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1、2.3.1 2.3.1 向量数量积的物向量数量积的物 理背景与定义理背景与定义复习回顾复习回顾x1 + x2y1 + y2x1 - x2y1 - y2 x1 y11、若向量、若向量a=(x1,y1) ，b=(x2,y2) 则向量则向量a+b=（ ， ）向量向量a-b=（ ， ）向量向量a=（ ， ）2、若已知点、若已知点A(x1,y1) ， B(x2,y2) 则向量则向量AB=（ ， ） x2 x1 y2- y1 3、向量、向量a、b（b0）共线的充要共线的充要 条件是什么？条件是什么？ a =b若若a= (x1,y1) b= (x2,y2) ，则共线的则共线的充要条件是什么？充要条件是什么？
2、x1 y2 - x2 y1=0如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOAFFSW=FW=FS SCOSCOS一一.力做功的计算力做功的计算二二.两个向量的夹角两个向量的夹角baOAOB已知两个非零向量已知两个非零向量a、b， =a， = b.则则AOB称作向量称作向量a和向量和向量b的夹角的夹角,记作记作.并规定并规定0 BOA（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；baBOAOAaBbBbaOAAaOBb（2）a ，b=b ，a；（3）范围0a ，b；（4）a ，b=0时, a、b同向；a ，b
3、=时，a、b反向；a ，b= 90时， a b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.几点说明如图，等边三角形中，求 （1）AB与AC的夹角； （2）AB与BC的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！练习练习1 1三三.向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影 （1）概念：）概念： 已知向量已知向量a和轴和轴l，作，作 =a，过点，过点O，A分别作轴分别作轴l的垂线，垂足分别为的垂线，垂足分别为O1，A1，则，则向量向量 叫做向量叫做向量a在轴在轴l上的正射影上的正射影. OA1 1 O A（2）正射影的数量：）正射影的数量： 向量向量a的正射影在轴的正射影在轴l上的
4、坐标，称作上的坐标，称作a在在轴轴l上的数量或在轴上的数量或在轴l方向上的数量方向上的数量.记作：记作： al向量向量a的方向与轴的方向与轴l的正方向所成的角为的正方向所成的角为，则有则有 1. a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2. 当为锐角时，数量为正值；3. 当为钝角时，数量为负值；4. 当为直角时，数量为0；5. 当 = 0时，数量为 |a|；6. 当 = 180时，数量为 |a|. 几点说明alxlOA2O1A1alaa例1.已知轴l（1）.向量OA=5, OA, l=60,求OA在上的正射影的数量OA1（2）.向量OB=5, OB,l =120,求OB在l上
5、的正射影的数量OB1(3)已知向量a, b ,向量|a|=4,=600,则向量a在向量b上的正射影的数量解：4cos600=2解：OA1=5COS600=5( )=5/2-5/2四四.向量的数量积（内积）向量的数量积（内积） 定义：定义： 叫做向量叫做向量a和和b的数量的数量积（或内积）积（或内积）记作：记作：ab .即即 ab = 1数量积数量积a b等于等于a的长度与的长度与b在在a方向上正方向上正射影的数量射影的数量|b|cos 的乘积的乘积.几点说明2两个向量的数量积是一个实数，符号由两个向量的数量积是一个实数，符号由cosa，b的符号所决定；而数乘向量是一个的符号所决定；而数乘向量是
6、一个向量。向量。OABabOABab为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0BOAab量的数量积为03.规定零向量与任意向4. a b不能写成不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算两个向量的数量积的性质：设设a、b为两个非零向量，为两个非零向量，e是与是与b的单位向量的单位向量.1. e a = a e =|a|cos ;2. a b a b = 03. a a = |a|2或或4. cos = ；5.|a b| |a|.|b| .内积为零是判定两向量垂直的条件内积为零是判定两向量垂直的条
7、件用于计算向量的模用于计算向量的模用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状例例2.已知已知|a|=5，|b|=4，=120，求，求ab.解：解： a b =|a|b|cos =54cos120 = 10. 练习2 已知已知|a|，|b|，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求abab时，时， ab =18；ab时，时，ab=0； a与与b的夹角是的夹角是60时，时，ab=9.进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。例3、)(且方向相反平行与,2CDAB,)(.603的夹角是与ADAB练习练习3 3
8、已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是(1)A 锐角三角形锐角三角形C 钝角三角形钝角三角形D 不能确定不能确定B 直角三角形直角三角形DCA A 锐角三角形锐角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 钝角三角形钝角三角形D D 不能确定不能确定判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,则则b=0.4.若若ab=0，则，则a=0或或b=0.5.对任意的向量对任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,则则b=c.( )()( )()()()练习练习4 4课堂小结课堂小结1.两个向量的夹角2.向量在轴上的正射影 正射影的数量3.向量的数量积（内积） ab=4.两个向量的数量积的性质：(1). ab ab = 0(2). aa = |a|2或(3). cos =范围0a ，b；
