《现代数值计算》课件2.7三次样条插值

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1、第二章 插值法引例引例2.7.1 三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念一一 背景背景二、样条函数的定义二、样条函数的定义 例例2.13 定理定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一）次样条插值函数存在唯一）2.7.2 三弯矩法三弯矩法边界条件边界条件1 （固支边界）（固支边界）边界条件边界条件2（简支边界）（简支边界）边界条件边界条件3（周期边界）（周期边界）例例2.14,2.15 2.7.3 m关系式关系式2. 7. 4 三次样条插值函数的性质三次样条插值函数的性质2.7 三次样条插值三次样条插值第二章 插值法引例引例: y=sin x 在区间在区间0， 上的插值逼近上的插值逼近 1.

2、 1. 二次插值二次插值 2. 两点埃尔米特插值两点埃尔米特插值 3. 分段埃尔米特插值分段埃尔米特插值x 0 /2 Sin x 010Cos x 101x 0 Sin x 00Cos x 11 第二章 插值法高次插值出现龙格现象高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值（牛顿插值）插值）Hermite插值插值分段分段插值插值但分段线性插值在节点处不一定光滑但分段线性插值在节点处不一定光滑分段分段Hermite插值插值但但导数值导数值不容易提取（找到）不容易提取（找到）为得到光滑度更高、应用方便的插值函数为得到光滑度更高、应用方便的插值函数, ,我们引入我们引入样条插样条插值函数值函数。“样条样条

3、”名词来源于工程中船体、汽车、飞机等的名词来源于工程中船体、汽车、飞机等的外形设计：给出外形曲线上的一组离散点外形设计：给出外形曲线上的一组离散点( (样点样点) )，如，如(xi, yi)， i = 0, 1, 2, , n, 将有弹性的将有弹性的细长木条细长木条或或钢条钢条( (样条样条) )在样点在样点上固定，使其在其它地方自由弯曲，这样样条所表示的曲线，上固定，使其在其它地方自由弯曲，这样样条所表示的曲线，称为称为样条曲线样条曲线( (函数函数) )。一一 背景背景2.7.1 三次样条插值函数的概念三次样条插值函数的概念第二章 插值法x=-5:5;y=1./(1+x.2);plot(x

4、,y,x,y,o)x=-5:5;y=1./(1+x.2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,b,x,y,ro)被插值被插值函数函数: : -5 x 53/18第二章 插值法x=0, 0.0155, 0.1485, 0.3493, 0.6480, 1.0547, 2.0;y=0, 0.1242, 0.3654, 0.4975, 0.5472, 0.4781, 0;n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,o)第二章 插值法相

5、同数据相同数据3 3次样条插值与次样条插值与Lagrange插值效果比较插值效果比较Cubic Spline Interpolation Lagrange Interpolation第二章 插值法 下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函数下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函数 在数学上，在数学上，三次样条曲线三次样条曲线表现为近似于一条分段的三次多表现为近似于一条分段的三次多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。二、样条函数的定义二、样条函数的定义 定义定义 2.8 （三三次样条函数）次样条函数）在每一个小区间在每一个小区间上

6、上是次数是次数多项式。多项式。，即具有连续的一阶，二阶导数。，即具有连续的一阶，二阶导数。满足下述条件：满足下述条件：如果函数如果函数 设有对设有对a,b的剖分的剖分的一个的一个3次样条函数。次样条函数。为关于剖分为关于剖分则称则称第二章 插值法定义定义2.8*给定区间给定区间a , b上的一个分划上的一个分划: a = x0 x1 xn = b已知已知 f(xj) = yj (j = 0,1,n), 如果如果满足满足: (1) S(x)在在 xj，xj+ 1上为三次多项式上为三次多项式; (2) S”(x)在区间在区间a，b上连续上连续; (3) S(xj) = yj ( j = 0,1,n

7、). 则则称称 S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.第二章 插值法注：注：三次样条与分段三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于插值的根本区别在于S(x)自自身光滑身光滑，不需要知道，不需要知道 f 的导数值（除了在的导数值（除了在2个端点可能需要）个端点可能需要）；而；而Hermite插值依赖于插值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)第二章 插值法第二章 插值法插值条件插值条件: S(xj) = yj ( j = 0,1,n) n+1个个连续性条件连续性条件: S(xj+0) =S(xj-0) ( j = 1,n-1) S(xj+

