《数理统计第7章167;1点估计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计第7章167;1点估计（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(ch8(ch8(ch8(ch8不讲不讲不讲不讲) ) ) )1 1 点估计点估计2 2/19/19第七章第七章 参数估计参数估计从该批产品中任取一件，令从该批产品中任取一件，令从该批产品中任取一件，令从该批产品中任取一件，令该产品为次品该产品为次品该产品为次品该产品为次品该产品为好品该产品为好品该产品为好品该产品为好品由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有某工厂生产了一大批产品某工厂生产了一大批产品某工厂生产了一大批产品某工厂生产了一大批产品, , , ,从中随机抽检了从中随机抽检了从中随机抽检了从中随机抽检了 件产件产件产件产品品品品, , , ,发现有发现有发现
2、有发现有 件次品件次品件次品件次品, , , ,如何估计整批产品的次品率如何估计整批产品的次品率如何估计整批产品的次品率如何估计整批产品的次品率 ？为总体为总体为总体为总体则则则则现要根据抽检结果现要根据抽检结果现要根据抽检结果现要根据抽检结果, , , ,对未知参数对未知参数对未知参数对未知参数 的大小进行推断的大小进行推断的大小进行推断的大小进行推断. . . ., , , ,按题设按题设按题设按题设, , , ,从总体从总体从总体从总体 抽取了一个样本抽取了一个样本抽取了一个样本抽取了一个样本故可用故可用故可用故可用 作为作为作为作为 的估计的估计的估计的估计当当当当 较大时较大时较大时
3、较大时 与与与与 的的的的“差别差别差别差别”应该较小应该较小应该较小应该较小1 1 点估计点估计3 3/19/19第七章第七章 参数估计参数估计一般地一般地一般地一般地, , , ,整批产品寿命整批产品寿命整批产品寿命整批产品寿命从某厂生产的一批器件中随机抽取从某厂生产的一批器件中随机抽取从某厂生产的一批器件中随机抽取从某厂生产的一批器件中随机抽取10101010件，测得其件，测得其件，测得其件，测得其现要根据抽检结果现要根据抽检结果现要根据抽检结果现要根据抽检结果, , , ,对未知参数对未知参数对未知参数对未知参数 的大小进行推断的大小进行推断的大小进行推断的大小进行推断故器件的平均寿命
4、估计值为故器件的平均寿命估计值为故器件的平均寿命估计值为故器件的平均寿命估计值为寿命值分别为寿命值分别为寿命值分别为寿命值分别为试问怎样估计该批器件的平均寿命？试问怎样估计该批器件的平均寿命？试问怎样估计该批器件的平均寿命？试问怎样估计该批器件的平均寿命？( ( ( (小时小时小时小时) ) ) )按题设按题设按题设按题设, , , ,从总体从总体从总体从总体 抽取了一个容量为抽取了一个容量为抽取了一个容量为抽取了一个容量为 的样本的样本的样本的样本与与与与 的的的的“差别差别差别差别”应该较小应该较小应该较小应该较小 ( ( ( (小时小时小时小时) ) ) )1 1 点估计点估计4 4/1
5、9/19第七章第七章 参数估计参数估计未知参数未知参数未知参数未知参数设总体设总体设总体设总体其中其中其中其中 的函数形式为已知的函数形式为已知的函数形式为已知的函数形式为已知为未为未为未为未为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体 的样本的样本的样本的样本. . . .构造一个统计量构造一个统计量构造一个统计量构造一个统计量用统计用统计用统计用统计量观察值量观察值量观察值量观察值作为未知参数作为未知参数作为未知参数作为未知参数 的估计值的估计值的估计值的估计值. . . .为为为为 的的的的估计量估计量估计量估计量称称称称为为为为 的的的的估计值估计值估计值估计值称称称称1 1 点估计点估计
6、5 5/19/19第七章第七章 参数估计参数估计估计估计估计估计 的直观要求是的直观要求是的直观要求是的直观要求是用用用用估计的估计的估计的估计的“误差误差误差误差”应较小应较小应较小应较小当当当当 较大时较大时较大时较大时, , , ,估计的估计的估计的估计的“精度精度精度精度”应较高应较高应较高应较高对对对对“误差误差误差误差”“”“”“”“精度精度精度精度” ” ” ” 不同的解释不同的解释不同的解释不同的解释, , , ,有不同的有不同的有不同的有不同的估计方法估计方法估计方法估计方法（ch9ch9ch9ch9）1 1 点估计点估计6 6/19/19第七章第七章 参数估计参数估计设下列
7、总体矩都存在：设下列总体矩都存在：设下列总体矩都存在：设下列总体矩都存在：由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有故当故当故当故当 较大时较大时较大时较大时, , , ,可认为可认为可认为可认为又又又又设总体设总体设总体设总体为未知参数为未知参数为未知参数为未知参数, , , ,为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体 的样本的样本的样本的样本. . . .令令令令, , , ,解得解得解得解得 这是含变量这是含变量这是含变量这是含变量的方程组的方程组的方程组的方程组为为为为称称称称的的的的矩估计量矩估计量矩估计量矩估计量( ( ( (矩估计矩估计矩估计矩估计) ) )
