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1、n重点难点n重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用n难点：定理的灵活运用n知识归纳n一、直线与平面平行n1判定方法n(1)用定义：直线与平面无公共点n二、平面与平面平行n1判定方法n(1)用定义：两个平面无公共点n3两条直线被三个平行平面所截，截得线段对应成比例n误区警示n1应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结论，明确这个定理是干什么用的，具备什么条件才能用其中线面平行的性质定理是核心，证题时，找(或作)出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键，另外在证明平行关系时，常见
2、错误是(1)“两条直线没有公共点则平行”；(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”，不恰当的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来，解决的关键是先说明它们在同一个平面内n2注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在”等量词的含义n3注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时，不是两平面内的任意直线，必须找或作出第三个平面与两个平面都相交，则交线平行n应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相交”二字决不可忽视n4要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情形n一、转化的思想n解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化n二、解题技巧n要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要
3、以某一定理为理论依据n例1已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：n若m，则m平行于平面内的任意一条直线n若，m，n，则mnn若m，n，mn，则n若，m，则mn上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)n解析：若m，则m平行于过m作平面与相交的交线，并非内任一条直线，故错；n若，m，n，则可能mn，也可能m、n异面，故错；n答案：n点评：解决这类问题首先要熟悉线面位置关系的各个定理，如果是单项选择，则可以从中先选最熟悉最容易作出判断的选项先确定或排除，再逐步考察其余选项要特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形等n(2010浙江理)设m，l是两条不同的直线
4、，是一个平面，则下列命题正确的是()nA若lm，m，则lnB若l，lm，则mnC若l，m，则lmnD若l，m，则lmn解析：两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.n答案：Bn例2(文)在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点求证：n(1)直线EF平面ACD；n(2)平面EFC平面BCD.n解析：(1)在ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EFAD.n又AD平面ACD，EF 平面ACD，n所以直线EF平面ACD.n(2)在ABD中，因为ADBD，EFAD，所以EFBD.n在BCD中，因为CDCB，F为BD的中点，所以CFBD.
5、n因为EF平面EFC，CF平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD平面EFC.n又因为BD平面BCD，所以平面EFC平面BCD.n(理)如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.n(1)求证：AEBE；n(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN平面DAE.n证明：(1)因为BC平面ABE，AE平面ABE，n所以AEBC.n又BF平面ACE，AE平面ACE，n所以AEBF.n又BFBCB，n所以AE平面BCE.n又BE平面BCE，所以AEBE.n故四边形AMNP是平行四边形所以MNAP，n而AP平面DAE，MN 平面DAE，所以MNDAE
6、.n证法二：取BE中点G，连结GM、GN，GNBC，BCDA，GNDA，又GMAE，平面MGN平面DAE，从而证明MN平面DAE.n四边形AGEF为平行四边形，nAFEG，nEG平面BDE，AF 平面BDE，nAF平面BDE.n(2)连结FG.nEFCG，EFCG1且CE1，n四边形CEFG为菱形，nEGCF.n四边形ABCD为正方形，ACBD.n又平面ACEF平面ABCD且平面ACEF平面ABCDAC，BD平面ACEF，CFBD.n又BDEGG，CF平面BDE.n例3(2010山东青岛)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、
7、DA的中点n(1)求证：平面AD1E平面BGF；n(2)求证：D1E平面AEC.n证明：(1)E，F分别是棱BB1，DD1的中点，nBE綊D1F.四边形BED1F为平行四边形D1EBF.n又D1E平面AD1E，BF 平面AD1E，nBF平面AD1E.n又G是棱DA的中点，GFAD1.n又AD1平面AD1E，GF 平面AD1E，nGF平面AD1E.n又BFGFF，平面AD1E平面BGF.nACBD，ACD1D，AC平面BDD1B1.n又D1E平面BDD1B1，ACD1E.n又ACAEA，D1E平面AEC.n(2010大连模拟)平面平面的一个充分条件是n()nA存在一条直线a，a，anB存在一条直
8、线a，a，anC存在两条平行直线a、b，a、b、a、bnD存在两条异面直线a、b，a、b、a、bn解析：在正方形ABCDA1B1C1D1中，取ABCD为，ADD1A1为，B1C1为直线a，可知A错；如图(1)，l，a，al，可知满足B的条件，故B错；如图(2)，l，a，b，al，bl，满足a，b，故C错；由面面平行的判定定理知D正确n答案：Dn例4用平行于四面体ABCD一组对棱AB、CD的平面截此四面体(如图)n(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；n(2)如果ABCDa.求证：四边形MNPQ的周长为定值；n(3)如果ABa，CDb，AB、CD成角求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时点