8、0) =S (xj-0) ( j = 1,n-1) S (xj+0) =S (xj-0) ( j = 1,n-1) 3( n-1)个个共可建立方程共可建立方程(4n-2)个！个！方程数少于未知数个数方程数少于未知数个数 ？第二章 插值法 共有共有个条件个条件,要唯一确定要唯一确定 ,还必须附加还必须附加2 2个条件个条件这两个条件常在插值区间这两个条件常在插值区间 a,ba,b 的边界点的边界点a,ba,b处给出，称为处给出，称为边界条件边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：。边界条件的类型很多，常见的有：附加附加2个条件，个条件，有多种给法有多种给法. .最常见的给法是最常见的给法是: :

9、(a)固支边界固支边界 (b)简支边界简支边界 特别地特别地, , ( (自然边界自然边界, ,三次自然样条三次自然样条););(1)(1)(2)(2) 注：注：一般不取一端是一阶导数而另一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数一端是二阶导数。第二章 插值法第第3种边界条件（周期边界条件）：种边界条件（周期边界条件）： 注意：上述注意：上述给出的给出的 个条件是问题本身隐含的，个条件是问题本身隐含的，和和共共 个独立条件须提供，故个独立条件须提供，故 节节点三次样插值点三次样插值问题只有问题只有 个自由度个自由度.(.(请与分段三次请与分段三次HermiteHermite插值比较插值比较!)!

10、)第二章 插值法且且 (1)如果如果是定义在是定义在上函数且已知上函数且已知函数表函数表 定理定理2.8（3 次样条插值函数存在唯一次样条插值函数存在唯一）唯一唯一3 3次样条插值函数次样条插值函数, ,且满足且满足 ( (2) )给定边界条件给定边界条件，则，则于于存在存在第二章 插值法例例 2.13 已知 f (1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1.求1，1 上的三次自然样条(满足自然边界条件). 解解 设 则有: S(-1)= a1+b1c1+d1=f(-1)=1, S(0)=d1= f(0)=0, S(1)=a2+b2+c2+d2= f (1) =1, S(0-0)

11、= d1=S(0+0)=d2, S-(0)= c1= S+(0)= c2, S-(0)=b1= S+(0)=b2 由自然边界条件: S(0)= 6a1+2b1=0, S(1)= 6a2+2b2=0 解方程组,得 a1=-a2=1/2, b1=b2=3/2, c1=c2=d1=d2=0第二章 插值法问题的解 x=-1,0,1;y=1,0,1;f1=inline(0.5*x.3+1.5*x.2);f2=inline(-0.5*x.3+1.5*x.2);t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,o,t1,t2,p1,p2,r)Hold on,

12、 plot(t1,t2,t1,t2.2)y= x2第二章 插值法三次样条插值函数三次样条插值函数 可以有多种表达式，可以有多种表达式，有时用二阶导数值有时用二阶导数值表示时，使用更方便。表示时，使用更方便。 在力学上解释为细梁在力学上解释为细梁在在 处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用有关，故称用 表示表示 的算法为的算法为三弯矩算法三弯矩算法。2.7.2 构造三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的三弯矩法三弯矩法 -三次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数的二阶导数表示第二章 插值法由两点拉格朗日插值由两点拉格朗日插值可表示为可表示

13、为参数参数对对上上式积分式积分, ,得得再积分再积分, ,得得第二章 插值法 由条件由条件，确定积分常数，确定积分常数第二章 插值法 将将上式上式代入代入( (2.48) )得到得到三三次样条插值函数的表达式次样条插值函数的表达式由上讨论可知由上讨论可知,只要确定只要确定Mj (j=0,1,n)这这n+1个值个值, 就就可定出三可定出三次次样条插值函数样条插值函数S(x)。为了确定为了确定Mj (j=0,1,n),对对S(x)求导得求导得第二章 插值法第二章 插值法第二章 插值法（2.55） 上式两边同乘以上式两边同乘以 , ,即得方程即得方程 若记若记 （2.56）第二章 插值法所得方程可简

14、写成所得方程可简写成（2.58） 即即 （2.57） 三弯矩方程三弯矩方程第二章 插值法 这是一个含有这是一个含有n+1+1个未知数、个未知数、n-1-1个方程的线性方个方程的线性方程组程组. .要完全确定要完全确定Mi (i=0,1,n)的值还需要补充两的值还需要补充两个个条件条件, ,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间值区间 a, ,b 的两个端点处的边界条件来补充。的两个端点处的边界条件来补充。第二章 插值法由由(2.53),得得由由(2.54),得得(1) 若若已知，已知，则令则令j=0，令令j=n，边界条件边界条件1 （固支边界）（

