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1、第二讲第二讲 参数方程参数方程1共 38 页回归课本回归课本2共 38 页1.曲线的参数方程曲线的参数方程一般地一般地,在取定的坐标系中在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标(x,y),都是某个变数都是某个变数t的函数的函数并且对于并且对于t取的每一个允许值取的每一个允许值,由方程组由方程组所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上,那么方程那么方程就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参参数方程数方程,联系联系x,y之间关系的变数之间关系的变数t叫做叫做参变数参变数,简称简称参数参数.相相对于参数方程而言对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫
2、做直接给出点的坐标间关系的方程叫做曲线的曲线的普通方程普通方程.3共 38 页2.直线的参数方程直线的参数方程经过点经过点M0(x0,y0),倾斜角为倾斜角为的直线的直线l的普通方程是的普通方程是y-y0=(x-x0)tan,而过而过M0(x0,y0),倾斜角为倾斜角为的直线的直线l的参数方程为的参数方程为参数参数t的几何意义是表示直线的几何意义是表示直线l上以定点上以定点M0为起点为起点,任任一点一点M(x,y)为终点的为终点的有向线段有向线段M0M的数量的数量.4共 38 页3.圆的参数方程圆的参数方程圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r,以圆心为顶点且以圆心为顶点且x轴同向的射线按逆时
3、轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角针方向旋转到圆上一点所在半径成的角的参数的圆的参的参数的圆的参数方程是数方程是5共 38 页4.椭圆的参数方程椭圆的参数方程以椭圆的离心角以椭圆的离心角为参数为参数,椭圆椭圆6共 38 页考点陪练考点陪练7共 38 页8共 38 页答案答案:A9共 38 页10共 38 页解析解析:消去消去t,得得x-3y-5=0.0t5,-1y24.答案答案:A11共 38 页答案答案:D12共 38 页13共 38 页答案答案:(-,0)(10,+)14共 38 页类型一类型一参数方程的概念参数方程的概念解题准备解题准备:参数方程与普通方程都是曲线的表示
4、形式参数方程与普通方程都是曲线的表示形式,都可以都可以用来解决曲线的问题用来解决曲线的问题,用参数方程处理数学问题用参数方程处理数学问题,关键在于关键在于恰当地选择参数恰当地选择参数.15共 38 页 分析分析 利用参数方程判断时利用参数方程判断时,须看有无解须看有无解,也可利用普通也可利用普通方程来判断方程来判断.16共 38 页17共 38 页类型二类型二参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化解题准备解题准备:曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式式.一般地一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程可以通过消去参数从参数方程得到
5、普通方程.如果知道变数如果知道变数x,y中的一个与参数中的一个与参数t的关系的关系,例如例如x=f(t),把它把它代入普通方程代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么那么就是曲线的参数方程就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中在参数方程与普通方程的互化中,必须使必须使x,y的取值范围保持的取值范围保持一致一致.18共 38 页19共 38 页20共 38 页 反思感悟反思感悟 把参数方程化为普通方程时把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个是参要注意哪一个是参数数,并且要注意并且要注意x及及y的取值范围的取值范围.21共 38 页类型三类型三
6、直线的参数方程直线的参数方程解题准备解题准备:利用直线的参数方程可使有些问题得到简捷的解利用直线的参数方程可使有些问题得到简捷的解决决,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式宜用参数方程的标准形式,而而对于某些比较简单的直线问题比如直线和坐标轴或者与某对于某些比较简单的直线问题比如直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程条直线交点时宜用直线的普通方程.22共 38 页【典例典例3】 已知直线已知直线l经过点经过点A(1,2),倾斜角为倾斜角为(1)求直线求直线
7、l的参数方程的参数方程;(2)求直线求直线l和圆和圆x2+y2=9的两个交点到点的两个交点到点A的距离之积的距离之积.分析分析 根据直线参数方程中参数根据直线参数方程中参数t的几何意义的几何意义,运用一元二次运用一元二次方程根与系数的关系求解方程根与系数的关系求解.23共 38 页24共 38 页 反思感悟反思感悟 涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方程数方程,直线的点斜式方程为直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0).其中其中k=tan(90),为直线的倾斜角为直线的倾斜角,则参数方程为则参数方程为 25共 38 页类型四类型四圆圆(椭圆椭圆
8、)的参数方程及简单应用的参数方程及简单应用26共 38 页27共 38 页28共 38 页 分析分析 (1)曲线曲线C1 C2的参数方程可通过适当变形采用平方的参数方程可通过适当变形采用平方消元的方法化为普通方程消元的方法化为普通方程,然后说明曲线然后说明曲线;(2)由中点坐标由中点坐标公式公式,用参数用参数表示出点表示出点M的坐标的坐标,将直线的参数方程化为将直线的参数方程化为普通方程普通方程,根据点到直线的距离公式得到关于根据点到直线的距离公式得到关于的函数的函数,转转化为求函数的最值化为求函数的最值.29共 38 页30共 38 页反思感悟反思感悟 本题综合性地考查参数方程的基础知识和应
9、用本题综合性地考查参数方程的基础知识和应用,特别是第特别是第(2)问设计的十分新颖问设计的十分新颖,题目中的动点题目中的动点M实际上也实际上也形成一条曲线形成一条曲线,题目的要求就是求这条曲线上的点到直线题目的要求就是求这条曲线上的点到直线C3的距离的最小值的距离的最小值,这个最小值归结为求关于参数这个最小值归结为求关于参数的函数的函数的最小值的最小值.从第从第(2)问可以看出参数方程在解题中的优越性问可以看出参数方程在解题中的优越性.另外在另外在(2)问中问中,如果对于绝对值的函数形式变形不对或认如果对于绝对值的函数形式变形不对或认为为cos(+)=-1时取最小值时取最小值,从而得出错误结论从而得出错误结论.31共 38 页错源错源参数的几何意义不明致误参数的几何意义不明致误32共 38 页33共 38 页34共 38 页35共 38 页技法技法分类讨论分类讨论36共 38 页37共 38 页38共 38 页
