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1、高三解析几何复习（直线与倾斜角）高三解析几何复习（直线与倾斜角）一、解析几何的基本原理一、解析几何的基本原理(1) 两大基本问题两大基本问题 已知曲线的性质求曲线方程。已知曲线的性质求曲线方程。 已知曲线的方程研究曲线的性质。已知曲线的方程研究曲线的性质。(2) 曲线与方程曲线与方程若方程若方程f(x,y)=0与曲线与曲线C的关系同时满足以下两点：的关系同时满足以下两点：方程方程f(x,y)=0的解所对应的点都在曲线的解所对应的点都在曲线C上；上；曲线曲线C上的点所对应的上的点所对应的(x,y)都是方程都是方程f(x,y)=0的解。的解。此时，我们称方程此时，我们称方程f(x,y)=0 是曲线
2、是曲线C的方程；曲线的方程；曲线C 是是方程方程f(x,y)=0的曲线。的曲线。二、基础知识二、基础知识(1) 两点间距离公式两点间距离公式若点若点A,B的坐标分别为的坐标分别为(x1,y1) 和和(x2,y2)，那么，那么(2) 定比分点公式定比分点公式设点设点P1,P2的坐标分别为的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，为实数，为实数，且且-1，并有，并有 ，则点，则点P的坐标为的坐标为(3) 直线的倾角与斜率直线的倾角与斜率当直线与当直线与x 轴相交时，轴相交时，x 轴绕着交点按逆时针方向旋转轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线到和直线 l 重合时所转的最小正角重合时所转的最小正角叫做
3、叫做 l 的倾斜角。的倾斜角。规定：当规定：当l与与x轴重合或平行时，轴重合或平行时，直线的倾斜角为直线的倾斜角为0。所以，直线的倾斜角的取值范围是：所以，直线的倾斜角的取值范围是：0，) 直线的斜率直线的斜率k 直线的倾角直线的倾角定义式：定义式：k=tg由斜率的定义式，不难得出结论：由斜率的定义式，不难得出结论：(i) 斜率的取值范围是斜率的取值范围是 (，)(ii) 当当= 90时，时，斜率不存在斜率不存在斜率的另两种表示法斜率的另两种表示法(i) 当直线的方程为当直线的方程为Ax+By+C=0时时(ii) 当直线过两点当直线过两点P1 (x1,y1) 和和P2 (x2,y2)时时 已知
4、斜率，求倾斜角已知斜率，求倾斜角(3) 直线的方程直线的方程一般式方程一般式方程 点斜式方程点斜式方程斜截式方程斜截式方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零不同时为零)y-y1=k(x-x1)y=kx+b倾斜角不等于倾斜角不等于90截距式方程截距式方程直线不经过原点，直线不经过原点，且不能垂直或平行且不能垂直或平行于于x轴轴(4) 点与直线位置关系点与直线位置关系点点P (x1,y1) 在直线在直线Ax+By+C=0上的充要条件是上的充要条件是Ax1+By1+C=0点点P (x1,y1) 不在直线不在直线Ax+By+C=0上的充要条件是上的充要条件是Ax1+By1+C0点点P (x1,y1)
5、到直线的距离公式到直线的距离公式(5) 直线与直线位置关系直线与直线位置关系 设有直线设有直线 l1：A1x+B1 y+C1=0 l1 / l2 充要条件充要条件两平行直线两平行直线l1 与与 l2的距离公式的距离公式l2：A2x+B2 y+C2=0 l1 与与 l2 相交相交(ii) 交点由方程交点由方程 确定确定A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0(iii) 两直线夹角公式为两直线夹角公式为注：若有直线斜率不存在，注：若有直线斜率不存在，则利用图形解决夹角问题。则利用图形解决夹角问题。(i) l1 与与 l2 相交的充要条件是相交的充要条件是l1：A1x+B1 y+C1=0l2
6、：A2x+B2 y+C2=0(v) 直线直线l1 l2的充要条件的充要条件k1k2= -1或或k1k2中一个为零，一个不存在。中一个为零，一个不存在。上述充要条件的另一种表述方式：上述充要条件的另一种表述方式： A1A2+B1B2=0(iv) 直线直线l1 到到 l2的角的定义的角的定义直线直线l1 绕着绕着l1与与l2的交点按逆时针方向旋转到和的交点按逆时针方向旋转到和l2重合重合时所转的角，叫做直线时所转的角，叫做直线l1 到到 l2的角。的角。“到角到角”的范围：的范围：0，)“到角到角”的正切：的正切：例例1、 已知点已知点A(2,2)，B( , ),C(-2,2), D( , )，判
7、断四边形，判断四边形ABCD的形状并的形状并证明。证明。例例2、 设设A(4,5)，B(2,1)。（1）在）在x轴上求一点轴上求一点P，使，使PAPB；（2）在）在y轴上求一点轴上求一点Q，使，使|QA|=|QB|； （3）在直线）在直线y= -x上求一点上求一点R，使，使|RA|2+|RB|2最最 小。小。例例3、（、（1） 已知点已知点A(1，t) (|t|1)，O是坐标是坐标原点，求直线原点，求直线OA的斜率的斜率k的取值范围及倾斜角的取值范围及倾斜角 的取值范围；的取值范围；（2）设点）设点B(1-x2，1)，O是坐标原点，求直线是坐标原点，求直线OB的斜率的斜率t的取值范围及倾斜角的取值范围及倾斜角 的取值范围；的取值范围；（3）设）设M(1,2)，N(2,-2)。若动点。若动点P(x,y)满足满足|PM|+|PN|=5，求，求 的取值范围。的取值范围。例例4、设、设A(3,0)，B(4,t)（1）求直线）求直线AB的倾斜角的倾斜角；（2）若直线）若直线 l 的倾斜角是直线的倾斜角是直线AB的倾斜角的的倾斜角的一半，求直线一半，求直线 l 的斜率的斜率 k 。
