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1、第四章4.14.34.24.14.1圆的方程圆的方程主要内容4.1.2 圆的一般方程4.1.1 圆的标准方程4.1.14.1.1圆的标准方程圆的标准方程思考？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？ 在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线一点和倾斜角也能确定一条直线. .平面内到平面内到定点定点的距离等于的距离等于定长定长的点的集合的点的集合.定点定点定长定长圆心圆心半径半径rC圆的定义 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了因此一个圆最基本要素是定了
2、因此一个圆最基本要素是圆心和半径圆心和半径 如图，在直角坐标系中，圆心（点）如图，在直角坐标系中，圆心（点）A A的位置的位置用坐标用坐标( (a a, ,b b) )表示，半径表示，半径 r r 的大小等于圆上任意的大小等于圆上任意点点M M( (x x, , y y) )与圆心与圆心A A ( (a a, ,b b) )的距离的距离xOCM( (x, ,y) )yxyOCM( (x, ,y) )圆心圆心C C( (a a, ,b b),),半径半径r r特别地，若圆心为特别地，若圆心为O O（0 0，0 0），则圆的方程为：），则圆的方程为：标准方程标准方程圆的标准方程圆的标准方程 已知圆
3、的圆心为已知圆的圆心为C(C(a a, ,b b),),半径为半径为r r, ,求圆的方程求圆的方程. .xyOCM( (x, ,y) )解：设点解：设点M M ( (x x, ,y y) )为圆为圆C C上任一点，上任一点，P P = = M M | | | |MCMC| = | = r r 圆上所有点的集合圆上所有点的集合探究 在直角坐标系中，已知点在直角坐标系中，已知点M(xM(x0 0，y y0 0) )和圆和圆C:C: ，如何判断点，如何判断点M M在圆外、圆上、在圆外、圆上、圆内？圆内？(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr2 2时时, ,点点M
4、M在圆在圆C C外外; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r=r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C上上; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2rr|MC|r2.2.点点M M在圆上，在圆上，|MC|=r|MC|=r3.3.点点M M在圆内，在圆内，|MC|r|MC|r 例例1 1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5 5的圆的的圆的方程，并判断点方程，并判断点 ， 是否在这个圆上是否在这个圆上解解: : 圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5 5的圆的标的圆的标准方程是准方程是 把把 的坐标代入圆的方程
5、，左右两边相的坐标代入圆的方程，左右两边相等，点等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个在这个圆上；圆上； 把点把点 的坐标代入方程，左右两边不相的坐标代入方程，左右两边不相等，等， 点点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个在这个 圆上圆上 例例2 2 的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为A A(5,1), (5,1), B B(7,-3)(7,-3)，C C(2, -8) (2, -8) ，求它的外接圆的，求它的外接圆的方程方程 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有
6、唯一的外接圆个圆，三角形有唯一的外接圆 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程，于是所以， 的外接圆的方程是 解此方程组，得结论：在平面直角坐标系中，已知三个点的结论：在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标可以确定一个圆的方程坐标可以确定一个圆的方程 例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C 在直线上l：x - y+1=0，求圆心为C 的圆的标准方程 分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，由于圆心C 与A,B 两点的距
7、离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线 上又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线 l 与直线 的交点，半径长等于|CA|或|CB| 解：因为A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB的中点D的坐标 ，直线AB的斜率B Bx xo oy yA AC Cl即即因此线段AB 的垂直平分线 的方程是 圆心圆心C C 的坐标是方程组的坐标是方程组的解的解解此方程组，得解此方程组，得所以圆心所以圆心C C 的坐标是的坐标是圆心为圆心为C C 的圆的半径长的圆的半径长所以，圆心为所以，圆心为C C 的圆的标准方程是的圆的标准方程是小结小结1.圆的标准方程的结构特点.2.点与圆的位置关系的判定.3
8、.求圆的标准方程的方法： 待定系数法；代入法.作业P120-121练习：1，2，3，44.1.24.1.2圆的一般方程圆的一般方程思考？ 1. 圆的标准方程 展开可得到一个什么式子? 2. 方程 与 都表示的图形是圆吗？解：分别配方得 思考？ 第一个方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径长的圆. 第二个方程没有实数解，不存在点的坐标（x,y)满足这个方程，它不表示任何图形. 方程 在什么条件下表示圆？探究（1）当 时，表示圆，（2）当 时，表示点（3）当 时，不表示任何图形圆的一般方程圆的一般方程其中练习练习判断下列方程是不是表示圆表示以（2，3）为圆心，以3为半径的圆表示点（2，3）不表示任
9、何图形比较圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？ 圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点 ：（1）x2、y2 的系数相同，都不为0 （2）没有形如xy的二次项 圆的一般方程与圆的标准方程各有特点：圆的一般方程与圆的标准方程各有特点： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然 （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用 思考？ 例1 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为 上述解法用了一般
