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1、 定定积分的物理分的物理应用用 复复习微元法微元法一、一、非均匀非均匀细杆的杆的质量量二、二、变力力沿直沿直线所作的所作的功功三、液体的三、液体的侧压力力四、四、引力引力问题微元法的微元法的步步骤和和关关键:复复习微元法微元法（定（定积分概念的一个分概念的一个简化）化）1. .将将非均匀分布在非均匀分布在区区间 a, ,b 上的所求上的所求总量量A分割分割成分布在各子区成分布在各子区间的的局部量局部量,. . . . .A必必须对区区间 a, ,b 具有具有可加性可加性，即即2.关关键的一步的一步确定确定部分部分量量的的近似近似值, , 只需考只需考虑任意小区任意小区间x, x+dx上部分量的
2、近似上部分量的近似值，小微元小微元d A条条3. 对小微元小微元取定取定积分分条条扇形扇形xyo曲曲边梯形梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕 x 轴旋旋转一一周所成的立体体周所成的立体体积体体积元素元素薄片薄片计算体算体积求旋求旋转体体体体积柱壳法柱壳法:abf (x)yx0曲曲边梯形梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕 y 轴xdxabyx0xf (x)dx内表面内表面积dV=2 x f (x)dx壳壳0ab利用均匀利用均匀细杆杆质量量一一 、求、求线密度密度为思考：思考：非均匀分布在一个非均匀分布在一个细杆上的杆上的能量、能量、电量、量、热量量怎么
3、求？怎么求？例例1. .解：解：03y二二 、变力沿直力沿直线所作的功所作的功设物体在物体在连续变力力 F(x) 作用下沿作用下沿 x 轴从从 x a 移移动到到力的方向与运力的方向与运动方向方向平行平行, 求求变力所做的功力所做的功 .在其上所在其上所作功微元作功微元因此因此变力力F(x) 在区在区间 上所作的功上所作的功为利用常力作功利用常力作功例例1. 有一有一圆锥形形储水池水池,深深15m,口径口径20m,尖尖头在下在下,盛盛满水水, 今将水抽干今将水抽干, 需作功多少？需作功多少？解解: :yxO10 15-10如如图建立坐建立坐标系系取任一小区取任一小区间x, x+dx，这一薄一薄
4、层水水的重力的重力为做功微元做功微元斜斜线方程方程为做功做功例例2.半径半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重球的比重与水相同与水相同, 从水中取出球从水中取出球, 做功多少做功多少(p293.7)解：解：yx02r选取取x为积分分变量，其量，其变化区化区间 0,2r（注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功）注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功）重力微元：重力微元：在小区在小区间x, x+dx上相上相应的球的球体体 薄片薄片随球体离开水面后，随球体离开水面后，在水上方的行程在水上方的行程做功微元做功微元做功做功面面积为 A 的平板
5、的平板三、液体三、液体侧压力力设液体密度液体密度为 深深为 h 处的的压强: 当平板与水面平行当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行当平板不与水面平行时,所受所受侧压力力问题就需用就需用积分解决分解决 .平板一平板一侧所受的所受的压力力为 在端面建立坐在端面建立坐标系系.解解例例1. 建立坐建立坐标系如系如图.解：解：例例2.压力元力元四、引力四、引力问题质量分量分别为的的质点点 , 相距相距 r ,二者二者间的引力的引力 :大小大小:方向方向:沿两沿两质点的点的连线若考若考虑物体物体对质点的引力点的引力, 则需用需用积分解决分解决 .将典型小段近似看成将典型小段近似看成质点点 建立坐建立坐
6、标系如系如图.解解例例1.小段与小段与质点的距离点的距离为水平方向的分力元素水平方向的分力元素为注意：注意：引力元的方向各不引力元的方向各不相同，相同，这些力不能直接按些力不能直接按数量相加，因而也不能直数量相加，因而也不能直接接积分。分。例例2. .有一半径有一半径为r 的的均匀均匀半半圆弧，弧，质量量为m，求它求它对位于位于圆心心处的的单位位质量量质点的引力。点的引力。P292.12解：解：(1)建立如建立如图的坐的坐标系系,确定确定积分分变量和量和积分区分区间：0y xr-r设线密度密度为取取为积分分变量，量，则(2) 求微元：求微元：对将将对应的弧的弧长质量看成一个量看成一个质点点,
7、, 则对应的弧的弧长质量量为0y xr-r它它对单位位质点的点的引力微元引力微元为由由对称性知称性知所以有所以有(3) 求定求定积分：分： 把把对位于位于圆心心处的的单位位质量量质点的点的引力表示成定引力表示成定积分分计算得算得故故圆弧弧对质点的引力点的引力为方向从方向从圆心指向半心指向半圆弧弧的中点，即的中点，即轴方向方向. . 小小结：1.1.定定积分可以計算分可以計算非均匀分布非均匀分布在某在某区区间的量。的量。微微元法元法-建立所求量的建立所求量的积分表达式。分表达式。2.2.应用定用定积分解决分解决实际问题时，必，必须把所求的量把所求的量适当适当的置于坐的置于坐标系下，利用系下，利用以以不不变代代变，以直代曲，以直代曲的思想方法确定出的思想方法确定出小微元小微元。3.3.小微元的小微元的几何形状几何形状常取常取为：条、：条、带、段、段、环、扇、片、壳等。扇、片、壳等。4.4.应用定用定积分解决分解决实际问题时，当然，当然还需要需要使用使用其它一些常其它一些常识。5.微元法将用于在微元法将用于在多元多元积分学的分学的应用用。
