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1、第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1 1页页第八章第八章 二重积分二重积分8.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2 2页页柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积8.1.1 二重积分的概念第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第8 8页页解法解法: 类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：底： xOy 面上
2、的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第9 9页页1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1010页页4)“取极限”令第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1111页页二、二重积
3、分的定义二、二重积分的定义定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积可积 , 在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1212页页则曲顶柱体体积:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1313页页对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几
4、何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1414页页二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数定理2.定理1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, 在 D :上二重积分存在 ;在D 上 二重积分不存在 . 第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/
5、20248/30/2024第第1515页页性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质1+（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1616页页性质性质2对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质3若若 为为D的面积，的面积，性质性质4若在若在D上上特殊地特殊地则有则有无公共内点，则无公共内点，则第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1717页页性质性质5性质性质6（二重积分中值定理）二重积分中值定理）（二
6、重积分估值不等式）二重积分估值不等式）第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1818页页解解第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第1919页页解解第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2020页页解解第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2121页页思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.第八章
7、第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2222页页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为同的是定积分的积分区域为区间区间，被积函数为，被积函数为定义在区间上的定义在区间上的一元函数一元函数，而二重积分的积分，而二重积分的积分区域为区域为平面区域平面区域，被积函数为定义在平面区域，被积函数为定义在平面区域上的上的二元函数二元函数思考题解答思考题解答第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/3
8、0/2024第第2323页页例例1. 比较下列积分的大小:其中解解: 积分域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线从而而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2424页页例例2. 估计下列积分之值解解: D 的面积为由于积分性质5即: 1.96 I 2D第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2525页页例例3. 判断积分的正负号.解解: 分积分域为则原式 =猜想结果为负 但不好估计 .舍去此项第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴
9、学院8/30/20248/30/2024第第2626页页4. 设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2727页页被积函数相同, 且非负, 解解: 由它们的积分域范围可知5. 比较下列积分值的大小关系:第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2828页页6. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第2929页页7. 证明:其中D 为解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第3030页页8. 估计 的值, 其中 D 为解解: 被积函数D 的面积的最大值的最小值第八章第八章 二重积分二重积分 嘉兴学院嘉兴学院8/30/20248/30/2024第第3131页页9. 判断的正负.解：解：当时，故又当时，于是
