廿一世纪的数学展望

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1、廿一世紀廿一世紀的的數學數學展望展望丘成桐教授丘成桐教授浙江大学浙江大学哈佛大学哈佛大学二零零四年六月二十五日二零零四年六月二十五日數學數學社會現象社會現象工程現象工程現象物理現象物理現象社會現象社會現象經濟經濟金融金融保險保險估值估值病病歷歷調調查查生生物統計調查物統計調查都市規劃都市規劃人口流動人口流動人口調查人口調查民意調查民意調查文文獻獻整整理理歷歷史史研究研究訊訊息息科科學學網網絡絡科學科學工程現象工程現象計計算算機機科科學學，圖圖像像識識別別，密密碼碼問問題題半半導導体体，量量子子工工程程學學，分分子子結結構構固固体体科科學學軟軟体体結結構構材材料料力力學學結結構構理理論論地地質質

2、結結構構流流体体科科學學血血液液流流問問題題氣氣象象科科學學Fusion熱熱力力學學油油管管科科學學航航空空，航航天天湍湍流流問問題題海海洋洋大大氣氣太太空空物理現象物理現象弦弦理理論論量量子子多多体体問問題題多多体体問問題題古古典典力力學學電電磁磁理理論論廣廣義義相相對對論論量量子子力力學學量量子子場場論論基基本本粒粒子子統統一一場場論論n n數學和工程科學乃是社會科學的基礎數學和工程科學乃是社會科學的基礎n n理論物理乃是工程科學的基礎理論物理乃是工程科學的基礎n n數學乃是理論物理的基礎數學乃是理論物理的基礎人類科技愈進步愈能發現新現象人類科技愈進步愈能發現新現象種種繁複現象使人極度迷惘

3、種種繁複現象使人極度迷惘(例如：湍流問題例如：湍流問題、黑洞問題黑洞問題)但是主宰所有現象變化但是主宰所有現象變化的的只是幾個小數的基只是幾個小數的基本定律。本定律。Standard model (標準模型標準模型)統一了三個基本場統一了三個基本場：電磁場、弱力、強力：電磁場、弱力、強力但是但是重力場和這三個場還未統一重力場和這三個場還未統一重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和和牛頓力學的統一理論而形成的牛頓力學的統一理論而形成的。這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作這是愛因斯坦最富有想像力的偉大創作。愛因斯坦方程是愛因斯坦方程是 其中其中 gij ij 是

4、測度張量是測度張量（引力場）（引力場） Tij ij 是物質張量是物質張量 Rij ij 是是Ricci曲率張量曲率張量弦理論企圖統一重力場和其他所有場。弦理論企圖統一重力場和其他所有場。在廿一世紀，基本數學會遇到同樣的挑戰：在廿一世紀，基本數學會遇到同樣的挑戰：基本數學的大統一，只有在各門分支大統一基本數學的大統一，只有在各門分支大統一時，所有分支才會放出燦爛的火花。時，所有分支才會放出燦爛的火花。每一門學問才每一門學問才會會得得到到本質上的瞭解。本質上的瞭解。數學的大統一將會比物理的大統一來得基數學的大統一將會比物理的大統一來得基本本，也將由統一場論孕育而出。也將由統一場論孕育而出。近代弦

5、論的發展已經成功的將近代弦論的發展已經成功的將微分幾何微分幾何代數幾何代數幾何群表示理論群表示理論數論數論拓樸學拓樸學相當重要相當重要的的部份統一起來。數學已經由此得部份統一起來。數學已經由此得到豐富的果實。到豐富的果實。 大自然提供了極為重要的數學模型，以大自然提供了極為重要的數學模型，以上很多模型都是從上很多模型都是從物理直覺或從物理直覺或從實驗觀察出實驗觀察出來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在來的，但是數學家卻可以用自己的想像，在觀察的基礎上創造新的結構。觀察的基礎上創造新的結構。 成功的新的數學結構往往是幾代數學家成功的新的數學結構往往是幾代數學家的共同努力得出的成果，也往往是數學

