型（fixedmodel） 在在在在单单单单因因因因素素素素试试试试验验验验的的的的方方方方差差差差分分分分析析析析中中中中，把把把把k k个个个个处处处处理理理理看看看看作

165、作作作k k个个个个明明明明晰晰晰晰的的的的总总总总体体体体。如如如如果果果果研研研研究究究究的的的的对对对对象象象象只只只只限限限限于于于于这这这这k k个个个个总总总总体体体体的的的的结结结结果果果果，而而而而不不不不需需需需推推推推广广广广到到到到其其其其它它它它总总总总体体体体；研研研研究究究究目目目目的的的的在在在在于于于于推推推推断断断断这这这这k k个个个个总总总总体体体体平平平平均均均均数数数数是是是是否否否否相相相相同同同同，即即即即在在在在于于于于检检检检验验验验k k个个个个总总总总体体体体平平平平均均均均数数数数相相相相等等等等的的的的假假假假设设设设HH0 0： 1

166、1=2 2=k k；HH0 0被被被被否否否否定定定定，下下下下步步步步工工工工作作作作在在在在于于于于作作作作多多多多重重重重比比比比较较较较；重重重重复复复复试试试试验验验验时时时时的的的的处处处处理理理理仍仍仍仍为为为为原原原原k k个个个个处处处处理理理理。这这这这样样样样，则则则则k k个个个个处处处处理理理理的的的的效效效效应应应应( (如如如如 i i=i i-)-)固固固固定定定定于于于于所所所所试试试试验验验验的的的的处处处处理理理理的的的的范范范范围围围围内内内内，处处处处理理理理效效效效应应应应是是是是固固固固定定定定的的的的。这这这这种种种种模模模模型型型型称称称称为为

167、为为固固固固定定定定模模模模型型型型。一一一一般般般般的的的的比比比比较较较较性性性性试验均属固定模型。试验均属固定模型。试验均属固定模型。试验均属固定模型。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 在单因素试验中在单因素试验中在单因素试验中在单因素试验中 ，k k个处理并非特别指定，而是从个处理并非特别指定，而是从个处理并非特别指定，而是从个处理并非特别指定，而是从更大的处理总体中随机抽取的更大的处理总体中随机抽取的更大的处理总体中随机抽取的更大的处理总体中随机抽取的k k个处理而已，即研究的个处理而已，即研究的个处理而已，即研究的个处理而已，即研究的对象不局限于这对象不局限于这

168、对象不局限于这对象不局限于这k k个处理所对应总体的结果，而是着眼个处理所对应总体的结果，而是着眼个处理所对应总体的结果，而是着眼个处理所对应总体的结果，而是着眼于于于于这这这这k k个处理所在的更大的总体；研究的目的不在于推个处理所在的更大的总体；研究的目的不在于推个处理所在的更大的总体；研究的目的不在于推个处理所在的更大的总体；研究的目的不在于推断当前断当前断当前断当前k k个处理所属总体平均数是否相同，而是从这个处理所属总体平均数是否相同，而是从这个处理所属总体平均数是否相同，而是从这个处理所属总体平均数是否相同，而是从这k k个个个个处理所得结论推断所在处理所得结论推断所在处理所得结论

169、推断所在处理所得结论推断所在大总体大总体大总体大总体的变异情况，检验的假设的变异情况，检验的假设的变异情况，检验的假设的变异情况，检验的假设一般为处理效应方差等于零，即一般为处理效应方差等于零，即一般为处理效应方差等于零，即一般为处理效应方差等于零，即HH0 0: :=0=0；如果如果如果如果HH0 0被否定，进一步的工作是估计被否定，进一步的工作是估计被否定，进一步的工作是估计被否定，进一步的工作是估计；重复试验时；重复试验时；重复试验时；重复试验时 ，可，可，可，可 在大处理总体在大处理总体在大处理总体在大处理总体中随机抽取新的处理。中随机抽取新的处理。中随机抽取新的处理。中随机抽取新的处

170、理。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （2 2）随机模型随机模型（randommodel）这这样样，处处理理效效应应并并不不固固定定，而而是是随随机机的的，这这种种模模型型称称为为随随机机模模型型。随随机机模模型型在在遗遗传传、育育种种和和生生态态试试验验研研究究方方面面有有广广泛泛的的应应用用。如如，为为研研究究中中国国苹苹果果不不同同品品种种间间果果肉肉软软硬硬度度的的变变异异情情况况，从从大大量量地地方方品品种种中中随随机机抽抽取取部部分分品品种种为为代代表表进进行行试试验验，其其结结果果推推断断中中国国苹苹果果不不同同品品种种间间果果肉肉软硬度的变异情况，这就属于随

