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1、第四章第四章 理想流体的动力学基础理想流体的动力学基础v本章研究无粘性流体运动参量及所受的本章研究无粘性流体运动参量及所受的力与动量之间的关系。首先导出理想流力与动量之间的关系。首先导出理想流体欧拉运动微分方程，然后转变为葛罗体欧拉运动微分方程，然后转变为葛罗米柯形式，并在特殊条件下积分得到能米柯形式，并在特殊条件下积分得到能量关系式。量关系式。第一节第一节 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程在牛顿第二定律基础上给出微分方程式。在牛顿第二定律基础上给出微分方程式。如图：如图：ozxyp-p/ydy/2p+p/ydy/2QA(x,y,z)在流体中取平行六面微元体，边长在流体中取平行六面微元
2、体，边长dx，dy，dz 。在某时刻在某时刻t，中心中心A（x,y,z）处，压处，压强强p（x,y,z,t），中心速度中心速度v分量分量vx，vy，vz 。因为是理想流体，无牛顿内摩擦力存在，因为是理想流体，无牛顿内摩擦力存在，只有法向压力。只有法向压力。先看质量力，先看质量力，FQ分力：分力：再看表面力，按泰勒展开，略去二阶以上再看表面力，按泰勒展开，略去二阶以上微小量，于是：微小量，于是：在在y轴方向表面力轴方向表面力按第二定律，产生按第二定律，产生ay加速度，加速度，m=dxdydz同理得同理得x，z方向即：方向即：（4-1）向量：向量： （4-）(4-1)(4-1)变形变形（4-）向量
3、：向量： （4-）这就是理想流体运动运动微分方程这就是理想流体运动运动微分方程欧欧拉方程拉方程。（4-34-3）中未知量：中未知量：对静止流体对静止流体变为变为平衡欧拉方程平衡欧拉方程。fx , fy , fz已知，联立连续方程已知，联立连续方程对不可压缩对不可压缩= =const，四个方程封闭可解。四个方程封闭可解。例：对可压流体，加上连续方程，状态方程例：对可压流体，加上连续方程，状态方程=f（p，T），封闭。虽然理论上可解，但是初封闭。虽然理论上可解，但是初始条件，边界条件难以用数学表达给出，一始条件，边界条件难以用数学表达给出，一般不可解。般不可解。 第二节第二节 运动微分方程的葛罗米
4、柯运动微分方程的葛罗米柯兰姆形式兰姆形式代入代入（4-34-3），有：，有：向量：向量： （4-6）假定：（假定：（1 1）质量力是有势力，存在力函数）质量力是有势力，存在力函数U（x,y,z,t），），有有。(2(2）=f(p)，p(x,y,z,t)，引入压力函数引入压力函数微分微分（4-7）dx,dy,dz 系数相同，于是：系数相同，于是： 对于对于= =const，展开：展开： 对等温下，可压缩流体：对等温下，可压缩流体：有有对等熵变化对等熵变化 于是于是（4-54-5）式变为式变为 即为即为葛罗米柯葛罗米柯兰姆形式兰姆形式。由此可见：运动有有旋、有势之分。由此可见：运动有有旋、有势之分
5、。第三节第三节 恒定有旋流动沿流线的恒定有旋流动沿流线的伯努利方程伯努利方程 先做如下假定：先做如下假定：v（）理想流体恒定流动；（）理想流体恒定流动；v（）质量力有势；（）质量力有势；v（）正压流体，（）正压流体，v（）沿流线积分。（）沿流线积分。 由条件（由条件（1 1） ；葛罗米柯形式含有葛罗米柯形式含有（2 2），（），（3 3）两个条件。两个条件。 于是变为于是变为 对恒定流动，迹线与流线重合，沿流线积分对恒定流动，迹线与流线重合，沿流线积分即沿迹线积分。即沿迹线积分。由于由于dl=vdt，dl分量为分量为dx,dy,dz，dx=vxdt, dy=vydt，dz=vzdt.将上式各式
6、左边分乘将上式各式左边分乘dx,dy,dz，右边分乘右边分乘vxdt，vydt，vzdt，相加，有，相加，有 对不同流线，对不同流线，Cl 不同，而在同一流线上，势不同，而在同一流线上，势能，压力能，动能之和为常数。能，压力能，动能之和为常数。积分积分我们是在有旋条件下得到，而在结果上却我们是在有旋条件下得到，而在结果上却与有旋，无旋无关，只要是理想，正压，质与有旋，无旋无关，只要是理想，正压，质量力有势，恒定沿流线即可。量力有势，恒定沿流线即可。 第四节第四节 恒定有势流动中的欧拉积分恒定有势流动中的欧拉积分恒定流动，恒定流动，有势则：有势则：葛葛兰方程变成兰方程变成 与与x,y,z无关，也