9、M的位置n分析：(1)由AB平面MNPQ及线面平行的性质定理得到四边形一组对边平行，由CD平面MNPQ得到另一组对边平行n(2)由平行得到比例关系，将四边形MNPQ的两邻边的和用AB(CD)表达出来n(3)利用正弦定理将四边形面积用两邻边表示，设四边形一个顶点(如M)到四面体的M所在棱的端点的距离为x(如AMx)，将面积表达为x的函数求极值n解析：(1)AB平面MNPQ.n平面ABC平面MNPQMN.且AB平面ABC.n由线面平行的性质定理知，nABMN.同理可得PQAB.n由平行公理可知MNPQ.n同理可得MQNP.n截面四边形MNPQ为平行四边形n又ABCDa，MNMQa.n平行四边形MN
10、PQ的周长为n2(MNMQ)2a定值n(3)设ACc，AMx.由(1)得：n如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形ABCD所确定的平面外，且AA、BB、CC、DD互相平行求证：四边形ABCD是平行四边形n分析：欲证四边形ABCD为平行四边形，须证其两组对边分别平行，欲证ADBC，从图中可见AD、BC是平面ABCD与平面AADD和BBCC的交线，故只须证平面AADD平面BBCC.ABCD同样可找到证明思路n解析：四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AABB，且AA、AD是平面AADD内的两条相交直线，BB、BC是平面BBCC内的两条相交直线，平面AADD平面BBCC
11、.又AD、BC分别是平面ABCD与平面AADD、平面BBCC的交线，故ADBC.同理可证ABCD.四边形ABCD是平行四边形.n例5如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE.n(1)求三棱锥DAEC的体积；n(2)设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上的确定一点N，使得MN平面DAE.n解析：(1)AD平面ABE，ADBC，nBC平面ABE，则AEBC.nBF平面ACE，则AEBF，nBCBFB，且BC、BF平面BCE，nAE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE.nMGAE，MG 平面ADE，AE平面ADE，MG平面ADE，同理
12、，GN平面ADE，平面MGN平面ADE.n又MN平面MGN，MN平面ADE.nN点为线段CE上靠近C点的一个三等分点n(文)(2010烟台中英文学校质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC60，PA平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PAAB2.n(1)证明：BC平面AMN；n(2)求三棱锥NAMC的体积；n(3)在线段PD上是否存在一点E，使得NM平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由n解析：(1)因为ABCD为菱形，所以ABBC，n又ABC60，所以ABBCAC，n又M为BC中点，所以BCAMn而PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC
13、，n又PAAMA，所以BC平面AMN.n(1)求证：平面PAC平面PCD；n(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由n由勾股定理得ACCD，n又PA平面ABCD，CD平面ABCD，nPACD，PAACA，CD平面PAC，n又CD平面PCD，平面PAC平面PCD.n(2)证明：作CFAB交AD于F，作EFAP交PD于E，连接CE，nCFAB，EFPA，CFEFF，PAABA，n平面EFC平面PAB，n又CE在平面EFC内，CE平面PAB，nE为PD中点，故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE平面APB.n一、选择题n1(2010山东文，
14、4)在空间，下列命题正确的是n()nA平行直线的平行投影重合nB平行于同一直线的两个平面平行nC垂直于同一平面的两个平面平行nD垂直于同一平面的两条直线平行n答案Dn解析当两平行直线都与投影面垂直时，其在内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面相交但不垂直时，其在内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确n2(2
15、010胶州三中)已知有m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是n()nA若m，n，m，n，则nB若m，n，则mnnC若m，mn，则nnD若mn，n，则mn答案Dn解析A中两直线m与n相交时，才能得出结论，故A错；B中分别在两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，故B错；C中n可能在平面内，故C错nAEHFGnB四边形EFGH是矩形nC是棱柱nD是棱台n答案Dn解析EHA1D1，A1D1B1C1，EHB1C1nB1C1平面EFGH，B1C1FG，nEHFG，四边形EFGH是矩形，是棱柱，故选D. n4如果直线l、m与平面、满足l，l，m和m，那么必有()nAm且lm
16、B且nC且m D且lmn答案Dn1(2010寿光现代中学)已知直线m，n，l是互不重合的直线，平面，是互不重合的平面，给出下列四个命题：n(1)m，lA，A m，则l与m不共面；n(2)l，m是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；n(3)若l，m，lmA，l，m，则；n(4)若l，m，则lm.n其中为真命题的是()nA(1)(2) B(1)(2)(3)nC(1)(3) D(2)(3)(4)n答案Bn解析根据异面直线的定义，容易判断命题(1)正确；对于命题(2)，对于l，m，故在平面内可找到两条直线l，m分别与l，m平行，同时由于l，m是异面直线，故l，m必定为相交直线，再由nl，nm，可得n
17、l，nm，故n；对于命题(3)，根据两平面平行的判定定理可知其为真命题；对于命题(4)，易知l，m的位置关系是不确定的综上可得，真命题是(1)(2)(3)n2(2010西城测试)如图，平面平面，l，A，C是内不同的两点，B，D是内不同的两点，且A，B，C，D 直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点下列判断正确的是()nA当CD2AB时，M，N两点不可能重合nBM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交nC当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交nD当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行n答案Bn解析当M、N重合时，四边形ABCD为平行四边形，故ACBDl，此时直线AC与l不可能相交，B正确，易知A、C、D均不正确n点评D选项可用反证法证明：假设MNl，过N作AB綊AB可知MNBB，BBl，又四边形ACBD为平行四边形，ACDB，由线面平行的判定定理和性质定理知，DBl，B、D、B共线，A、B、C、D共面，这与AB、CD是异面直线矛盾