6、中幾的共同努力得出的成果，也往往是數學中幾個不同分支合併出來的火花。個不同分支合併出來的火花。 Andrew Wiles 的工作是的工作是Elliptic curve 和和Automorphic form, Representation theory 的的大合併。大合併。 幾何和數字幾何和數字(尤其是整數尤其是整數)可說是數學裏最可說是數學裏最直觀的直觀的對象，對象，因此在大統一中起因此在大統一中起着着最要緊的最要緊的作用。作用。 廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法廿世紀的數論學家通過代數幾何的方法已經將整數方程的一部份與幾何已經將整數方程的一部份與幾何結合結合，群表，群表示理論亦逐漸與數論和

7、幾何學示理論亦逐漸與數論和幾何學結合結合。 每次進步都有結構性的變化每次進步都有結構性的變化, 例如算術幾例如算術幾何的產生。何的產生。 在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。 三維空間和四維空間的研究非懂幾何不三維空間和四維空間的研究非懂幾何不可。可。 Thurston 的猜測，是在三維空間上引用的猜測，是在三維空間上引用幾何結構，這些創作新結構的理論有劃時代幾何結構，這些創作新結構的理論有劃時代的重要性，正等如十九世紀引用的重要性，正等如十九世紀引用Rieman surface的概念一樣重要。的概念一樣重要。 分析和幾何亦逐漸融合，到目前為止，分析和幾何亦逐漸

8、融合，到目前為止，微分方程在複幾何微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出的貢和拓撲學上有傑出的貢獻獻。通過分析方法，陳氏類，通過分析方法，陳氏類，Hodge理論，理論，Atiyah-Singer指標定理和我們在復流型上搆指標定理和我們在復流型上搆造的造的Kahler-Einstein度量，在代數幾何中解決度量，在代數幾何中解決了重要的問題。最近了重要的問題。最近Hamilton的的Ricci Flow通通過過Perelman的工作可能解決的工作可能解決Thurston的猜的猜想。想。 在四維空間上，在四維空間上，Donaldson利用利用Taubes，Uhlenbeck的規範場上的存在性定理得到四維

9、的規範場上的存在性定理得到四維拓撲的突破。拓撲的突破。 上述工作和上述工作和Donaldson-Uhlenbeck-Yau在在Yang-Mills的工作都與弦理論息息相關。的工作都與弦理論息息相關。 事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使事實上弦理論提供了極為重要的訊息，使得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理得古典的代數幾何得到新的突破。我們期望弦理論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入的暸解。入的暸解。 在二十一世纪的数学里，三维的双曲空间会在二十一世纪的数学里，三维的双曲空间会在二十一世纪的数学里，三维的双曲空间会在二十一世纪的数学里，三

10、维的双曲空间会变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情变得如黎曼曲面一样重要，数学会进入一个盡情享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。二维、三维和四维流型将会有更彻底的理解。 我们希望我们希望我们希望我们希望HodgeHodge猜测会得到圆满的解决，从猜测会得到圆

11、满的解决，从猜测会得到圆满的解决，从猜测会得到圆满的解决，从而得知一个拓扑子流型什么时候可以由代数子流而得知一个拓扑子流型什么时候可以由代数子流而得知一个拓扑子流型什么时候可以由代数子流而得知一个拓扑子流型什么时候可以由代数子流型来表示。同样的问题也适用于型来表示。同样的问题也适用于型来表示。同样的问题也适用于型来表示。同样的问题也适用于Vector Vector burdleburdle上。上。上。上。由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代替代数流型。替代数流型。

12、替代数流型。替代数流型。 現在舉一個理論物理，數學和應用科學現在舉一個理論物理，數學和應用科學上的共同而重要的問題：上的共同而重要的問題：基本物理上的基本物理上的Hierachy問題，是一個問題，是一個Scale的問題的問題。 引力場和其他力場的引力場和其他力場的Scale相差極遠，相差極遠，如何統一，如何解釋？如何統一，如何解釋？ 在古典物理，微分方程，微分幾何和各在古典物理，微分方程，微分幾何和各類分析中亦有不同類分析中亦有不同Scale 如何融合的問題。如何融合的問題。 在統計物理和高能物理中，用到所謂在統計物理和高能物理中，用到所謂renormalization group的方法，是非

