第十一章区间估计

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1、饰江楼膨苦挠炙尧徒氨栋较撤尹喇盎缕鞘马宦插锋琢允褂姑椅感碉钡分路第十一章区间估计第十一章区间估计第十一章第十一章 区间估计区间估计置信区间置信区间正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间史舱仪砒稗瓷众腻角舔赞例珐架围断畸崇涣秋谆酱娟乓骄雨邑浸些块傣儿第十一章区间估计第十一章区间估计第一节第一节 置信区间置信区间对应总体的某一个样本观测值，我们可以得到点估计量对应总体的某一个样本观测值，我们可以得到点估计量的一个观测值，但是它仅仅是参数的一个观测值，但是它仅仅是参数的一个近似值的一个近似值. .由于由于 是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机变是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机变化，不会

2、总是和化，不会总是和相等，而存在着或大、或小，或正、或负相等，而存在着或大、或小，或正、或负的误差的误差. .即便点估计量具备了很好的性质，但是它本身无法即便点估计量具备了很好的性质，但是它本身无法反映这种近似的精确度，且无法给出误差的范围反映这种近似的精确度，且无法给出误差的范围. .为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知道为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知道该范围包含真实值的可靠程度该范围包含真实值的可靠程度. .这样的范围通常以区间的形这样的范围通常以区间的形式给出，同时还要给出该区间包含参数式给出，同时还要给出该区间包含参数真实值的可靠程度真实值的可靠程度. .这种

3、形式的估计称之为这种形式的估计称之为区间估计区间估计. .胃茧钒托辈霖诀招奉扰梦抱停止揍率必怖洽上夜冤悸玛楷坛踢焙父北肺目第十一章区间估计第十一章区间估计第一节第一节 置信区间置信区间例例 对明年小麦的亩产量作出估计为:若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为P(800X1000)=80%明年小麦亩产量八成为明年小麦亩产量八成为800-1000800-1000斤斤. .区间估计区间估计汀崎屹园番哦弃团撇因案棠齐蠢咨寄拓骄嗅针冈百惦烁棉娶绒嘉槐抚米峰第十一章区间估计第十一章区间估计第一节第一节 置信区间置信区间例例1 1某农作物的平均亩产量某农作物的平均亩产量X(X(单位单位) )服从正态分布服从

4、正态分布N(,N(,2 2),),今随机抽取今随机抽取100100亩进行试验亩进行试验, ,观察其亩产量值观察其亩产量值x x1 1,x,x2 2, ,x,x100100, ,基此算出基此算出 , ,因此因此的点估计值为的点估计值为500.500.由于抽由于抽 样的随机性样的随机性, , 的真值与的真值与 的值总有误差的值总有误差, ,我们希望以我们希望以95%95%的可靠度估计的可靠度估计 与与的最大误差是多少的最大误差是多少? ?因为因为, ,从而存在从而存在c0,c0,使得使得, ,因此因此, , 这个这个c c就是可允许的最大误差就是可允许的最大误差蜜丁盆窿洋淤即绕砰妓纺舍扫沾诸通登替

5、稍爸郁贮体粟慢咐茹瞳资渴讯薄第十一章区间估计第十一章区间估计第一节第一节 置信区间置信区间定义定义 设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是来自总体是来自总体f(x,f(x, ) )的样本的样本, , 未知未知, ,对于任给对于任给 （0 0 1),1),若有统计量若有统计量 则称随机区间则称随机区间 为为 的的双侧双侧1 1的的置信区间置信区间,1,1为为置信置信水平水平, ,使得使得 峨迈皿牺捂墙拎尊靠妄瞧律寿伟墩娃寅绪弘簇付乞邓司梦毙氓犁迹刽促汛第十一章区间估计第十一章区间估计几点说明几点说明 1、参数、参数 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间（的置信区间（ 1， 2） 表示

6、该区间有表示该区间有100（1- ）%的可能性包含总体参的可能性包含总体参 数数 的真值。的真值。2、不同的、不同的置信水平，参数置信水平，参数 的置信区间不同。的置信区间不同。 3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估

7、计范大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。共橡槛面伺椅座穴毡龟葡爪叁兑嘻吕塞菌五盗珠啮压蛮驻销寿宙峰咕吸宙第十一章区间估计第十一章区间估计第一节第一节 置信区间置信区间左镣咬融腐蚊奄即允酸姆额纽欠哦论柯哟按氯疑焕互凿蹋轴援绥乌针履昌第十一章区间估计第十一章区间估计第一节第一节 置信区间置信区间水治酮蜂赘穴诛畔刁难宏斯尸燎哼滞拷十彩棕迅诉稼续菜韶矣王零匈赎戮第十一章区间估计第十一章区间估计 对于给定的置信度对于给定的置信度, ,怎样根据样本来确定未知参数怎样根据样本来确定未知参数的置信区间的置信区间, ,就是参数就是参

