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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,0,2025届高考数学一轮复习讲义,三角函数之,任意角和弧度制、三角函数的概念,1.角的概念的推广,（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.,（2）分类：按旋转方向，角可以分成三类：,_,、负角和,_,.,正角,零角,（3）终边相同的角:所有与角,终边相同的角，连同角,在内，可构成,一个集合,_,，即任一与角,终边相同的,角，都可以表示成角,与整数个周角的和.,，,终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同,.,
2、2.弧度制的定义和公式,（1）定义：长度等于,_,的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧,度单位用符号,表示，读作弧度.,半径长,（2）公式,角,的弧度数公式,（,表示弧长）,角度与弧度的换算,;,_,_,弧长公式,_,扇形面积公式,_,角度与弧度换算的关键是,=,，在同一个式子中，采,用的度量制度必须一致，不可混用,.,3.任意角的三角函数,（1）定义：设,是一个任意角，,，它的终边,与单位圆相交于点,那么,_,_,_,.,（2）定义的推广:设,是角,的终边上异于顶点的任意一点，其到原,点,的距离为,则,.,（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，,如图.,1.象限角
3、的集合,2.轴线角的集合,3.,所在象限与,所在象限的关系,所在象限,一,二,三,四,所在象限,一、三,一、三,二、四,二、四,1.角,的终边所在的象限是(,),A.第一象限,B.第二象限,C.第三象限,D.第四象限,解,析：,选D.因为,所以角,与角,是终边相同的角，又,所以角,的终边在第四象限，即角,的终边在第四象限.,2.已知,为第一象限角，且,则,的终边在第,_,象限.,三,解析：,因为,为第一象限角，所以,为第一或第三象限角，又,，所以,所以,的终边在第三象限.,例1,（多选）下列命题正确的是(,),A.终边落在,轴的非负半轴的角的集合为,B.终边落在,轴上的角的集合为,C.第三象限
4、角的集合为,D.在,范围内所有与,角终边相同的角为,和,考点一,任意角与终边相同的角,解析：,A显然正确;对于B,终边落在,轴上的角的集合为,角度与弧度不能混用,故B错误;对于C,第三象限角的,集合为,故C错误;对于D,所有与,角,终边相同的角可表示为,令,解得,从而当,时,;当,时,故D正确.,（1）象限角的判断方法,图象法:在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断,已知角是第几象限角.,转化法:将已知角化为,的形式,即找出与已知,角终边相同的角,由,所在象限判断已知角所在象限.,（2）确定,的终边位置的步骤,用终边相同的角的形式表示出角,的范围.,写出,或,的范围.,根据,的
5、可能取值确定,或,的终边所在的位置.,1.集合,中的角所表示的范围（阴影部分）,是(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选C.当,时,此时,表示的范,围与,表示的范围一样;当,时,此时,表示的范围与,表示的范围一样.,2.若,是第二象限角,则(,),A.,是第一象限角,B.,是第三象限角,C.,是第二象限角,D.,是第三或第四象限角或在,轴的负半轴上,解析：,选D.由,是第二象限角,可得,.对于A,可得,此时,位于第三象限,故A错误;,对于B,可得,当,为偶数时,位于第一象限，当,为奇数时,位于第三象限,故B错误;对于C,可得,即,所以,位于第一象限,故,C错误;对于D,可得,所以,是第三或
6、第,四象限角或在,轴的负半轴上,故D正确.,例2,已知一扇形的圆心角为,弧长为,周长为,面积为,半径为,.,（1）若,求扇形的弧长;,【解】,扇形的弧长,.,考点二 扇形的弧长及面积公式,（2）若,求,的最大值及此时扇形的半径和圆心角.,【解】方法一,:由题意知,所以,则,当,时,所以,的最大值是,此时扇形的半径是,圆心角,.,方法二:,当且仅当,即,时，,取得最大值，最大值是,，此时扇形的圆心角,.,应用弧度制解决问题的思路,（,1,）求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式,求最值问题；,（,2,）在解决弧长问题、扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三,角形,.,运用
7、弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位,为弧度,.,1.已知一扇形的弧长为,面积为,则其半径,_,圆心角,_,.,2,解析：,因为扇形的弧长为,，所以,解得,.由,解得,.,2.已知一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的,，面积等,于圆面积的,，则扇形的弧长与圆的周长的比为,_,.,解析：,设圆的半径为,则扇形的半径为,记扇形的圆心角为,则,，所以,.所以扇形的弧长与圆的周长的比为,.,角度1,三角函数的定义,例3,已知角,的终边上一点,且,则,_,_,_,.,或,考点三 三角函数的定义及其应用,解析：,设,由题设知,所以,（,为坐标原点），即,所以,所以,即,解得,.当
8、,时，,所以,;当,时，,所以,.,三角函数定义的应用,（,1,）已知角 的终边上一点的坐标，可先求出点 到原点的距离,=,然后利用三角函数的定义求解,.,（,2,）已知角 的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求,出此点到坐标原点的距离，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况,讨论,.,若角的终边在一条直线上，用参数设点的坐标时，要注意参数,的取值范围,.,角度2,三角函数值符号的判定,例4（1）,点,落在(,),A.第一象限内,B.第二象限内,C.第三象限内,D.第四象限内,解,析：,因为,所以点,落在,第四象限内.,（2）若角,是第四象限角，则,_,.,解析：,由题知，,，,，
9、,，,所以,.,三角函数值符号的判断方法,要判断三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确,定所在象限，那就要分类讨论进行求解.,1.已知点,是角,的终边上一点，则,(,),A.,B.,C.,D.,解析：,选B.依题意，点,的坐标为,则,为坐标原点）,故,.,2.（多选）已知角,的终边经过点,且,与,的终边关于,轴对,称，则下列选项正确的是,(,),A.,B.,为钝角,C.,D.点,在第一象限,解析：,选,.角,的终边经过点,，,A正确；,与,的终边关于,轴对称，由题意得,的终边经过点,，,为第二象,限角，不一定为钝角，,B错误，C正确；因为,所以点,在第一象限，D正确.,