15、固支边界）-第二章 插值法对角占优的三对角带状矩阵第二章 插值法(2) 若若已知，已知，代入方程代入方程(2.58)，只只需解需解n-1个方个方程程边界条件边界条件2（简支边界）（简支边界） -对角占优的三对角带状矩阵第二章 插值法 (3) 对第三类边界条件：对第三类边界条件：两边同除以两边同除以( j=n)( j=n)( j=0)边界条件边界条件3（周期边界）（周期边界） -第二章 插值法令令得得又由又由 , 三弯矩方程可写为三弯矩方程可写为第二章 插值法小结：在三个边界条件下的三弯矩方程小结：在三个边界条件下的三弯矩方程第二章 插值法说明：说明： （1） 方程组方程组(2.59)(2.61

16、)系数矩阵都是严格对角占优系数矩阵都是严格对角占优矩矩 阵，因此方程组阵，因此方程组(2.59)(2.61)有唯一解有唯一解 （2）Mj 在力学上为细梁在在力学上为细梁在xj处处截面截面处的处的弯矩弯矩, , 且弯矩与且弯矩与相邻相邻的两个弯矩有关的两个弯矩有关, 故方程组故方程组(2.59)(2.61)称为称为三弯矩三弯矩方方程。程。 Mj 在数学上称为在数学上称为曲率曲率。 实际上实际上,方程组方程组(2.59)(2.61)的系数矩阵是一类特的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。类方程组的解法

17、和性质。 第二章 插值法.第二章 插值法第二章 插值法第二章 插值法在本例中，将代入整理后可得：故所求三次样条插值函数为：第二章 插值法例2.15已知的函数值如下：x1245f (x)1342在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件 解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定 的方程组形如（2.60）所示， 由已知边界条件,有 则得求解 的方程组为 第二章 插值法根据给定数据和边界条件算出 与 第二章 插值法则得方程组 解得 又 即得S(x)在各子区间上的表达式,由式（2.51）知,S(x)在 上的表达式为代入式(2.50)将 代入上式化简后得 第二章 插值法同理S(x)在

18、 上的表达式为 S(x)在 上的表达式为 第二章 插值法故所求的三次样条插值函数S(x)在区间 上的表达式为 第二章 插值法练习练习 设在节点设在节点 上，函数上，函数 的值为的值为 ， 。 试求三试求三次样条插值函数次样条插值函数 ，满足条件，满足条件 解解 （1）是固支边界，先求，再求解，可知）是固支边界，先求，再求解，可知第二章 插值法对第一类边界条件对第一类边界条件代入三次样条插值函数的表达式（代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有），经化简有第二章 插值法（）是简支条件，不过要注意（）是简支条件，不过要注意 的不同。由于的不同。由于 和和 已已知，故可以化简得知，故可以化

19、简得代入三次样条插值函数的表达式（代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有），经化简有第二章 插值法由此解得由此解得 。将将 代入三次样条插值函数的表达式（代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经），经化简有化简有第二章 插值法练习练习 已知离散点: (1.1, 0.4000), (1.2, 0.8000), (1.4, 1.6500), (1.5, 1.8000), 取自然边界条件 M0 = Mn = 0, 构造三次样条插值函数，并计算 f(1.25).解解 n = 3. h0= x1- x0 = 0.1, h1= 0.2, h2=0.1,因此，分段的三次样条插值函数为,由（2

20、.50）由(2.56) 计算得第二章 插值法 上述三次样条插值的上述三次样条插值的基本思想和特点是基本思想和特点是： 先利用一阶导数先利用一阶导数 在内节点在内节点 上的连续性上的连续性以及边界条件以及边界条件, 列出确定二阶导数列出确定二阶导数 的线性方的线性方程组（力学上称为程组（力学上称为三弯矩方组三弯矩方组），由此解出），由此解出 ，再用，再用 来表达来表达S(x)。实际上，还可以通过别的途径来求取三次样条插值函数。实际上，还可以通过别的途径来求取三次样条插值函数。如：可以先利用二阶导数在内节点上的连续性及边界条件，列如：可以先利用二阶导数在内节点上的连续性及边界条件，列出确定一阶导数