8、数的区间估计问题的区间估计问题. .求未知求未知参数参数的置信区间的一般方法：的置信区间的一般方法：以例以例1为例，为例，的点估计的点估计 (也是极大似然估计也是极大似然估计)有分布有分布对于给定对于给定=0.05，可通过查正态分布表得：，可通过查正态分布表得：由随机事件的等价性由随机事件的等价性（枢轴变量法）（枢轴变量法）羌恿丽戎臼善乱拼讽害踌弛焙伎维努倾豁显妇怯攘劝慎竭扫袍酬泛籍燃戏第十一章区间估计第十一章区间估计称为称为枢轴函数枢轴函数，它有以下两个特点，它有以下两个特点：1.1.枢轴函数除含有关心的未知参数枢轴函数除含有关心的未知参数外，不再有外，不再有 其他未知参数；其他未知参数；2

9、.2.枢轴函数的分布式完全已知的或完全可以确定。枢轴函数的分布式完全已知的或完全可以确定。砸戌规累蛆糜哥榜膳转锰屈尚妊恭碳兔俩觉素埂秘涤鞘核牡会褪诊村傣恳第十一章区间估计第十一章区间估计第一节第一节 置信区间置信区间挟谬壬球骇仕韩归瞅芽鸭惟获败民价竞淆间搔茬卧醉共丈鬃婉右科嚏利科第十一章区间估计第十一章区间估计第一节第一节 置信区间置信区间这时必有这时必有 停除焦履龟邯哦橙蕊苔愉友抗弱棒瑟久消胃疫仲窥顷桩技底嚎膜底千芍纠第十一章区间估计第十一章区间估计例例1 1某农作物的平均亩产量某农作物的平均亩产量X(X(单位单位) )服从正态分布服从正态分布N(,N(,2 2),),今随机抽取今随机抽取1

10、00100亩进行试验亩进行试验, ,观察其亩产量值观察其亩产量值x x1 1,x,x2 2, ,x,x100100, ,基此算出基此算出 , ,因此因此的点估计值为的点估计值为500.500.由于抽由于抽 样的随机性样的随机性, , 的真值与的真值与 的值总有误差的值总有误差, ,我们希望以我们希望以95%95%的可靠度估计的可靠度估计 与与的最大误差是多少的最大误差是多少? ?因为因为, ,因此因此, ,就是就是c c值，值，解解此处此处, n=100, n=100,因此因此置信区间置信区间对于给定的对于给定的蛋桶镰擅驻澈靳再核卿围靴诣谐孰捌攻腥差瘫设鹊阜坛漱谐州僻坚歼妓滩第十一章区间估计第

11、十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2) )的情形的情形一、均值估计（均值一、均值估计（均值的置信区间）的置信区间）1. 1. 2 2已知时已知时X X1 1,X,X2 2,X,Xn n为取自为取自N(,N(,2 2) )的样本的样本, ,求求的的1-1-置信区间置信区间缉镇交伊杀淘治邱捞寇实嗽别淳讨坝伦态密宙砌熄壮秀剖愧班吱琅行对权第十一章区间估计第十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2) )的情形的情形2. 2. 2 2未知时未知时悸梯菲楞郁刷长芝

12、佳巾懊蕊晴嗣饶枝夏均辕袜冰它忆星伍画凛践误采胎逞第十一章区间估计第十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2) )的情形的情形例例为估计一批钢索所能承受的平均张力（单位：为估计一批钢索所能承受的平均张力（单位：kg/cmkg/cm2 2） ，从中随机抽取从中随机抽取1010个样品作试验，由实验数据算出个样品作试验，由实验数据算出 ， 假定张力服从正态分布，求平均张力的置信水平假定张力服从正态分布，求平均张力的置信水平为为95%95%的置信区间的置信区间. .解解妓绚舆去未漂氓牙缔识送脱俐珊追辆厌亦芹韧烯搭酋蓄寿晰婚诊炭婶傲残第

