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1、5.3 5.3 按贝塞尔函数展开为级数按贝塞尔函数展开为级数应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为级数。本节我们将讨论这个问题。级数。本节我们将讨论这个问题。本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了中，导出了贝塞尔方程的固有值问题贝塞尔方程的固有值问题：方程方程(32)(32)的的通解通解为为(32(32) )(33(33) )2021/6/161无穷大无穷大，方程方程(32)(32)的的通解通解为为(32(32) )(
2、33(33) )由于由于由边界条件由边界条件(33)(33)中的中的有界性条件有界性条件可知可知从而从而另外，再利用另外，再利用(33)(33)中的条件中的条件得得(34(34) )2021/6/1625.3.1 5.3.1 贝塞尔函数的贝塞尔函数的零点零点(32(32) )(33(33) )(34(34) )方程方程(34)(34)表明，为了求出固有值问题表明，为了求出固有值问题(32)(33)(32)(33)的固有值的固有值我们需要判明我们需要判明的零点是否存在？的零点是否存在？所谓贝塞尔函数的所谓贝塞尔函数的零点零点， 指的是使指的是使的那些的那些的值。的值。关于贝塞尔函数的关于贝塞尔函
3、数的零点零点有下面一系列的定理。有下面一系列的定理。2021/6/1635.3.1 5.3.1 贝塞尔函数的贝塞尔函数的零点零点1 1有无穷多个单重实零点，有无穷多个单重实零点， 这些零点在这些零点在轴上关于原点对称分布，轴上关于原点对称分布， 因而因而有有无穷多无穷多个正零点个正零点；2 2的零点与的零点与的零点是彼此相间分布的，的零点是彼此相间分布的，且且的绝对值最小的零点比的绝对值最小的零点比的绝对值的绝对值最小的零点更接近于最小的零点更接近于0 0；自然有，自然有，与与没有公共零点没有公共零点。3 3 当当值充分大时，值充分大时，的两个相邻零点之间的的两个相邻零点之间的的距离接近于的距
4、离接近于整数阶贝塞尔函数整数阶贝塞尔函数应用更多，应用更多， 特别是特别是与与2021/6/164(34(34) )应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设为为的的正零点正零点， 则由方程则由方程(34)(34)得得与这些与这些固有值固有值相对应的相对应的固有函数固有函数为为(35(35) )(36(36) )2021/6/165(32(32) )(36(36) )5.3.2 5.3.2 贝塞尔函数系的贝塞尔函数系的正交性正交性阶贝塞尔函数序列阶贝塞尔函数序列(36)(36)在区间在区间上上带权带权正交正交，即，即(37(37) )证证将贝塞尔方程将贝塞尔方程(
5、32)(32)改写如下改写如下2021/6/166(37(37) )为书写方便，记为书写方便，记其中其中为任意参变量。为任意参变量。则有则有将上面两式分别乘以将上面两式分别乘以和和2021/6/167(37(37) )为书写方便，记为书写方便，记其中其中为任意参变量。为任意参变量。则有则有上两式相减得上两式相减得2021/6/168(37(37) )为书写方便，记为书写方便，记其中其中为任意参变量。为任意参变量。则有则有上式两边对上式两边对从从到到积分得积分得(38(38) )2021/6/169(37(37) )(38(38) )在在(38)(38)式中取式中取并且由于并且由于便立即可得便立
6、即可得(37)(37)式成立。式成立。阶贝塞尔函数序列阶贝塞尔函数序列(36)(36)在区间在区间上上带权带权正交正交. .2021/6/16105.3.3 5.3.3 贝塞尔函数的贝塞尔函数的模模(38(38) )定积分定积分(39(39) )的的平方根平方根，称为，称为贝塞尔函数贝塞尔函数的的模模。当当时，由时，由(38)(38)式得式得2021/6/1611在上式中，令在上式中，令仍为任意参数，仍为任意参数，由于由于 故上式化为故上式化为形式的不定型，形式的不定型，当当 时，上式右端为时，上式右端为 应用应用洛必达法则洛必达法则，得，得 2021/6/1612应用应用洛必达法则洛必达法则
7、，得，得 (40(40) )由由递推公式递推公式 2021/6/1613(40(40) )由由递推公式递推公式 以及以及 得得 从而从而(40)(40)式变为式变为 (41(41) )由于由于贝塞尔函数贝塞尔函数 与与没有公共零点没有公共零点， 由由(41)(41)式知式知贝塞尔函数的模不为贝塞尔函数的模不为0 0. . 2021/6/16145.3.4 5.3.4 傅里叶傅里叶- -贝塞尔级数贝塞尔级数(41(41) )在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解在应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题时，往往需要把已知问题时，往往需要把已知函数按贝塞尔函数系函数按贝塞尔函数系展成级数展成级数。
8、内分段连续的内分段连续的囿变函数囿变函数，且积分，且积分的值有限，的值有限， 则它必能展开成如下形式的级数：则它必能展开成如下形式的级数：(42(42) )并且，在并且，在的的连续点连续点级数级数(42)(42)收敛于收敛于可以证明，如果可以证明，如果为定义于区间为定义于区间2021/6/1615(41(41) )(42(42) )在在的的间断点间断点处，级数收敛于点处，级数收敛于点左右极限左右极限的的平均值平均值，即收敛于，即收敛于其中系数其中系数由下式确定由下式确定(43(43) )由公式由公式(43)(43)确定的确定的称为称为傅里叶傅里叶- -贝塞尔系数贝塞尔系数，级数级数(42)(4
9、2)称为称为傅里叶傅里叶- -贝塞尔级数。贝塞尔级数。2021/6/1616(41(41) )(42(42) )(43(43) )(37(37) )事实上，事实上，并对并对从从到到积分得积分得(42)(42)式两边同乘式两边同乘2021/6/1617(41(41) )(42(42) )(43(43) )(37(37) )事实上，事实上，并对并对从从到到积分得积分得(42)(42)式两边同乘式两边同乘2021/6/1618(41(41) )(42(42) )(43(43) )(37(37) )事实上，事实上，并对并对从从到到积分得积分得(42)(42)式两边同乘式两边同乘2021/6/1619例
10、例(43(43) )设设是函数是函数的的正零点正零点，试将试将函数函数在在上展成上展成的的傅里叶傅里叶- -贝塞尔级数贝塞尔级数。解解由由(42)(43)(42)(43)式有式有先计算分子，先计算分子，(42(42) )2021/6/1620例例设设是函数是函数的的正零点正零点，试将试将函数函数在在上展成上展成的的傅里叶傅里叶- -贝塞尔级数贝塞尔级数。解解由由(42)(43)(42)(43)式有式有先计算分子，先计算分子， 令令则则代入代入得得2021/6/1621例例设设是函数是函数的的正零点正零点，试将试将函数函数在在上展成上展成的的傅里叶傅里叶- -贝塞尔级数贝塞尔级数。解解由由(42)(43)(42)(43)式有式有代入代入得得于是于是2021/6/1622 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