10、方程，请你比较上节课的标准方程的解法.探究用标准方程解答待定系数法待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. yABMxo 例例2 2 方程方程表示的图形是一个圆，求表示的图形是一个圆，求a 的取值范围的取值范围. .小结小结1.圆的一般方程的结构特点.2.用配方法化一般方程为标准方程.3.求圆的一般方程的方法： 待定系数法；代入法.小结：求圆的方程几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交
11、点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线） 求半径求半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）作业P123练习：1，2，3.P124习题4.1A组：1，2，3，44.24.2直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系主要内容4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.14.2.1直线与圆的位
12、置关系直线与圆的位置关系问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受处，受影响的范围是半径长为影响的范围是半径长为30km的圆形区域已知港口的圆形区域已知港口位于台风中心正北位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？线，那么它是否会受到台风的影响？O 为解决这个问题，我们为解决这个问题，我们以台风中心为原点以台风中心为原点O O，东西，东西方向为方向为x x 轴，建立如图所轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，示
13、的直角坐标系，其中，取取10km10km为单位长度为单位长度港口轮船 这样，受台风影响的圆区域这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为所对应的圆心为O O 的圆的方程为的圆的方程为轮船航线所在直线轮船航线所在直线 l 的方程为的方程为问题归结为圆心为问题归结为圆心为O O 的圆与直线的圆与直线 l 有无公共点有无公共点O港口轮船想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？平面几何中，直线与圆有三种位置关系：平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1 1）直线与圆相交，有两个公共点；）直线与圆相交，有两个公共点；dr 分析：方法一代数法：判断直线l与圆
14、的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解； 方法二几何法：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系解法一：由直线l与圆的方程，得 例1 如下图，已知直线l： 和圆心为C 的圆 ，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标因为=10所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点 解法二：圆 可化为其圆心C 的坐标为（0，1），半径长为 ，点C （0，1）到直线 l 的距离代入消去y，得由得由由 ，解得，解得所以，直线l与圆相交，有两个公共点所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是把把 代入方程代入方程，得，得 ；把把 代入方程代入方程 ，得，得 A A
15、（2 2，0 0）,B,B（1 1，3 3）判断直线与圆的位置关系常用几何法（方法二），但如果求交点坐标就最好用代数方法（方法一）了解：将圆的方程写成标准形式，得如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为 例例2 2 已知过点已知过点 的直线被圆的直线被圆 所截得的弦长为所截得的弦长为 ， 求直线的方程求直线的方程即圆心到所求直线的距离为即圆心到所求直线的距离为因为直线因为直线l l 过点过点 ，所以可设所求直线，所以可设所求直线l 的方程为的方程为即即根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线 l 的的距离距离因此因此即两边平方，并整理得到解得所以
16、，所求直线l有两条，它们的方程分别为或即直线方程化为一般式 1.设点M(x0，y0)为圆x2y2=r2上一点，如何求过点 M 的圆的切线方程？M Mx xo oy yx0x+y0y=r2思考题 2.2.设点设点M(xM(x0 0，y y0 0) )为圆为圆 x x2 2y y2 2 = r= r2 2 外一点，如何求外一点，如何求过点过点M M的圆的切线方程？的圆的切线方程？M Mx xo oy y思考题小结小结1.直线和圆的位置关系的判断2.会求弦长和圆的切线代数法几何法圆心到直线的距离和半径的关系解直线和圆方程联立的方程组判断直线和圆的位置关系几何方法几何方法求圆心坐标及半求圆心坐标及半径
17、径r（配方法配方法） 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d （点到直线距离公式点到直线距离公式）代数方法代数方法 消去消去y y（或（或x x）作业P128P128练习：练习：2 2，3 3，4 4P132P132习题习题4.2A4.2A组：组：1 1，2 2，3 3，5 54.2.24.2.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系思考？ 圆与圆的位置关系有哪几种？ 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外离外离外离O1O2R+rO1O2=R+rR-rO1O2R+rO1O2=R-r0O1O20r0为常数）表示什么图形是为常数）表示什么图形是什么？什么？O Ox xy yz zP P探究探究2 2：空间两点间的距离公式：空间两点间的距离公式思考思考1 1：设点设点 是空间中任意两是空间中任意两点，而且点，而且P P1 1、P P2 2在在xOyxOy平面上的射影分别为平面上的射影分别为 M M、N.N.则点则点M M、N N的坐标及它们之间的距离是的坐标及它们之间的距离是多少？多少？xyzOP2MP1N思考思考2:2:点点P P1 1、P P2 2的距离如何计算？的距离如何计算？MNxyzOP2P1A A