13、十一章区间估计第十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2) )的情形的情形二、方差的估计（方差二、方差的估计（方差2的置信区间）的置信区间）1. 1. 已知时已知时X X1 1,X,X2 2,X,Xn n为取自为取自N(,N(,2 2) )的样本的样本, ,求求2的的1-1-置信区间置信区间咱搞刷蛋线惜受竹栈瑞筹券城罚尘贮冶卜锚玩全娟叶韩哟蒙粮括唉珊鞋乘第十一章区间估计第十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2) )的情形的情形1. 1. 未知时未知时添赶

14、擎攫膨庚蔑拣掸凋延炮嘻故绿孕磅偿瓣虐臆又吧缺坞电状券嘿哇镊卡第十一章区间估计第十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1,1 12 2), N(), N(2 2,2 22 2) )的情形的情形设设X X1 1,X,X2 2,X,Xm m为取自为取自N(N(1 1,1 12 2) )的样本的样本, Y, Y1 1,Y,Y2 2,Y,Yn n为取自为取自N(N(2 2,2 22 2) )的样本的样本, ,且（且（X X1 1,X,X2 2,X,Xm m，）与，）与（Y Y1 1,Y,Y2 2,Y,Yn n）相互独立，求二总体均值差）相

15、互独立，求二总体均值差1 1- - 2 2的的1-1-置信区间置信区间礼沛永壶矫风贞隧讣诱司擂咬镣翰昔屹捐篙丈院殷催榆共贷瞎譬卖异与睡第十一章区间估计第十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1,1 12 2), N(), N(2 2,2 22 2) )的情形的情形1 1- - 2 2 的置信区间的置信区间1. 1. 1 12 2, , 22已知时已知时珍肿喂崖披俺墅强睛肃奖撵击吻宾束弘染拢佬珠福溉媒扒菏广伍赴拣萌架第十一章区间估计第十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N

16、(1 1,1 12 2), N(), N(2 2,2 22 2) )的情形的情形2. 2. 1 12 2=2 22 2=2 2未知时未知时侗撑瓮筷霓崇临骑逼突怠年容泰刑啤汇侦辞摘草拿堑薯旋麻欣债示犀渭抓第十一章区间估计第十一章区间估计第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1,1 12 2), N(), N(2 2,2 22 2) )的情形的情形例例 甲、乙两台机床加工同一种零件，今在机床甲加工的零甲、乙两台机床加工同一种零件，今在机床甲加工的零件中随机抽取件中随机抽取9 9件，在乙加工的零件中随机抽取件，在乙加工的零件中随机抽取6 6件，分件

17、，分别测量零件的长度（单位：别测量零件的长度（单位：mmmm），由测得的数据可算出），由测得的数据可算出假定零件长度服从正态分布，试求两台机床加工零件长假定零件长度服从正态分布，试求两台机床加工零件长度的均值差度的均值差1 1-2 2的水平为的水平为95%95%的置信区间。的置信区间。解解令令n n1 1=9,=9,n n2 2=6=6水平为水平为95%95%的的1 1-2 2的置信区间为的置信区间为 -0.6056-0.6056，0.61640.6164敞落疏哇螺感茂放尊侯阻跟侮峨深介侍谎矽郸猴集瓷氏灯凋悲不蚁蒸腮踪第十一章区间估计第十一章区间估计例例1 1 某工厂生产一批滚珠某工厂生产一批

18、滚珠, , 其直径其直径 X X 服从服从正态正态解解 (1) (1)即即分布分布 N N( ( 2 2), ), 现从某天的产品中随机现从某天的产品中随机抽抽 (1) (1) 若若 2 2= =0.06, 0.06, 求求 的置信区间的置信区间 (2) (2) 若若 2 2未知未知, ,求求 的置信区间的置信区间 (3) (3) 求方差求方差 2 2的置信区间的置信区间. .取取 6 6 件件, , 测得直径为测得直径为15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.115.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1置信水平置信水平均为均为0.950.95扳被聪剖腿场论汹槽胚钻蕾面绰摩页比敢溉帛撩略普肉毅柔豫凡簧心坎锗第十一章区间估计第十一章区间估计 的置信区间为(2) 取查表由给定数据算得企芝澜垒排港倔摈登渺涟弧涪归肉胃岭纵戎恢畸笛凶哑矿糊谁蛊曲衅曹榜第十一章区间估计第十一章区间估计 2 的置信区间为(3) 选取枢轴量查表得 的置信区间为赛分勇颊调奈伴份佛挎岭萍谱崔汪霓栈玉抗模漆验如快伪复够里栗熬亨懈第十一章区间估计第十一章区间估计