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1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声10.2 10.2 平面简谐波方程平面简谐波方程 10.2.1 10.2.1 平面简谐波方程平面简谐波方程 10.2.210.2.2平面简谐波方程的多种形式平面简谐波方程的多种形式 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声10.2 10.2 平面简谐波方程平面简谐波方程 10.2.1 10.2.1 平面简谐波方程平面简谐波方程 以横波为例建立以横波为例建立 y = f (x,t) 简谐波简谐波简谐振动在媒质中的传播简谐振动在媒质中的传播. 数学描述数学描述 y = f (x,t) 1. 简谐波的
2、运动学方程简谐波的运动学方程 仅讨论仅讨论:无损耗、无限大媒介、无反射波介入无损耗、无限大媒介、无反射波介入. 设简谐波沿正设简谐波沿正 x 方向传播方向传播 , 行波行波相位逐点传波的波相位逐点传波的波. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声设设 t 时刻时刻O点振动表达式：点振动表达式：求同一时刻任意点求同一时刻任意点x的振动的振动. 角频率圆频率）角频率圆频率）.其中其中 y 是质点在是质点在y方向上的位移，方向上的位移，A振幅振幅, O点振动传到点振动传到 x 点需用时点需用时 相位落后相位落后x点的运动方程点的运动方程(10.2.1)上上 页页下下
3、页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声若波向负若波向负x方向传播方向传播 P点运动传到点运动传到 O 点需用时：点需用时： P点的相位超前于点的相位超前于O点相位：点相位：平面谐波一般表达式平面谐波一般表达式负正号代表向负正号代表向 x 正负向传播的谐波正负向传播的谐波.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声2. 讨论讨论 位移位移 y 既是既是 t 的函数，又是的函数，又是 x 的函数的函数 (1)当当 x 一定时，令一定时，令 x = x0 表达式变成表达式变成 y - t 关系，是关系，是 x0 点的振动方程点的振动方程. x0相位比相位比
4、 x=0 点落后点落后 T tyA-AO所以式所以式(10.2.1)反映了介质中各点的运动规律反映了介质中各点的运动规律. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声(2) t一定统观波线上所有质点）一定统观波线上所有质点）这时这时, y 仅为仅为 x 的周期函数的周期函数.当当 t = t0 时时表达式变成表达式变成 y x 关系，表达了关系，表达了 t = t0 时刻空间各点时刻空间各点的位移分布的位移分布波形图波形图.y xOt 时刻的波形曲线时刻的波形曲线上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声(3) x、t 均变均变具有波动意
5、义具有波动意义 即即: 各质点各自振动各质点各自振动 ; 波形向前传播波形向前传播. yx1xy1t 时刻时刻 t + t 时刻时刻 x2上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声 如图：如图：因振动频率不变，所以这两点相位相同因振动频率不变，所以这两点相位相同.即即 整理得：整理得： v 就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度，就是波形向前传播的速度，也是相位的传播速度，所以也称所以也称v为相速为相速.令令 波数波数上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声波长波长 波速与频率之间的关系为波速与频率之间的关系为 波在空间的周期性波在
6、空间的周期性 波在时间上的周期性波在时间上的周期性通过波速通过波速v联系起来联系起来上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声10.2.210.2.2平面简谐波方程的多种形式平面简谐波方程的多种形式 利用利用因此下述几式等价：因此下述几式等价：上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声例题例题1 平面简谐波方程为平面简谐波方程为如何将此方程化成为最简形式如何将此方程化成为最简形式. 选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标选择计时起点瞬时相位为零的一个体元为新的坐标
7、原点原点.对新原点平衡位置为对新原点平衡位置为x 的某体元在的某体元在t时刻的相位为时刻的相位为 解解 移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始移动坐标原点或改变计时起点都可使原点初始 相位为零相位为零.（1移动坐标原点移动坐标原点 此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为此体元对旧坐标原点其平衡位置坐标为x，在，在t 时刻的时刻的相位为相位为上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声表明坐标原点应沿表明坐标原点应沿x轴正向移动轴正向移动由此得由此得 所以所以 （2改变计时起点改变计时起点由此可得由此可得表明计时起点应向前移六分之一周期表明计时起点应向前移六分之一周期.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声例题例题2 有一列向有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波，它轴正方向传播的平面简谐波，它在在t = 0时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示,其波速为其波速为u =600 m/s.试试写出波动方程写出波动方程.x/my/m512.O上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第十章第十章 波波动动和声和声= 5mA24m =原点处质点的振动方程为原点处质点的振动方程为 波动方程为波动方程为 解解