171、机模型。软硬度的变异情况，这就属于随机模型。在在多多因因素素试试验验中中，若若各各因因素素水水平平的的效效应应均均属随机，则对应于随机模型。属随机，则对应于随机模型。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （3）混合模型）混合模型（mixedmodel）在在多多因因素素试试验验中中，若若既既包包括括固固定定效效应应的的试试验验因因素素，又又包包括括随随机机效效应应的的试试验验因因素素，则则该该试试验验对对应应于于混混合合模模型型。混混合合模模型型在在试试验验研研究究中中是是经常采用的。经常采用的。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 5 方差分析的基本假定和数据转换

172、方差分析的基本假定和数据转换 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 （1 1）效应的可加性）效应的可加性）效应的可加性）效应的可加性 方差分析模型均为线性可加模型。这个模型方差分析模型均为线性可加模型。这个模型方差分析模型均为线性可加模型。这个模型方差分析模型均为线性可加模型。这个模型明确提出了处理效应与误差效应是明确提出了处理效应与误差效应是明确提出了处理效应与误差效应是明确提出了处理效应与误差效应是“ “可加的可加的可加的可加的” ”，正是由于这一，正是由于这一，正是由于这一，正是由于这一“ “可加性可加性可加性可加性” ”，才有了样本平方，才有了样本平方，才有了样本平方，才

173、有了样本平方和的和的和的和的“ “可加性可加性可加性可加性” ”，亦即有了试验观测值总平方，亦即有了试验观测值总平方，亦即有了试验观测值总平方，亦即有了试验观测值总平方和的和的和的和的“ “可剖分可剖分可剖分可剖分” ”性。如果试验资料不具备这一性。如果试验资料不具备这一性。如果试验资料不具备这一性。如果试验资料不具备这一性质，那么变量的总变异依据变异原因的剖分性质，那么变量的总变异依据变异原因的剖分性质，那么变量的总变异依据变异原因的剖分性质，那么变量的总变异依据变异原因的剖分将失去根据，方差分析不能正确进行。将失去根据，方差分析不能正确进行。将失去根据，方差分析不能正确进行。将失去根据，方

174、差分析不能正确进行。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 5.1方差分析的基本假定方差分析的基本假定（2 2）分布的正态性）分布的正态性）分布的正态性）分布的正态性 是是是是指指指指所所所所有有有有试试试试验验验验误误误误差差差差是是是是相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的，且且且且都都都都服服服服从从从从正正正正态态态态分分分分布布布布NN(0(0， 2 2) )。只有在这样的条件下才能进行只有在这样的条件下才能进行只有在这样的条件下才能进行只有在这样的条件下才能进行F F检验。检验。检验。检验。（3 3）方差的同质性）方差的同质性）方差的同质性）方差的同质性 即各个处理

175、观测值即各个处理观测值即各个处理观测值即各个处理观测值总体误差方差总体误差方差总体误差方差总体误差方差 2 2应是相等的。只应是相等的。只应是相等的。只应是相等的。只有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验各处理差异显著性的共同的误差均方。各处理差异显著性的共同的误差均方。各处理差异显著性的共同的误差均方。各处理差异显著性的共同的误差均方。 下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 上述三点是进行方差分析的基本前提或基本假定上述三点是

176、进行方差分析的基本前提或基本假定上述三点是进行方差分析的基本前提或基本假定上述三点是进行方差分析的基本前提或基本假定如如果果在在分分差差分分析析前前发发现现有有某某些些异异常常的的观观测测值值、处处理理或或单单位位组组，只只要要不不属属于于研研究究对对象象本本身身的的原原因因，在在不不影影响响分分析析正正确确性性的的条条件件下下应应加加以以删除。删除。有有些些资资料料就就其其性性质质来来说说就就不不符符合合方方差差分分析析的的基基本本假假定定。其其中中最最常常见见的的一一种种情情况况是是处处理理平平均均数数和和均均方方有有一一定定关关系系(如如二二项项分分布布资资料料，平平均均数数，均均方方；