13、穩定的方法，是非穩定系統的一個重要工具。系統的一個重要工具。 如何如何用用基本的方法去處理不同基本的方法去處理不同Scale 是應是應用數學中一個重要問題用數學中一個重要問題。 純數學將會是純數學將會是處理不同度量的處理不同度量的主要工主要工具具。而而事實上，事實上，純數學純數學本身本身亦有亦有不同度量的不同度量的問題問題。 在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在微分方程，或微分幾何遇到奇異點或在研究漸近分析時，在研究漸近分析時，Blowing up 分析是一個分析是一個很重要的工具很重要的工具，而這種，而這種Blowing up的工具亦的工具亦是代數幾何中最有效的工具。是代數幾何中最有效的工具

14、。 在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步的做定性和定量的分析來研究由性和定量的分析來研究由性和定量的分析來研究由性和定量的分析來研究由Blowing upBlowing up得出来的結得出来的結得出来的結得出来的結果，因此對不同果，因此對不同果，因此對不同果，因此對不同scalescale的量得到進一步的認識。的量得到進一步的認識。的量得到進一步的認識。的量得到進一步的認識。 微分幾何的張量分析微分幾何的張量分析微分幾何的張量分析微分幾何的張量分析 ( (曲率張量曲率張

15、量曲率張量曲率張量) ) 在在在在multiscalemultiscale分分分分析中應該會有重要的應用析中應該會有重要的應用析中應該會有重要的應用析中應該會有重要的應用，因為即使在同一點上，有，因為即使在同一點上，有，因為即使在同一點上，有，因為即使在同一點上，有不同方向的變化，而此種變化亦應當受到不同方向的變化，而此種變化亦應當受到不同方向的變化，而此種變化亦應當受到不同方向的變化，而此種變化亦應當受到scalescale的影的影的影的影响。响。响。响。 當一個圖當一個圖當一個圖當一個圖 (graph)(graph) 逼近一個幾何圖形或微分方程逼近一個幾何圖形或微分方程逼近一個幾何圖形或微

16、分方程逼近一個幾何圖形或微分方程的解時，的解時，的解時，的解時，multiscalemultiscale 分析極為重要，如何解決這些問分析極為重要，如何解決這些問分析極為重要，如何解決這些問分析極為重要，如何解決這些問題無論在純數學和應用數學都是重要題無論在純數學和應用數學都是重要題無論在純數學和應用數學都是重要題無論在純數學和應用數學都是重要的的的的問題問題問題問題，我希望，我希望，我希望，我希望研究離散數學的學者亦注意到這一點。研究離散數學的學者亦注意到這一點。研究離散數學的學者亦注意到這一點。研究離散數學的學者亦注意到這一點。近代弦論發現有不同的量子場論可以互相近代弦論發現有不同的量子場

17、論可以互相同構同構 (isomorphic) 然而然而scale 剛好相反剛好相反因此一個強因此一個強 Coupling Constant的理論可的理論可以同另一個弱以同另一個弱Coupling Constant的理論的理論同構，而後者可以從漸近分析理論來計同構，而後者可以從漸近分析理論來計算。算。 由於由於R R 這種奇妙的對稱可以保持量這種奇妙的對稱可以保持量子場論的結構，使得我們可以用擾動性子場論的結構，使得我們可以用擾動性（perturbation analysisperturbation analysis）的方法去計算非）的方法去計算非擾動的場論，在數學上得到驚人的結果。擾動的場論，

18、在數學上得到驚人的結果。 更要注意到的一點是時空的結構可能因更要注意到的一點是時空的結構可能因此有基本上的觀念的改變。極小的空間不再有此有基本上的觀念的改變。極小的空間不再有意義。時空的量子化描述需要更進一步的探討。意義。時空的量子化描述需要更進一步的探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化的空間。有不少學者建結構來描述這個量子化的空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙的數學現象。目標但已得到美妙的數學現象。 約在兩百年前，約在兩百年前，GaussGau