7、与无关，也与t无关，分乘无关，分乘dx,dy,dz，相加，再积分：相加，再积分：此为此为欧拉积分欧拉积分。说明说明：只要理想，正压，流体在有势质量力：只要理想，正压，流体在有势质量力作用下做恒定无旋运动，任一微团的三项和作用下做恒定无旋运动，任一微团的三项和为常数。与伯努利积分的不同在于为常数。与伯努利积分的不同在于欧拉积分欧拉积分没有沿流线的限制。没有沿流线的限制。代入兰姆方程代入兰姆方程： 第五节第五节 非恒定有势流动的拉格朗日非恒定有势流动的拉格朗日积分积分与与x,y,z无关，为无关，为t的函数，的函数，对于有旋，只在同一流线上才成立。对于有旋，只在同一流线上才成立。称称拉格朗日或柯西积
8、分拉格朗日或柯西积分。对不可压缩流体，若恒定流动，则变为：对不可压缩流体，若恒定流动，则变为： 转化为转化为欧拉积分欧拉积分。对于任一质点都成立。对于任一质点都成立。显然伯努利方程只适用于有旋。显然伯努利方程只适用于有旋。第六节第六节 重力作用下的伯努利方程重力作用下的伯努利方程对不可压缩流体做恒定流动，则均为：对不可压缩流体做恒定流动，则均为：则则 U=-gz， 只不过伯努利方程只对流线适用，有旋。只不过伯努利方程只对流线适用，有旋。 而对而对欧拉（拉格朗日）积分，对整个流场适用欧拉（拉格朗日）积分，对整个流场适用。若质量力只有重力，则若质量力只有重力，则fx=0，fy=0，fz=-g。 为
9、理想不可压缩流体在重力作用下（绝对为理想不可压缩流体在重力作用下（绝对运动）恒定流动的伯努利方程运动）恒定流动的伯努利方程。或方程简单但重要，注意方程简单但重要，注意限制条件限制条件：（1 1）理想流体，恒定流动；理想流体，恒定流动；（2 2）不可压缩；不可压缩；（3 3）只有重力作用；只有重力作用；（4 4）有旋只适用同一流线，无旋对任一质点有旋只适用同一流线，无旋对任一质点 均成立。均成立。第七节第七节 伯努利方程的意义伯努利方程的意义 每一项均表示单位重力液体具有的水头。每一项均表示单位重力液体具有的水头。（1 1）z研究点相对于基准面的几何高度，研究点相对于基准面的几何高度，称为称为位
10、置水头位置水头；（2 2）p/g研究点压强对应的高度，表示与研究点压强对应的高度，表示与压强相当的液柱高度，称压强相当的液柱高度，称测压管水头测压管水头；（3）v2/2g速度对应的高度，称速度水头。速度对应的高度，称速度水头。 1.几何意义几何意义即：即：几何高度，测压管高度，测速管高度几何高度，测压管高度，测速管高度之和为常数。之和为常数。若无旋，三项之和为常数，若有旋，沿同若无旋，三项之和为常数，若有旋，沿同一流线三项之和为常数。连接三项和的各一流线三项之和为常数。连接三项和的各点即为到某基准面一定高度的点即为到某基准面一定高度的水平线水平线。在。在静力学中，速度头为静力学中，速度头为0
11、0， z+p/g =C；z相同，相同，测压管水头为水平线。测压管水头为水平线。在动力学中，由于在动力学中，由于v2/2g存在，测压管水头存在，测压管水头不是水平线，随速度头变化而变化，该项不是水平线，随速度头变化而变化，该项也成为动压头。也成为动压头。2.2.能量意义能量意义每项表示单位重力流体具有的能量每项表示单位重力流体具有的能量。z 位置势能；位置势能；p/g 压力势能；压力势能；v2/2g 动能。动能。而而z+p/g为总位能，即：三项和为位能与动为总位能，即：三项和为位能与动能之和，即总机械能为常数。能之和，即总机械能为常数。若有旋：同一流线机械能相同，不同流线不若有旋：同一流线机械能