177、泊泊松松分分布布资资料的平均数与方差相等料的平均数与方差相等)。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 5.2数据转换数据转换对不能直接进行方差分析的资料应考虑采用非参对不能直接进行方差分析的资料应考虑采用非参对不能直接进行方差分析的资料应考虑采用非参对不能直接进行方差分析的资料应考虑采用非参数方法分析或进行适当数据转换后再作方差分析。数方法分析或进行适当数据转换后再作方差分析。数方法分析或进行适当数据转换后再作方差分析。数方法分析或进行适当数据转换后再作方差分析。常用的数据转换方法常用的数据转换方法常用的数据转换方法常用的数据转换方法 ： 平方根转换平方根转换平方根转换平方根转换

178、（squarerootsquareroottransformationtransformation） 此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转换的方法是求出原数据的平方根换的方法是求出原数据的平方根换的方法是求出原数据的平方根换的方法是求出原数据的平方根。若原观测值中。若原观测值中。若原

179、观测值中。若原观测值中有为有为有为有为0 0的数或多数观测值小于的数或多数观测值小于的数或多数观测值小于的数或多数观测值小于1010，则把原数据变换成，则把原数据变换成，则把原数据变换成，则把原数据变换成，对于稳定均方，使方差符合同质性的作用更加明显。，对于稳定均方，使方差符合同质性的作用更加明显。，对于稳定均方，使方差符合同质性的作用更加明显。，对于稳定均方，使方差符合同质性的作用更加明显。变换也有利于满足效应可加性和正态性的要求。变换也有利于满足效应可加性和正态性的要求。变换也有利于满足效应可加性和正态性的要求。变换也有利于满足效应可加性和正态性的要求。下一张下一张 主主 页页 退退 出出

180、 上一张上一张 对数转换对数转换（logarithmictransformationlogarithmictransformation） 如如如如果果果果各各各各组组组组数数数数据据据据的的的的标标标标准准准准差差差差、全全全全距距距距与与与与其其其其平平平平均均均均数数数数大大大大体体体体成成成成比比比比例例例例或或或或变变变变异异异异系系系系数数数数CVCV接接接接近近近近常常常常数数数数时时时时，或或或或者者者者效效效效应应应应为为为为相相相相乘乘乘乘性性性性或或或或非非非非相相相相加加加加性性性性，则则则则将将将将原原原原数数数数据据据据变变变变换换换换为为为为对对对对数数数数( (l

181、gxlgx或或或或lnxlnx) )后后后后，可可可可以以以以使使使使方方方方差差差差变变变变成成成成比比比比较较较较一一一一致致致致而而而而且且且且使使使使效效效效应应应应由由由由相相相相乘乘乘乘性性性性变变变变成成成成相相相相加加加加性。性。性。性。对数变换能使服从对数正态分布的变量正态化。对数变换能使服从对数正态分布的变量正态化。对数变换能使服从对数正态分布的变量正态化。对数变换能使服从对数正态分布的变量正态化。如环境中某些污染物的分布、人体中某些微量元素的如环境中某些污染物的分布、人体中某些微量元素的如环境中某些污染物的分布、人体中某些微量元素的如环境中某些污染物的分布、人体中某些微量

182、元素的分布，可用对数转换改善其正态性。分布，可用对数转换改善其正态性。分布，可用对数转换改善其正态性。分布，可用对数转换改善其正态性。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 反反正正弦弦转转换换（arcsinetransformationarcsinetransformation） 平方根反正弦转换适用于服从二项分布的资料。平方根反正弦转换适用于服从二项分布的资料。平方根反正弦转换适用于服从二项分布的资料。平方根反正弦转换适用于服从二项分布的资料。转换的方法是求出每个原数据（用百分数或小数表转换的方法是求出每个原数据（用百分数或小数表转换的方法是求出每个原数据（用百分数或小数表转换

183、的方法是求出每个原数据（用百分数或小数表示）的平方根反正弦示）的平方根反正弦示）的平方根反正弦示）的平方根反正弦。 一一一一 般，若资般，若资般，若资般，若资料中的百分数介于料中的百分数介于料中的百分数介于料中的百分数介于30%70%30%70%之间时，因资料的之间时，因资料的之间时，因资料的之间时，因资料的分布接近于正态分布，数据变换与否对分析的影响分布接近于正态分布，数据变换与否对分析的影响分布接近于正态分布，数据变换与否对分析的影响分布接近于正态分布，数据变换与否对分析的影响不大。产品合格率、食品污染率、腐烂率等等二项不大。产品合格率、食品污染率、腐烂率等等二项不大。产品合格率、食品污染

