《一函数的连续》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一函数的连续（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上页下页结束返回首页铃一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点1. 8 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、函数的连续性一、函数的连续性变量的增量变量的增量 若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u的增量 记作Du 即Du =u2-u1 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 当自变量x在该邻域内从x0变到x0+Dx时 对应的函数 y 的增量为Dy= f(x0+Dx)- f(x0) 函数的增量函数的增量y=f(x)f(x0)x0+Dxx0 f(x0+Dx)DxDy提问提问 变量的增量一定大于零吗
2、？ 下页上页下页铃结束返回首页 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果函数连续的定义函数连续的定义那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 等价关系等价关系 设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此下页上页下页铃结束返回首页讨论讨论 如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？ e 0 d 0 x |x-x0|d 有|f(x)- f(x0)|e 提示提示 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果函数连续的定义函数连续的定义那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 下页上页下页铃结束返回首页 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义 如果函数连续的
3、定义函数连续的定义那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续 左右连续性左右连续性左右连续与连续的关系左右连续与连续的关系 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续 下页上页下页铃结束返回首页函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 连续函数举例连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定义 并且下页上页下页铃结束返回首页 2 函数 y=
4、sin x 在区间(- +)内是连续的 这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有定义 并且函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 连续函数举例连续函数举例首页上页下页铃结束返回首页二、函数的间断点二、函数的间断点间断点的定义间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一 (1)在x0没有定义则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断
5、点 (2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在 (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)下页上页下页铃结束返回首页间断点举例间断点举例 例例1 下页上页下页铃结束返回首页 例例2 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0称为函数的振荡间断点 间断点举例间断点举例下页上页下页铃结束返回首页211所以点x=1是函数的间断点 如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点 间断点举例间断点举例 例例3 下页上页下页铃结束返回首页所以x=1是函数f(x)的间断点 如果改变函数f(x)在x=
6、1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 所以x=1也称为此函数的可去间断点 111/2y=f(x)间断点举例间断点举例 例例4 下页上页下页铃结束返回首页 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点 -11y=x+1y=x-1间断点举例间断点举例 例例5 下页上页下页铃结束返回首页 通常把间断点分成两类通常把间断点分成两类 设设 x0是函数是函数f(x)的间断点的间断点 如果左极限如果左极限f(x0- -0)及右极及右极限限f(x0+ +0)都存在都存在 那么那么x0称为函数称为函数f(x)的的第一类间断点第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点不属于第一类间断点的间断点 称为称为第二类间断点第二类间断点 在在第一类间断点第一类间断点中中 左、右极限相等者称为左、右极限相等者称为可去间可去间断点断点 不相等者称为不相等者称为跳跃间断点跳跃间断点 无穷间断点无穷间断点和和振荡间断点振荡间断点显然是显然是第二间断点第二间断点 间断点的类型间断点的类型下页上页下页铃结束返回首页 例例6 解解 下页从而从而在点x=1处连续，试确定常数a,b的值.要使f(x)在点x=1处连续，必须满足上页下页铃结束返回首页 例例7 解解 从而从而确定常数a的值，使f(x)在x=0处连续.要使f(x)在点x=0处连续，必须满足结束