8、 )未知参数真值未知参数真值未知参数真值未知参数真值近似值近似值近似值近似值是否一样？是否一样？是否一样？是否一样？1 1 点估计点估计7 7/19/19第七章第七章 参数估计参数估计总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为的样本的样本的样本的样本, , , ,为为为为总体总体总体总体设设设设求未知参数求未知参数求未知参数求未知参数 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计. . . .令令令令求得求得求得求得 的矩估计为的矩估计为的矩估计为的矩估计为的样本的样本的样本的样本, , , ,为为为为总体总体总体总体设设设设求未知参数
9、求未知参数求未知参数求未知参数 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计. . . .总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为令令令令求得求得求得求得 的矩估计为的矩估计为的矩估计为的矩估计为两例说明了什么两例说明了什么两例说明了什么两例说明了什么样本均值样本均值样本均值样本均值 是总体均值是总体均值是总体均值是总体均值 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计. . . .1 1 点估计点估计8 8/19/19第七章第七章 参数估计参数估计故令故令故令故令、方差、方差、方差、方差都存在都存在都存在都存在, , , ,设设设设总体总体总体
10、总体 的均值的均值的均值的均值为总体样本为总体样本为总体样本为总体样本, , , ,求未知参数求未知参数求未知参数求未知参数 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计. . . .因为因为因为因为 分别为总体一阶原点矩和二阶中心矩分别为总体一阶原点矩和二阶中心矩分别为总体一阶原点矩和二阶中心矩分别为总体一阶原点矩和二阶中心矩, , , ,样本一阶原点矩样本一阶原点矩样本一阶原点矩样本一阶原点矩样本二阶中心矩样本二阶中心矩样本二阶中心矩样本二阶中心矩故故故故 的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为其中其中其中其中 称为称为称为称为修正的样本方差修正的样本方差修正的样本方差修正的样本方差
11、. . . . 的矩估计分别是的矩估计分别是的矩估计分别是的矩估计分别是对于正态对于正态对于正态对于正态总体总体总体总体1 1 点估计点估计9 9/19/19第七章第七章 参数估计参数估计, , , ,故令故令故令故令解得解得解得解得 的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为的样本的样本的样本的样本, , , ,为为为为总体总体总体总体设设设设求未知参数求未知参数求未知参数求未知参数 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计. . . .其中其中其中其中总体二阶总体二阶总体二阶总体二阶中心矩中心矩中心矩中心矩样本二阶样本二阶样本二阶样本二阶中心矩中心矩中心矩中心矩从直观看该结果是否合理
12、？从直观看该结果是否合理？从直观看该结果是否合理？从直观看该结果是否合理？从直观看更好的估计应该是什么？从直观看更好的估计应该是什么？从直观看更好的估计应该是什么？从直观看更好的估计应该是什么？1 1 点估计点估计1010/19/19第七章第七章 参数估计参数估计 设设设设 为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体 的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数 的矩估计。的矩估计。的矩估计。的矩估计。总体一阶矩为总体一阶矩为总体一阶矩为总体一阶矩为样本一阶矩为样本一阶矩为样本一阶矩为样本一阶矩为令令令令求得求得求得求得 的矩估计为的矩估计为的矩估计为的矩估计为 .
13、. . .如果如果如果如果 都未知，怎样求都未知，怎样求都未知，怎样求都未知，怎样求 的矩估的矩估的矩估的矩估计计计计？1 1 点估计点估计1111/19/19第七章第七章 参数估计参数估计原理直观，是一种古老的参数估计方法原理直观，是一种古老的参数估计方法原理直观，是一种古老的参数估计方法原理直观，是一种古老的参数估计方法 只用到总体矩，用法简单，如果总体矩不存在，只用到总体矩，用法简单，如果总体矩不存在，只用到总体矩，用法简单，如果总体矩不存在，只用到总体矩，用法简单，如果总体矩不存在，则无法求参数的点估计则无法求参数的点估计则无法求参数的点估计则无法求参数的点估计 由于没有用到总体的分布
14、形式，所以总体分布由于没有用到总体的分布形式，所以总体分布由于没有用到总体的分布形式，所以总体分布由于没有用到总体的分布形式，所以总体分布包含的参数信息没有加以利用包含的参数信息没有加以利用包含的参数信息没有加以利用包含的参数信息没有加以利用 由于矩估计基于大数定律，所以在大样本下矩由于矩估计基于大数定律，所以在大样本下矩由于矩估计基于大数定律，所以在大样本下矩由于矩估计基于大数定律，所以在大样本下矩估计才有较好的效果估计才有较好的效果估计才有较好的效果估计才有较好的效果设设设设总体总体总体总体 X X 服从服从服从服从 Cauchy Cauchy 分布分布分布分布，其密度函数为，其密度函数为
15、，其密度函数为，其密度函数为则未知参数则未知参数则未知参数则未知参数 的矩估计不存在的矩估计不存在的矩估计不存在的矩估计不存在. . . .1 1 点估计点估计1212/19/19第七章第七章 参数估计参数估计 它它是是在在总总体体类类型型已已知知条条件件下下使使用用的的一一种种参参数数估估计方法计方法 . 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 . GaussFisher 然而然而,这个方法常这个方法常归功于英国统计学家归功于英国统计学家费歇费歇 . 费歇费歇在在1922年重新发现了这年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法一方法，并首先研究了这种方法