21、出确定一阶导数 的线性方程组（力的线性方程组（力学上称为三转角方程组），由此解出学上称为三转角方程组），由此解出 ，再用，再用 表达表达 S(x),在在某些情况下，这种方法比前者更简单适用。某些情况下，这种方法比前者更简单适用。 第二章 插值法2.7.3 m关系式关系式 用一阶导数表示的样条插值函数 给定插值点 (xi, yi), 设S (xi) = mi, i = 0,1,2, n, 则 xi, xi+1上的三次Hermite插值为 令 hi = xi+1- xi , S(x)C2a, b, 对(2.62)求二阶导数第二章 插值法 令 xi+ = xi+0, 在 xi, xi+1上得到 xi

22、 点的右导数， 同理，在 xi-1, xi 上构造三次样条插值 S(x), 在 xi-1, xi上得点 xi 的左导数，第二章 插值法 三种边界条件：三种边界条件： 第二章 插值法由此可解得由此可解得m1,m2, mn-1 ，从而得，从而得 S(x)的表达式的表达式.（2.66） 对于边界条件对于边界条件(1), 两个方程两个方程则则m1,m2, mn-1满足方程组满足方程组 第二章 插值法 对于边界条件对于边界条件(2),可导出两个方程可导出两个方程: (2.67)第二章 插值法若令若令则（则（2.65）和（）和（2.67）可合并成矩阵形式）可合并成矩阵形式（2.68）可解出可解出从而得从而

23、得 S(x)的表达式的表达式.第二章 插值法由由(2.65)和和(2.6)可解出可解出 ，方程组的矩阵形式为，方程组的矩阵形式为对于边界条件（对于边界条件（3），可得），可得 （2.69）其中其中（2.70）第二章 插值法在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使用三次样条插值函数会得到很好的效果。三次样条插值函数用三次样条插值函数会得到很好的效果。三次样条插值函数 不不仅在内节点处的二阶导数是连续的，而且仅在内节点处的二阶导数是连续的，而且 逼近逼近 具有很好的具有很好的收敛性，也是数值稳定的。下面给出三次样条插值函数的一

24、些重要性收敛性，也是数值稳定的。下面给出三次样条插值函数的一些重要性质。质。2. 7. 4 三次样条插值函数的性质三次样条插值函数的性质第二章 插值法值函数值函数 ,则有估计则有估计式式 定理定理2.9 设函数设函数记记则对任意则对任意满足边界条件（满足边界条件（2.44）或（）或（2.45）的三次样条插）的三次样条插（2.69）其中其中由于误差估计与收敛性定理的证明比较复杂，下面只给出误差估计的结论。由于误差估计与收敛性定理的证明比较复杂，下面只给出误差估计的结论。第二章 插值法 误差估计式（误差估计式（2.69）除可以用于误差估计外）除可以用于误差估计外,它进一步表明，它进一步表明，当当

25、时，在插值区间时，在插值区间 上，对于满足边界上，对于满足边界条件（条件（2.44）或（）或（2.45）的插值函数）的插值函数 ，不仅，不仅 一致收一致收敛于敛于 ，而且，而且 一致收敛于一致收敛于 ， 一致收敛于一致收敛于 。 用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数，点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现象。相应的导数值也收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现象。因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛的应用。因此三次样条在计算

26、机辅助设计中有广泛的应用。第二章 插值法 插值插值 名称名称 插值插值 条件条件 构造构造 方法方法优点优点简便计简便计算方法算方法 缺点缺点L-插值插值先求基函数先求基函数再求插值函数再求插值函数对称对称秦九韶秦九韶算法算法(1)计算量大计算量大(2)数值不稳定、不数值不稳定、不 收敛收敛(Runge现象现象) 本章内容：本章内容：H-插值插值一、一、 同上同上二、利用牛二、利用牛 顿插值顿插值 收敛收敛 同上同上高次有高次有Runge现象现象 分段分段 插值插值 基函数法基函数法收敛收敛 同上同上 光滑性差光滑性差三次样三次样条插值条插值 基函数法基函数法收敛收敛 同上同上 光滑性光滑性 有改进有改进改进方法：列维尔算法、埃特金算法、牛顿法改进方法：列维尔算法、埃特金算法、牛顿法 注：注：分段插值中乍看上去没有构造插值基函数，但实际上线性插分段插值中乍看上去没有构造插值基函数，但实际上线性插值用了线性值用了线性L-L-插值基函数，三次样条插值的基函数可为：插值基函数，三次样条插值的基函数可为：