19、ss發現發現GaussGauss曲率的曲率的觀念而理解到觀念而理解到內蘊幾何內蘊幾何時，就感歎到空間的觀時，就感歎到空間的觀念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密切的念與時而變，和人類對大自然的瞭解有密切的關係。關係。 這二十年來，超對稱的觀念深深地影響這二十年來，超對稱的觀念深深地影響著基本物理和數學的發展，在實驗上雖然尚未著基本物理和數學的發展，在實驗上雖然尚未發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝的能力，我們寧可相信在極高的能量時，超對的能力，我們寧可相信在極高的能量時，超對稱確實存在，但如何看待超對稱在現實時空中稱確實存在，但如何看待超對稱在現實

20、時空中的殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學的的殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學的一個重要命題。一個重要命題。 舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電舉例來說，在超對稱的結構中，規範場和電磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意磁場會與完全不相關的子流形理論同構，是否意味著這種日常能見的場論味著這種日常能見的場論味著這種日常能見的場論味著這種日常能見的場論可以用可以用可以用可以用不同的手法來處不同的手法來處不同的手法來處不同的手法

21、來處理？理？理？理？ 種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示種種不同的現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂理論逐漸會與算術幾何接近。在所謂ArakeloArakeloArakeloArakelov v v v理理理理論中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要論中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要論中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要論中，除了在複數上定義的代數空間外，還需要考慮特微考慮特微考慮特微考慮特微為為為為p p p

22、p的代數空間，才能夠對算術空間有完的代數空間，才能夠對算術空間有完的代數空間，才能夠對算術空間有完的代數空間，才能夠對算術空間有完滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實滿的瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界的問題？由此观之，数论上的界的問題？由此观之，数论上的界的問題？由此观之，数论上的界的問題？由此观之，数论上的L L L L函数和函数和函数和函数和Birch-Birch-Birch-Birch-SwinnertonSwinnertonSwinnertonSwinnerton-Dyer-Dyer-D

23、yer-Dyer猜测有没有其他解释？猜测有没有其他解释？猜测有没有其他解释？猜测有没有其他解释？ 现在用一个简单的例子来解释上述现在用一个简单的例子来解释上述现在用一个简单的例子来解释上述现在用一个简单的例子来解释上述dualitydualitydualityduality的的的的现象现象现象现象。例子：例子： Laplace 算子算子 我們要求我們要求 在在 上定義，上定義， Zn是一個是一個 lattice Rn 而而 l 必定要在這個必定要在這個lattice 的對偶中的對偶中 (Zn)* 的對偶是的對偶是 這個對偶在弦論中這個對偶在弦論中起相當重起相當重要的作用。要的作用。在在 Fou

24、rier 分析和數論中也已得重要的發分析和數論中也已得重要的發揮揮。 在在 L2(T)上的譜上的譜 (Spectrum)是是 它的譜分解全部可以算出它的譜分解全部可以算出如果如果 f：R R 則則 如果我們有辦法用分析方法算出如果我們有辦法用分析方法算出 f()，則可，則可以得到以得到 trace formula舉例來說舉例來說 f(x) = exp(tx)exp(t) 的核函數可以算出為的核函數可以算出為 因此因此Poisson formula： 數論上的基本公式！數論上的基本公式！Trace formula Automorphic form 群表示理論群表示理論, 數論數論這個這個Toru

25、s的對偶正是弦理論對偶的基礎，的對偶正是弦理論對偶的基礎，現代數論的一個最重要的環節叫現代數論的一個最重要的環節叫Langlands理論，也有對偶的問題，與代理論，也有對偶的問題，與代數幾何和表示理論有密切的關係。希望數幾何和表示理論有密切的關係。希望能夠與這一系列的想法也掛能夠與這一系列的想法也掛鈎鈎。Symmetry (Symmetry (對稱對稱對稱對稱) )群的觀念群的觀念群的觀念群的觀念小群：小群：小群：小群：如鏡對稱如鏡對稱如鏡對稱如鏡對稱 如雪花的對稱如雪花的對稱如雪花的對稱如雪花的對稱連續群連續群連續群連續群 ( (李群李群李群李群) ) ：物理上用途物理上用途物理上用途物理上

