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1、 高等数学（下）高等数学（下）高高 等等 数数 学学 ( (下下) ) 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院上册附录上册附录向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 高等数学（下）高等数学（下）补充：空间解析几何补充：空间解析几何(部分部分)第七节第七节 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线1 1 点法式方程点法式方程2 2 一般方程一般方程3 3 截距式方程截距式方程1、空间平面方程、空间平面方程 高等数学（下）高等数学（下）2、空间直线方程、空间直线方程1 1 一般方程一般方程2 2 对称式方程对称式方程 高等数学（下）高等数学（下）3 3 直线的参数方程直线的参
2、数方程( ( 为参数为参数) )4 4 直线的两点式方程直线的两点式方程 高等数学（下）高等数学（下）一、解析几何的基本问题:1.已知空间图形,建立和研究它的代数方程. 利用代数的优点：精准，易推导。2.已知代数方程,想象出它的几何图形. 利用几何的优点：直观。 高等数学（下）高等数学（下）根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解 高等数学（下）高等数学（下）22显函数形式显函数形式 33参数方程形式参数方程形式 ( (不必掌握不必掌握
3、) ) 高等数学（下）高等数学（下）4、空间曲线、空间曲线1 1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2 2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 高等数学（下）高等数学（下）二二. . 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程例3 螺旋线 高等数学（下）高等数学（下） 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解 高等数学（下）高等数学（下）螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高
4、度螺距螺距 高等数学（下）高等数学（下）例4 将下列曲线化为参数式 高等数学（下）高等数学（下）播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面. .这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的柱面的准线准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的面的母线母线. 高等数学（下）高等数学（下） 特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，而准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。 设柱面的母线平行于 轴，准线 是 平面上的一曲线 ，求柱面方程。 高等数学（下）高等数学（下） 只含 而缺 的方程 表示
5、母线平行于 轴，准线是 的柱面； 类似地，只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面； 只含 而缺 的方程 表示母线平行于 轴，准线是 的柱面。缺变量的三元方程是柱面，它平行于没写出的坐标轴。缺变量的三元方程是柱面，它平行于没写出的坐标轴。缺变量的三元方程是柱面，它平行于没写出的坐标轴。缺变量的三元方程是柱面，它平行于没写出的坐标轴。 高等数学（下）高等数学（下） 例5 指出下列柱面的准线及母线平行于什么坐标轴，并作草图及柱面的名称： (1) ； (2) ； (3) 。 高等数学（下）高等数学（下）四四. . 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影曲线同理: 高等数学（下
6、）高等数学（下）曲线 高等数学（下）高等数学（下）如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面 高等数学（下）高等数学（下）例 求球面 与圆柱面 的交线分别在XOY坐标面和ZOX坐 标面上的投影方程(YOZ坐标面呢?) 高等数学（下）高等数学（下）解答： 高等数学（下）高等数学（下）图(a=2)： 高等数学（下）高等数学（下）图2：在第一卦限的部分图形如下：在第一卦限的部分图形如下： 高等数学（下）高等数学（下）例 求球面 与旋转抛物面 的交线分别在XOY坐标面和YOZ坐标 面上的投影曲线，并说明是什么曲线(ZOX坐标面呢?) 高等数学（下）
7、高等数学（下）解答： 高等数学（下）高等数学（下）五、旋转曲面五、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放 高等数学（下）高等数学（下）旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入特殊情况：坐标平面上的平面曲线绕该坐标平面上的某坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面. 高等数学（下）高等数学（下）将将 代入代入得方程得方程也就是也就是 不动不动 高等数学（下）高等数学（下） (1) 曲线 ，绕 轴旋转一周所成的旋转曲面 的
8、方程，只要在方程 中，作如下改动 ，可得旋转曲面 的方程 高等数学（下）高等数学（下） (2) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程 高等数学（下）高等数学（下） (3) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程 高等数学（下）高等数学（下） (4) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程 高等数学（下）高等数学（下） (5) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面
9、 的方程 高等数学（下）高等数学（下） (6) 曲线 ，绕 轴旋转一周 所成的旋转曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改动，可得旋转曲面 的方程含平方和的三元方程是旋转面方程，另一个变量是旋转轴。含平方和的三元方程是旋转面方程，另一个变量是旋转轴。含平方和的三元方程是旋转面方程，另一个变量是旋转轴。含平方和的三元方程是旋转面方程，另一个变量是旋转轴。以上结论反之也成立。以上结论反之也成立。 高等数学（下）高等数学（下）解解 圆锥面方程是圆锥面方程是绕绕 z 轴旋转而成的旋转轴旋转而成的旋转曲面曲面 高等数学（下）高等数学（下）例例8 求顶点在原点，母线和求顶点在原点，母线和 z 轴正向夹角保
10、持轴正向夹角保持的锥面方程的锥面方程.解解 该锥面可看作在该锥面可看作在 平面上过原点且与平面上过原点且与 轴正向夹角轴正向夹角为为 的直线绕的直线绕 轴旋转一周所得的旋转曲面轴旋转一周所得的旋转曲面. 该直线方该直线方程为程为 故得故得此直线绕此直线绕 轴旋转而成的锥面方程为轴旋转而成的锥面方程为两边平方得两边平方得 即为所求。即为所求。 高等数学（下）高等数学（下） 例9 下列方程所对应的曲面是如何形成的，名称是什么，作出草图：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 高等数学（下）高等数学（下）曲线曲面的4重点：4柱面：缺变量的三元方程，它平行于没写出柱面：
11、缺变量的三元方程，它平行于没写出 变量的坐标轴。变量的坐标轴。4旋转面：含至少两变量的平方和的三元方程，旋转面：含至少两变量的平方和的三元方程， 旋转轴是以另一个变量命名的轴。旋转轴是以另一个变量命名的轴。4三坐标面上的投影就是三视图，用来想象空三坐标面上的投影就是三视图，用来想象空 间曲线形状。在某坐标面上的投影方程即消间曲线形状。在某坐标面上的投影方程即消 去变量后，只剩下该坐标面上的变量。去变量后，只剩下该坐标面上的变量。4曲线的参数方程是三坐标用一个变量的函数曲线的参数方程是三坐标用一个变量的函数 表示。要求函数能求导，积分。注意三角函表示。要求函数能求导，积分。注意三角函 数的使用。
12、数的使用。 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第八节第八节 常用二次曲面图形常用二次曲面图形 高等数学（下）高等数学（下）二次曲面的定义定义: 形为的曲面称为二次曲面二次曲面. 高等数学（下）高等数学（下）二次曲面的分类大致说来：4从xy=1是双曲线谈起，正交变换消去所有混合项；4配方法(或称平移)消去一次项；4再除去那些4剩下将要学的6种经典的二次曲面： 高等数学（下）高等数学（下）二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：
