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1、下下下下回回回回停停停停第一节第一节 一维随机变量一维随机变量 及其分布及其分布(3)五、五、连续型随机变量连续型随机变量六、典型的连续型六、典型的连续型 随机变量及其分布随机变量及其分布五、连续型五、连续型五、连续型五、连续型随机变量随机变量随机变量随机变量 定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负可积函若存在非负可积函 则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量,且称且称p(x) 为密度函为密度函注注 此定义中涉及三个名词此定义中涉及三个名词: 连续型随机变量连续型随机变量, 1.连续型随机变量及其连续型随机变量及其密度函数密度函数 数数 p(x) ( x R), 使得使得X 的分
2、布函数的分布函数数数,或概率密度或概率密度. 密度函数密度函数,分布函数分布函数.设设X为连续型随机变量为连续型随机变量, p(x) 为为X的密度函数的密度函数,(1) (2) (3) (4) F(x)为为X的分布函数的分布函数 ,则则2 2. . . .密度函数的性质密度函数的性质密度函数的性质密度函数的性质前前3个性质显然成立个性质显然成立,下面只给出第下面只给出第4个个性质的证明性质的证明证证证证为什么等于零？为什么等于零？变上（下）限积变上（下）限积分连续分连续1 性质性质4说明说明对于任意可能值对于任意可能值c ,连续型随机连续型随机2连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变
3、量的概率与区间的开闭无关A = A = 3注注变量取变量取 c 的概率等于零的概率等于零.设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为例例 1解解六、典型的连续型随机变量的分布六、典型的连续型随机变量的分布六、典型的连续型随机变量的分布六、典型的连续型随机变量的分布1 1. .均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布(1) 定义定义分布函数为分布函数为:(2) 均匀分布的性质均匀分布的性质 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现 X 的分布密度函数为的分布密度函数为设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3”,解解即即 A= X 3 .例例
4、例例2 2对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率.因而有因而有设设Y 表示表示对对 X进行进行3次独立观测中次独立观测中, 观测值大于观测值大于则则3的次数的次数,(1)定定义义相应的分布函数为相应的分布函数为:2 2. .正态分布正态分布正态分布正态分布( ( ( (高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布) ) ) )(2) (2) 正态概率密度函数的特性正态概率密度函数的特性正态概率密度函数的特性正态概率密度函数的特性xyOx = xyOx = x = 正态分布的应用正态分布的应用: : 正态分布是概率论中最重要的分布正态分
5、布是概率论中最重要的分布, 例例如测量如测量误差误差,随机噪声随机噪声, 学生成绩学生成绩,产品的尺产品的尺寸等寸等, 大量的随机现象可以用正态分布描述大量的随机现象可以用正态分布描述.正态分布与标准正态分布的关系正态分布与标准正态分布的关系: :标准正态分布的性质标准正态分布的性质:1)2)可得可得3)4)5)解解例例4解解例例3解解解解 本例给出了当随机变量本例给出了当随机变量X服从正态分布服从正态分布例例例例5 5时时, 如如果我们要计算关于它的概率问题果我们要计算关于它的概率问题,则则可以转化为标可以转化为标准正态分布进行计算准正态分布进行计算.相应的分布函数为相应的分布函数为3. .
6、指数分布指数分布定义定义 指数分布也是常用分布之一指数分布也是常用分布之一,常用它来描常用它来描述各种述各种“寿命寿命”问题问题,如电子元器件的寿命如电子元器件的寿命,生生物物的寿命的寿命.设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为X 的分布函数为的分布函数为解解 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时小时以以上的概率上的概率. (2)有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上
7、的概率. 例例例例6 6指数分布的重要性质指数分布的重要性质 : “无记忆性无记忆性”.内容小结内容小结内容小结内容小结2. 常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布( (高斯分布高斯分布) )指数分布指数分布解解例例例例1-11-1备用题备用题例例例例1-21-2设设(2) 若是若是X的密度函数的密度函数,求出求出X的分布函数的分布函数.解解 综上所述综上所述或或例例例例 2-12-1有实根的概率有实根的概率.则有实根的概率为则有实根的概率为解解例例例例 5-15-1 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制百分
8、制), 服从正态分布，平均成绩为服从正态分布，平均成绩为 72分，分，96分以上占考生总数的分以上占考生总数的2.3%, 试求考生的外试求考生的外语成绩在语成绩在 60分至分至 84分之间的概率分之间的概率.解解依依题意，考生外语成绩题意，考生外语成绩 X查表，查表，知知查表，得查表，得例例例例5 5- -2 2解解 例例例例5-35-3公共汽车车门的高度是按成年男子与门楣公共汽车车门的高度是按成年男子与门楣碰头的概率不大于碰头的概率不大于0.01设计的设计的,设成年男子身高设成年男子身高(单单解解 所以所以,车门最低高度应为车门最低高度应为184厘米厘米.例例例例5-45-4从甲地飞往乙地的
9、航班从甲地飞往乙地的航班,每天上午每天上午10:10起起飞飞,飞行时间飞行时间X服从均值是服从均值是4h,标准差是标准差是20min的正的正态分布态分布.(1) 该机在下午该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少以后到达乙地的概率是多少?(2) 该机在下午该机在下午2:20以前到达乙地的概率是多少以前到达乙地的概率是多少?(3) 该机在下午该机在下午1:50至至2:30之间到达乙地的概率之间到达乙地的概率是是多少多少?解解 (1) 所求概率为所求概率为(2) 所求概率为所求概率为(3) 所求概率为所求概率为例例例例6-16-1某仪器装有某仪器装有3支独立工作的同型号电子元支独立工作的同型号电子元件件,其寿命其寿命(单位单位:h)都服从同一指数分布都服从同一指数分布,密度函密度函数数为为试求在仪器使用的最初试求在仪器使用的最初200h内内,至少有一个电子元至少有一个电子元解解