26、用途非緊離散群：非緊離散群：非緊離散群：非緊離散群： 在數論和幾何上的用途在數論和幾何上的用途在數論和幾何上的用途在數論和幾何上的用途無限維對稱：無限維對稱：無限維對稱：無限維對稱： 規範場中的規範群規範場中的規範群規範場中的規範群規範場中的規範群種種不同對稱的觀唸種種不同對稱的觀唸種種不同對稱的觀唸種種不同對稱的觀唸在廿世紀後半期的理論科學有基本貢在廿世紀後半期的理論科學有基本貢在廿世紀後半期的理論科學有基本貢在廿世紀後半期的理論科學有基本貢獻獻獻獻。DulalityDulality 比比比比 Symmetry Symmetry 更廣義，不同理論的基本同構將是廿更廣義，不同理論的基本同構將是

27、廿更廣義，不同理論的基本同構將是廿更廣義，不同理論的基本同構將是廿一世紀的一個重要命題一世紀的一個重要命題一世紀的一個重要命題一世紀的一個重要命題。 對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具對稱的觀念可說是基本科學中最基本的工具，但是但是但是但是 運用之妙運用之妙運用之妙運用之妙存乎一心存乎一心存乎一心存乎一心在于作者的經驗和直觀。在于作者的經驗和直觀。在于作者的經驗和直觀。在于作者的經驗和直觀。 廿一世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的廿一世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的廿一世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的廿一

28、世紀基本科學的基本命題：如何將對稱的物理基本現象物理基本現象物理基本現象物理基本現象與與與與非對稱的世界聯合？非對稱的世界聯合？非對稱的世界聯合？非對稱的世界聯合？Symmetry breakingSymmetry breaking眾生色相眾生色相眾生色相眾生色相 何由而生？何由而生？何由而生？何由而生？ 基本的物理定律是基本的物理定律是基本的物理定律是基本的物理定律是Time SymmetricTime Symmetric的，為何我的，為何我的，為何我的，為何我們擔憂時光消逝？們擔憂時光消逝？們擔憂時光消逝？們擔憂時光消逝？因为直觀世界是因为直觀世界是因为直觀世界是因为直觀世界是Time S

29、ymmetricTime Symmetric的。由的。由的。由的。由TimeTime SymmetricSymmetric的定律來解釋直觀世界是現的定律來解釋直觀世界是現的定律來解釋直觀世界是現的定律來解釋直觀世界是現代數學和物理的一個重要問題。代數學和物理的一個重要問題。代數學和物理的一個重要問題。代數學和物理的一個重要問題。熱力熱力熱力熱力第二第二第二第二基本定理說基本定理說基本定理說基本定理說Randomness Randomness 隨時間而增隨時間而增隨時間而增隨時間而增 Entropy increase with timeEntropy increase with time 這是一

30、個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的這是一個奇妙的定理，到如今還未得到徹底的瞭解。瞭解。瞭解。瞭解。 時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題時間的箭咀在廣義相對論中是一個重要的題目。目。目。目。Roger Penrose Roger Penrose 和和和和 HawkingHawking都花了很多時間討都花了很多時間討都花了很多時間討都花了很多時間討論。論。論。論。這是因為這是因為這是因為這是因為EinsteinEinstein方程對時間來說

31、是對稱的，然方程對時間來說是對稱的，然方程對時間來說是對稱的，然方程對時間來說是對稱的，然而在現實世界，時間是不對稱的。而在現實世界，時間是不對稱的。而在現實世界，時間是不對稱的。而在現實世界，時間是不對稱的。 熵的研究在現代物理和現代數學都起熵的研究在現代物理和現代數學都起熵的研究在現代物理和現代數學都起熵的研究在現代物理和現代數學都起了了了了極重極重極重極重要的作用。要的作用。要的作用。要的作用。 湍流的問題，將是其中一個例子。湍流的問題，將是其中一個例子。湍流的問題，將是其中一個例子。湍流的問題，將是其中一個例子。 流体力学中的奇异点和流体力学中的奇异点和流体力学中的奇异点和流体力学中的

32、奇异点和boundaryboundary l layerayer 都需要都需要都需要都需要大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解释。释。释。释。 在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。象，用數學形式表達出來時，是用等式來表