13、用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容第八节第八节 二次曲面二次曲面 高等数学（下）高等数学（下）（一）椭球面一）椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：系数特点：常数项不为零且负，二次项系数全正。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数全正。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数全正。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数全正。 高等数
14、学（下）高等数学（下）椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆. 高等数学（下）高等数学（下）椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆. 高等数学（下）高等数学（下）球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为考考虑虑如如何何利利用用特特殊殊情情况况？ 高等数学（下）高等数学（下
15、） 高等数学（下）高等数学（下）（二）双曲面（二）双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.系数特点：常数项不为零且负，二次项系数二正一负。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数二正一负。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数二正一负。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数二正一负。 高等数学（下）高等数学（下）与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴
16、与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合. 高等数学（下）高等数学（下）双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线. 高等数学（下）高等数学（下）截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线. 高等数学（下）高等数学（下）单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相
17、交直线. 高等数学（下）高等数学（下）双叶双曲面双叶双曲面xyo系数特点：常数项不为零且负，二次项系数一正二负。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数一正二负。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数一正二负。系数特点：常数项不为零且负，二次项系数一正二负。 高等数学（下）高等数学（下）系数特点：常数项为零，二次项系数一正二负或二正一负。系数特点：常数项为零，二次项系数一正二负或二正一负。系数特点：常数项为零，二次项系数一正二负或二正一负。系数特点：常数项为零，二次项系数一正二负或二正一负。锥面锥面锥面可看成由单锥面可看成由单叶双曲面瘦身到叶双曲面瘦身到双叶双曲面的过双叶双曲面的过渡状态。渡状态
18、。右端常数项由正至零再到负右端常数项由正至零再到负右端常数项由正至零再到负右端常数项由正至零再到负 高等数学（下）高等数学（下）（三）抛物面（三）抛物面（ 与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项同号。系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项同号。系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项同号。系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项同号。 高等数学（下）高等数学（下）与平面与平面 的交线为椭
19、圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线 高等数学（下）高等数学（下）与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论. 高等数学（下）高等数学（下）zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下： 高等数学（下）高等数学（下）特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（
20、由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上. 高等数学（下）高等数学（下）（ 与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项异号。系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项异号。系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项异号。系数特点：二次项系数有一项为零，剩下两项异号。 高等数学（下）高等数学（下）目录41、椭球面42、双曲面43、抛物面44、圆锥面45、常见
21、柱面 高等数学（下）高等数学（下） 1、椭球面方程方程：其中为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）椭球面的图形 高等数学（下）高等数学（下）2、单叶双曲面方程方程：其中：为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）单叶双曲面图形 高等数学（下）高等数学（下）3、双叶双曲面方程方程：其中：为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）双叶双曲面的图形 高等数学（下）高等数学（下）4、椭圆抛物面方程方程：其中：为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）椭圆抛物面的图形 高等数学（下）高等数学（下）5、双曲抛物面(马鞍面)方程方程：其中：为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）双曲抛物面（马鞍面）图形 高等数
22、学（下）高等数学（下）6、圆锥面方程方程：其中：为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）圆锥面图形 高等数学（下）高等数学（下）7、圆柱面方程方程：其中：为正常数。 高等数学（下）高等数学（下） 圆柱面图形 高等数学（下）高等数学（下）圆柱面方程（2）方程：其中：为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）圆柱面图形（2） 高等数学（下）高等数学（下）8、双曲柱面方程方程：其中：为正常数。 高等数学（下）高等数学（下）双曲柱面图形 高等数学（下）高等数学（下）研究空间曲面的研究空间曲面的两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（例：讨论
23、（例：讨论平面平面、直线直线、柱面柱面、旋转曲面旋转曲面）（例：讨论（例：讨论投影曲线投影曲线、截痕法截痕法，按系数归属某类按系数归属某类）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程记住二次曲面的形状，游击战记法记住二次曲面的形状，游击战记法 高等数学（下）高等数学（下）补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空空间间立立体体曲曲面面 高等数学（下）高等数学（下）例例10解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 高等数学（下）高等数学（下）例例11解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为一个圆一个圆, 高等数学（下）高等数学（下）上例 求曲面与曲面所围立体区域分别在XOY坐标面和YOZ坐标面上的投影例12 求曲线 分别在坐标面 面上的投影 高等数学（下）高等数学（下）解答：被撞弯的轮胎被撞弯的轮胎被撞弯的轮胎被撞弯的轮胎