184、率、腐烂率等等二项不大。产品合格率、食品污染率、腐烂率等等二项分布资料。附表分布资料。附表分布资料。附表分布资料。附表7 7是百分数反正弦转换表，可以直是百分数反正弦转换表，可以直是百分数反正弦转换表，可以直是百分数反正弦转换表，可以直接查得接查得接查得接查得x x的平方根反正弦值。的平方根反正弦值。的平方根反正弦值。的平方根反正弦值。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 倒数转换倒数转换（reciprocaltransformationreciprocaltransformation）当各处理标准差与其平均数的平方成比例当各处理标准差与其平均数的平方成比例当各处理标准差与其平均

185、数的平方成比例当各处理标准差与其平均数的平方成比例 时，可时，可时，可时，可进行倒数转换。这种转换常用于以出现质反应时间为进行倒数转换。这种转换常用于以出现质反应时间为进行倒数转换。这种转换常用于以出现质反应时间为进行倒数转换。这种转换常用于以出现质反应时间为指标的数据资料，也可用于数据两端波动较大的资料，指标的数据资料，也可用于数据两端波动较大的资料，指标的数据资料，也可用于数据两端波动较大的资料，指标的数据资料，也可用于数据两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。对于一些分布明显偏可使极端值的影响减小。对于一些分布明显偏可使极端值的影响减小。对于一些分布明显偏可使极端值的影响减小。对于一

186、些分布明显偏 态的二态的二态的二态的二项分布资料，有人通过以下转换，可使项分布资料，有人通过以下转换，可使项分布资料，有人通过以下转换，可使项分布资料，有人通过以下转换，可使x x呈良好的正态呈良好的正态呈良好的正态呈良好的正态分布。分布。分布。分布。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 对于一般非连续性的数据，最好在方差分对于一般非连续性的数据，最好在方差分析前先检查析前先检查各处理平均数与相应处理内均方各处理平均数与相应处理内均方是是否存在相关性和各处理均方间的变异是否较大。否存在相关性和各处理均方间的变异是否较大。如果存在相关性，或者变异较大，则应考虑对如果存在相关性，或者

187、变异较大，则应考虑对数据作出变换。有时要确定适当的转换方法并数据作出变换。有时要确定适当的转换方法并不容易，可事先在试验中选取几个其平均数为不容易，可事先在试验中选取几个其平均数为大、中、小的处理试验作转换。哪种方法能大、中、小的处理试验作转换。哪种方法能使使处理平均数与其均方的相关性最小处理平均数与其均方的相关性最小，哪种，哪种方法就是最合适的转换方法。方法就是最合适的转换方法。下一张下一张 主主 页页 退退 出出 上一张上一张 方差分析的基本思想方差分析的基本思想方差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。方差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。方差分析的实质就是检验多个正态总

188、体均值是否相等。方差分析的实质就是检验多个正态总体均值是否相等。数据波动由两方面引起：因素水平的不同引起；数据波动由两方面引起：因素水平的不同引起；数据波动由两方面引起：因素水平的不同引起；数据波动由两方面引起：因素水平的不同引起；偶然误差引起偶然误差引起偶然误差引起偶然误差引起方差分析的基本思想：试验数据波动分解成两方差分析的基本思想：试验数据波动分解成两方差分析的基本思想：试验数据波动分解成两方差分析的基本思想：试验数据波动分解成两部分，一部分反映由因素水平不同引起的波动，部分，一部分反映由因素水平不同引起的波动，部分，一部分反映由因素水平不同引起的波动，部分，一部分反映由因素水平不同引起

189、的波动，另一部分反映由试验误差引起的波动。总偏差另一部分反映由试验误差引起的波动。总偏差另一部分反映由试验误差引起的波动。总偏差另一部分反映由试验误差引起的波动。总偏差平方和分解为反映必然性的各个因素的偏差平平方和分解为反映必然性的各个因素的偏差平平方和分解为反映必然性的各个因素的偏差平平方和分解为反映必然性的各个因素的偏差平方和与反映偶然性的误差平方和，并计算它们方和与反映偶然性的误差平方和，并计算它们方和与反映偶然性的误差平方和，并计算它们方和与反映偶然性的误差平方和，并计算它们的平均偏差平方和（方差）。将两者进行比较，的平均偏差平方和（方差）。将两者进行比较，的平均偏差平方和（方差）。将两者进行比较，的平均偏差平方和（方差）。将两者进行比较，借助借助借助借助F F检验法，检验假设检验法，检验假设检验法，检验假设检验法，检验假设HH0 0：0 01 12 2，从而确定因素对试验结果的的影响是，从而确定因素对试验结果的的影响是，从而确定因素对试验结果的的影响是，从而确定因素对试验结果的的影响是否显著。否显著。否显著。否显著。