33、達。 但往往在澈底研究這種等式以前，不等式但往往在澈底研究這種等式以前，不等式但往往在澈底研究這種等式以前，不等式但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産會産會産會産生，同時生，同時生，同時生，同時起起起起着着着着無比的重要性。無比的重要性。無比的重要性。無比的重要性。 波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一波。如何控制這種現象要依靠好的不等式。也是一

34、切分析和應用數學的精華。切分析和應用數學的精華。切分析和應用數學的精華。切分析和應用數學的精華。 Superposition是線性方程的特微，在研是線性方程的特微，在研究非線性究非線性integrable方程時，也由非線性的方程時，也由非線性的Superposition，一般而言，我們有沒有辦法，一般而言，我們有沒有辦法由少數的解來產生新的解是一個重要的問題。由少數的解來產生新的解是一個重要的問題。非線性現象是二十一世紀的研究物件。非線性現象是二十一世紀的研究物件。 由由Stationary的物理現象到的物理現象到Dynamical的的物理現象，我們會遇到極為困扰而又刺激物理現象，我們會遇到極

35、為困扰而又刺激的數學問題。在方程的觀點來說，橢圓方的數學問題。在方程的觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型的方程組，有極度睏難的奇異點處理問題，在程組，有極度睏難的奇異點處理問題，在物理上有震波的處理問題，既要研究估值，物理上有震波的處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。夠幫忙。 高維空間的非綫性波和各種物理幾何高維空間的非綫性波和各種物理幾何的關繫將會影響這幾十年的應用數學，其的關繫將會影響這幾十年的應用數學，其中有孤立子的現象，有震波現象，多種粒中有孤立子的現象，有震波現象，多

36、種粒子在非綫性的互動時得出的宏觀現象，方子在非綫性的互動時得出的宏觀現象，方程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學程帶有隨機變數時的處理將會是應用數學的重要題目。的重要題目。 很多古典的方法或近代物理的方法應當很多古典的方法或近代物理的方法應當可以應用到離散問題上去。大型的網絡極可以應用到離散問題上去。大型的網絡極為復雜，如何有傚的傳播訊息，如何尋找為復雜，如何有傚的傳播訊息，如何尋找資料，提供暸數學極有意義的問題。資料，提供暸數學極有意義的問題。 圖像處理和計算幾何更是一個電腦、圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合的好地方，在醫學上幾何、組合數學結合的好地方，在醫學上有重要的貢獻

37、，自動控製論和上述種種應有重要的貢獻，自動控製論和上述種種應用都會結合，要得到最有傚的用途需要數用都會結合，要得到最有傚的用途需要數學傢密切合作。學傢密切合作。 在某種意義下，基本的方程式或基本的在某種意義下，基本的方程式或基本的物理現象，用數學形式表達出來時，是用等物理現象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。式來表達。 但往往在澈底研究這種等式以前，不等但往往在澈底研究這種等式以前，不等式式會産生，同時會産生，同時起起着着無比的重要性。無比的重要性。 波浪的重疊，最後產生的可以是極為光波浪的重疊，最後產生的可以是極為光滑的波。如何控制這種現象要依靠好的不等滑的波。如何控制這種現象要依靠好

38、的不等式。也是一切分析和應用數學的精華。式。也是一切分析和應用數學的精華。研究研究應用數學應用數學的方法的方法 Modeling實驗實驗數字計算，統計數字計算，統計物理物理應用需要應用需要分析分析純數學，方程，統計純數學，方程，統計物理，化學，生物物理，化學，生物理論理論應用應用 當微分方程和幾何和組合數學，真正大當微分方程和幾何和組合數學，真正大統一時，應用數學會有大進步。統一時，應用數學會有大進步。 有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創有宏大胸襟的數學家會在前進途徑上創造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解造新的結構來因應這個統一的使命，來瞭解不同的數學分枝。不同的數學分枝。數學數學在工業上