12、相同，不同流线不同；对于无旋，各处均相同。同；对于无旋，各处均相同。从三项和为常数也可以看出，若其中一项变从三项和为常数也可以看出，若其中一项变化，其余的也随着变化，但总和不变，即三化，其余的也随着变化，但总和不变，即三种能量可以相互转化，这正是种能量可以相互转化，这正是能量守恒原理能量守恒原理在流体力学中的表现方式。在流体力学中的表现方式。第八节第八节 相对运动中的伯努利方程相对运动中的伯努利方程 流体在流体在流体机械流体机械（如：水泵，风机，水轮机）（如：水泵，风机，水轮机）中流动时，不是绝对恒定运动，而是相对恒中流动时，不是绝对恒定运动，而是相对恒定。如图：定。如图：xyr1r212Av
13、uwor 与绝对恒定相比与绝对恒定相比有如下不同有如下不同：（1 1）人人观观察察的的是是质质点点相相对对速速度度，而而非非绝绝对对速速度度 ；（2 2）作作用用在在流流体体上上的的质质量量力力；除除重重力力外外还还有有离心力。离心力。 叶叶轮轮以以恒恒定定转转动动，若若将将坐坐标标系系xoy固固定定在在叶叶轮轮上上，随随叶叶轮轮转转动动，此此时时质质点点相相对对叶叶轮轮做绝对运动，因为相对于地面是不恒定的。做绝对运动，因为相对于地面是不恒定的。取流线取流线1-2，流体沿，流体沿1-2流动，流动恒定，流动，流动恒定，1-2为迹线。为迹线。流线上流线上A点，一方面随叶轮以点，一方面随叶轮以u=r
14、做牵连运动，做牵连运动，另一方面，又以速度另一方面，又以速度w相对叶轮运动，故伯努相对叶轮运动，故伯努利积分为：利积分为： v=w，单位质量上离心力为，单位质量上离心力为2r，于是，于是，fx=2x，fy=2y，fz=-g，dU=fxdx+fydy+fzdz=2xdx+2ydy+(-g)dz，U=2x2/2+2y2/2-gz+C=2r2/2-gz+C，伯努利积分变为：伯努利积分变为：对不可压缩对不可压缩=const, 又又u=r,各项除以各项除以g， 对任意的对任意的1，2两点有：两点有：上式称上式称理想流体微小流束相对恒定流动的伯努理想流体微小流束相对恒定流动的伯努利方程利方程，与绝对运动相
15、比，多了（，与绝对运动相比，多了（u22-u12）/2g一项，这一项为单位质量流体在离心力作用下一项，这一项为单位质量流体在离心力作用下做的功。做的功。 当当r变化时，离心力做功，变化时，离心力做功，r不变，不做功。从不变，不做功。从r1到到r2，离心力做功为，离心力做功为：设： 则： 当当r2r1时，流体沿离心力方向运动，时，流体沿离心力方向运动，做正功，称做正功，称水泵工况水泵工况；此时，；此时，流体从中流体从中心进入，从圆周方向切向流出心进入，从圆周方向切向流出。 当当r2r1时，流体沿离心力反方向运动，时，流体沿离心力反方向运动，做负功，称做负功，称水轮机工况水轮机工况。此时，。此时，
16、流体从流体从圆周方向切向进入，从中心流出圆周方向切向进入，从中心流出。第九节第九节 非恒定有旋运动中的非恒定有旋运动中的伯努利积分伯努利积分 非恒定非恒定 则葛则葛兰方程为：兰方程为：假定：流体为正压假定：流体为正压，设在设在t时刻，沿流线取时刻，沿流线取dl 微元段，则：微元段，则：同理：同理：故故：以三项分乘葛以三项分乘葛兰方程左、右端，再相加：兰方程左、右端，再相加：对某瞬时（固定对某瞬时（固定t），则：左为全微分，即：），则：左为全微分，即：从从12积分，积分，若不可压缩若不可压缩,只有重力，只有重力，U=-gz，正压流体，正压流体P=p/令：令：是由非恒定造成的，称是由非恒定造成的，
17、称惯性能性能头，为当地加速当地加速度度 所具有的惯性力对单位重量流体所做的所具有的惯性力对单位重量流体所做的功。功。 注意注意， 可正可负，由可正可负，由 决定，决定，对对断断面面不不变变的的流流束束，任任意意时时刻刻均均有有相相同同的的加加速度，即：速度，即：上式变为：上式变为：为为12间流线长。间流线长。注意：注意：可用来解决管内匀加速运动流体的可用来解决管内匀加速运动流体的振荡问题振荡问题。本章小结：本章小结：1 1、流体运动微分方程、流体运动微分方程欧拉运动方程欧拉运动方程2 2、G GL L形式的意义形式的意义3 3、伯伯努努利利积积分分、欧欧拉拉积积分分、拉拉格格朗朗日日积积分分的的条件条件4 4、相对运动的水泵、水轮机工况、相对运动的水泵、水轮机工况5 5、伯努利积分的物理意义、伯努利积分的物理意义