16、的一些性质的一些性质 .人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍费歇尔费歇尔费歇尔费歇尔费歇尔费歇尔1 1 点估计点估计1313/19/19第七章第七章 参数估计参数估计 先看一个简单例子：先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过 .是谁打中的呢？是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外某位同学与一位猎人一起外出打猎出打猎 .如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 .1 1 点估计点估计1414/19/19第七章第七章 参数估计参数估计 你就会想，只发一枪便打中你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率猎
17、人命中的概率一般大于这位同学命中的概率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是看来这一枪是猎人猎人射中射中的的 . 这个例子所作的推断就体现了极大似然法的基这个例子所作的推断就体现了极大似然法的基本思想本思想 .1 1 点估计点估计1515/19/19第七章第七章 参数估计参数估计例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答答: : 第一箱第一箱. .问问: : 所取的球来自哪一箱？1 1 点估计点估计1616/19/19第七章第七章 参数估计参数估计总体总体总体总体观
18、察值观察值观察值观察值怎样从事件的角度解释怎样从事件的角度解释怎样从事件的角度解释怎样从事件的角度解释：样本样本样本样本的观察值为的观察值为的观察值为的观察值为样本样本样本样本一般理解为一般理解为一般理解为一般理解为当当当当 为连续型总体时为连续型总体时为连续型总体时为连续型总体时 中随机点中随机点中随机点中随机点 落在以落在以落在以落在以 为中为中为中为中心的充分小的邻域心的充分小的邻域心的充分小的邻域心的充分小的邻域 内内内内若有若有若有若有 使得使得使得使得则则则则 可作为可作为可作为可作为 的估计的估计的估计的估计1 1 点估计点估计1717/19/19第七章第七章 参数估计参数估计设
19、设设设 是总体是总体是总体是总体 的样本的样本的样本的样本, , , ,令令令令, , , ,若存在统计量若存在统计量若存在统计量若存在统计量 使得使得使得使得称称称称 为为为为似然函数似然函数似然函数似然函数则称则称则称则称 为为为为 的的的的极大似然估计极大似然估计极大似然估计极大似然估计, , , ,简记为简记为简记为简记为1 1 点估计点估计1818/19/19第七章第七章 参数估计参数估计似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为设总体服从指数分布设总体服从指数分布设总体服从指数分布设总体服从指数分布 其密度为其密度为其密度为其密度为因为因为因为因为 与与与与 有相同的极值点，故令有相
20、同的极值点，故令有相同的极值点，故令有相同的极值点，故令解似然方程，求得解似然方程，求得解似然方程，求得解似然方程，求得 的的的的 MLEMLE 为为为为称为似然方程称为似然方程称为似然方程称为似然方程是来自总体的样本，试求是来自总体的样本，试求是来自总体的样本，试求是来自总体的样本，试求 的的的的1 1 点估计点估计1919/19/19第七章第七章 参数估计参数估计求似然函数求似然函数求似然函数求似然函数设设设设 是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本的样本的样本的样本写似然方程写似然方程写似然方程写似然方程( ( ( (组组组组) ) ) )概率函数概率函数概率函数概率函数：密度
21、或分布律密度或分布律密度或分布律密度或分布律解似然方程解似然方程解似然方程解似然方程( ( ( (组组组组) ) ) )，则，则，则，则 的的的的 为为为为1 1 点估计点估计2020/19/19第七章第七章 参数估计参数估计由由由由 解得解得解得解得似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为 设设设设 是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样的样的样的样本本本本, , , ,试求未知参数试求未知参数试求未知参数试求未知参数 的的的的 MLEMLE . . . .令令令令，代入，代入，代入，代入 解得解得解得解得故故故故 的的的的 MLEMLE 分别为分别为分别为分别为1 1 点估计点估计
22、2121/19/19第七章第七章 参数估计参数估计似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为 设设设设 为来自均匀分布为来自均匀分布为来自均匀分布为来自均匀分布总体总体总体总体 的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数 的的的的 MLEMLE . . . .显然从似然方程无法求得显然从似然方程无法求得显然从似然方程无法求得显然从似然方程无法求得 MLEMLE . .令令令令其中其中其中其中所以所以所以所以 的的的的 MLEMLE 是是是是1 1 点估计点估计2222/19/19第七章第七章 参数估计参数估计习题习题习题习题：P173 2P173 2、3 3、4 4作业作业