39、的應用在工業上的應用工業問題，科學觀察實驗工業問題，科學觀察實驗統計，分析處理統計，分析處理理論，模型理論，模型計算，程序計算，程序應用應用預預測測控控制制優優化化仿仿真真設設計計 單靠程序和計算的數學即使有短暫的生單靠程序和計算的數學即使有短暫的生長力量，不會有深遠的影長力量，不會有深遠的影响响。 如何解釋由計算得出來的現象，如何與如何解釋由計算得出來的現象，如何與物理和工程的現象物理和工程的現象相相吻合，如何利用計算結吻合，如何利用計算結果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。果作有意義的預測，乃是計算數學的目標。因此理想的應用數學家，應該有數學家的根因此理想的應用數學家，應該有數學家的根基

40、，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。基，有物理學家和工程學家的眼光和觸角。數學提供應用數學幾個重要工具數學提供應用數學幾個重要工具概率，隨機分析概率，隨機分析組合理論組合理論代數代數(Coding理論理論)幾何幾何(圖像處理，壓縮圖像處理，壓縮) 分析分析微分方程微分方程調和分析，調和分析，Fourier分析分析小波分析小波分析動力系統動力系統 由於應用科學的產生，所有連續性的數由於應用科學的產生，所有連續性的數學理論或存在性定理，都有定量的逼近問學理論或存在性定理，都有定量的逼近問題，因此產生很多有意義的新的數學。題，因此產生很多有意義的新的數學。 物理，生物，化學，工程將會提供大量物理，生

41、物，化學，工程將會提供大量有意義的問題和新的觀念。有意義的問題和新的觀念。 好的應用數學家需要融合各種的科學，好的應用數學家需要融合各種的科學，經費不是唯一的問題！經費不是唯一的問題！ 七零年代，七零年代， 應用數學家堅持分家，這是應用數學家堅持分家，這是由於聘請教授的觀點不同和經費收入不同所由於聘請教授的觀點不同和經費收入不同所致的毛病。致的毛病。分家的結果：分家的結果：1、數數學學家家比比較較注注重重純純科科學學的的命命題題，尤尤其其理理論論物物理理提提供供了了豐豐富富的的題題材材和和方方法法，給給予予數數學學新新的的生生命命，雖雖然然搞搞分分析析數數學學和和組組合合數數學學的的教教授授也

42、也接接觸觸應應用用數數學學，但但是是接接觸觸並並非非全全面面性性的的，用用時時往往往往缺缺乏乏應應用用能能力力，相相反反交交流流也不多。也不多。在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來的應用數學家大都是一流的數學家是一流的數學家是一流的數學家是一流的數學家Von NeumannVon Neumann C. C. C. C. LinLin CourantCourant FederichFederich StokerStoker GlimGlimmm LaxLax Keller

43、Keller MoserMoser主要發展應用數學的美，研究所為n nCourant Instututen nM. I. T.n nCaltech.n nStanfordn nBerkeley， Yale2、應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳統的數學訓練是不必要的。統的數學訓練是不必要的。 在工業在工業 尤其尤其是電腦工業是電腦工業和金融企業的引誘下，急進猛和金融企業的引誘下，急進猛追，結果優秀的學生捨本逐利，年青的應追，結果優秀的學生捨本逐利，年青的應用數學隊伍很難建立起來。用數學隊伍很難建立起來。 分析分析微分方程微分方程 數學數學 幾何幾何代數幾何代

44、數幾何數論數論組合數學組合數學統計統計 統計物理統計物理物理學物理學 古典力學古典力學 量子物理量子物理 廣義相對論廣義相對論n n計算數學計算數學n n工業界的顧問工業界的顧問時空統一頌時空統一頌時乎時乎時乎時乎逝何如此逝何如此物乎物乎物乎物乎繁何如斯繁何如斯弱水三千弱水三千豈非同源豈非同源時空一体時空一体心物互存心物互存時兮時兮時兮時兮時不再嶼時不再嶼天兮天兮天兮天兮天何多容天何多容亙古恒遷亙古恒遷黑洞融融黑洞融融時空一体時空一体其無盡耶其無盡耶大哉大哉大哉大哉宇宙之謎宇宙之謎美哉美哉美哉美哉真理之源真理之源時空量化時空量化智者無何智者無何管測大塊管測大塊學也洋洋學也洋洋Thank You All!