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1、*3.4基本不等式* 这是这是2019年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数学家大届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。情好客。*考虑：这会标中含有考虑：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？考虑：你能否在这个图考虑：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？探究探究1 1*ab1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S =S =、
2、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？ 探究：探究：SS即即问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？(ab)*ADBCEFGHba猜测：猜测： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab(ab)(ab)*考考虑：你能：你能给出不等式出不等式 的的证明明吗？证明：（作差法）证明：（作差法） 当且仅当a=b时，等号成立。*知识点知识点1 1：重要不等式：一般地，对于任意实数重要不等式：一般地，对于任意实数a a、b b，总有，总有当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成
3、立文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和不小于它们积的两数的平方和不小于它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,bR*替换后得到：替换后得到： 即：即：即：即：你能证明这个不等式吗？你能证明这个不等式吗？*证明：（做差法）证明：（做差法）当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 所以所以 证明不等式：证明不等式：*若若a0，b0，那么，那么当且仅当当且仅当a=b时等号成立时等号成立.知识点知识点2： 基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为
4、：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b0*你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? DC=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_*你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释
5、吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何解释：半径不小于弦长的一半几何解释：半径不小于弦长的一半ADBEOCab*例例1 （1用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是多少？最短是多少？
6、解：设举行菜园的长为解：设举行菜园的长为 m,宽为宽为 m,那么那么 ，篱笆的长为，篱笆的长为 m.由由可得可得等号当且仅当等号当且仅当 时等号成立。此时，这个时等号成立。此时，这个矩形的长、宽都为矩形的长、宽都为10m，所用篱笆最短为，所用篱笆最短为40m;*例例1 （1用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是多少？最短是多少？该题是该题是 为定值为定值100，则当，则当 时，和时，和 取得最小值取得最小值20所以所以 都是正数，则有都是正数，则有假设假设 （积为定值），则
7、当（积为定值），则当 时，和时，和 取得最小值取得最小值 （基本不等式与最值）（基本不等式与最值） *(2)一段长为一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面最大面积是多少？积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为 m宽为宽为 m,那么那么 矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为 由由可得可得当且仅当当且仅当 ，即，即 时，等号成立时，等号成立.此时，矩形菜园的长、宽都为此时，矩形菜园的长、宽都为9m,菜园的面积最大，菜园的面积最大，最大面积是最大面积是81.*(2)一段长为
8、一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面最大面积是多少？积是多少？该题该题 是定值是定值18,则当则当 时时,积积 取得最大值取得最大值81所以，所以， 都是正数，则有都是正数，则有假设假设 （和为定值）（和为定值）,则当则当 时时,积积 获得获得最大值最大值 （基本不等式与最值）（基本不等式与最值）*知识点三：基本不等式与最值知识点三：基本不等式与最值知知 都为正数，则有都为正数，则有（1假设假设 （和为定值），则当（和为定值），则当 时，时，积积 取得最大值取得最大值 _（
9、2假设假设 （积为定值），则当（积为定值），则当 时，时，和和 取得最小值取得最小值_*变式练习：变式练习：1.x0,当当x取什么值，取什么值， 的值最小？最小是多少？的值最小？最小是多少？解：解：所以当所以当 时，时， , 的值最小为的值最小为2.*2.用用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？怎样折？解：设矩形的长宽分别为解：设矩形的长宽分别为 cm,那么那么 , , 面积为面积为由由得得当且仅当当且仅当 时，矩形的长、宽分别为时，矩形的长、宽分别为5cm，面积面积 取得最大值为取得最大值为25 .*例例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池
10、，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为，深为3m.如果池底每平方米的造价为如果池底每平方米的造价为150元元,池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？造价最低？最低总造价是多少？解：设底面的长为解：设底面的长为 x m,宽为宽为y m,水池总造价为水池总造价为Z元元.根据题意根据题意,有有 由容积为由容积为4800m，可得，可得 因而因而由基本不等式与不等式的性质，可得由基本不等式与不等式的性质，可得即即*当当 ,即即 时时,等号成立等号成立. 所以，将水池的地面设计成边长为所以，将水池
11、的地面设计成边长为40m的正方形的正方形时总造价最低时总造价最低,最低总造价是最低总造价是297600元元.变式练习：做一个体积为变式练习：做一个体积为32m，高为，高为2m的长方体纸的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？解：设底面的长、宽分别为解：设底面的长、宽分别为 m,用纸用纸 S .那么那么当且仅当当且仅当 m时，用纸最少为时，用纸最少为64.*小结：小结：求最值时注意把握求最值时注意把握 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”知知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P(当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号).(2) x+y=S xy S2(当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号).142. 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1. 两个重要的不等式两个重要的不等式*作业：作业：创新方案创新方案69页设计页设计1、设计、设计2以及例以及例1、例、例2、例、例3.
