《结构力学课件 第十四章 结构动力学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构力学课件 第十四章 结构动力学（114页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十四章第十四章 结构动力学结构动力学14-1. 概述概述1.1 1.1 1.1 1.1 动荷载及其分类动荷载及其分类一一. .动荷载的定义动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化大小、方向和作用点随时间变化大小、方向和作用点随时间变化大小、方向和作用点随时间变化; ; ; ;在其作用下，结构上的惯性力在其作用下，结构上的惯性力在其作用下，结构上的惯性力在其作用下，结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。与外荷比不可忽视的荷载。与外荷比不可忽视的荷载。与外荷比不可忽视的荷载。 自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载
2、。静荷载。 静荷只与作用位置有关，而静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。动荷是坐标和时间的函数。二二. .动荷载的分类动荷载的分类动荷载动荷载动荷载动荷载确定确定确定确定不确定不确定不确定不确定风荷载风荷载风荷载风荷载地震荷载地震荷载地震荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载其他无法确定变化规律的荷载其他无法确定变化规律的荷载其他无法确定变化规律的荷载周期周期周期周期非周期非周期非周期非周期简谐荷载简谐荷载简谐荷载简谐荷载非简谐荷载非简谐荷载非简谐荷载非简谐荷载冲击荷载冲击荷载冲击荷载冲击荷载突加荷载突加荷载突加荷载突加荷载其他确定规律的动荷载其他确定规律的动荷载其他确定规律的动荷
3、载其他确定规律的动荷载1.2 1.2 1.2 1.2 结构动力学的研究内容和任务结构动力学的研究内容和任务 结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。输入输入输入输入（动力荷载）（动力荷载）（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出输出输出（动力反应）（动力反应）（动力反应）（动力反应）第一类问题：第一类问题：第一类问题：第一类问题：反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计
4、算）第二类问题：第二类问题：第二类问题：第二类问题：参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别输入输入输入输入（动力荷载）（动力荷载）（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出输出输出（动力反应）（动力反应）（动力反应）（动力反应）第三类问题：第三类问题：第三类问题：第三类问题：荷载识别荷载识别荷载识别荷载识别。输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）当前结构动力学的研究内容为当前结构动力学的研究内容为当前结构动力学的研究内容为当前结构动力学的研究内容为: : : :一一一一. . . .结构动
5、力学的研究内容结构动力学的研究内容结构动力学的研究内容结构动力学的研究内容输入输入输入输入（动力荷载）（动力荷载）（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出输出输出（动力反应）（动力反应）（动力反应）（动力反应）第一类问题：第一类问题：第一类问题：第一类问题：反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计算）反应分析（结构动力计算）第二类问题：第二类问题：第二类问题：第二类问题：参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别参数（或称系统）识别输入输入输入输入（动力荷载）（动力荷载）（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出输出输
6、出（动力反应）（动力反应）（动力反应）（动力反应）第三类问题：第三类问题：第三类问题：第三类问题：荷载识别荷载识别荷载识别荷载识别。输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）第四类问题：第四类问题：第四类问题：第四类问题：控制问题控制问题控制问题控制问题输入输入（动力荷载）（动力荷载）结构结构（系统）（系统）输出输出（动力反应）（动力反应）控制系统控制系统（装置、能量）（装置、能量）-正问题正问题正问题正问题-反问题反问题反问题反问题-反问题反问题反问题反问题-控制问题控制问题控制问题控制问题二二二二. . . . 结构动力学的任务结构动力学的任务
7、结构动力学的任务结构动力学的任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。下的反应规律，为结构的动力
8、可靠性（安全、舒适）设计提供依据。下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。 1.3 1.3 1.3 1.3 结构动力分析中的自由度结构动力分析中的自由度一一一一. . . . 自由度的定义自由度的定义自由度的定义自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。二二二二. . . . 自由度的简化自
9、由度的简化自由度的简化自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：角度也没必要。常用简化方法有：角度也没必要。常用简化方法有：角度也没必要。常用简化方法有：1) 1) 1) 1) 集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些
10、几何点上，除这些点之外物体是集中在某些几何点上，除这些点之外物体是集中在某些几何点上，除这些点之外物体是集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一无质量的。这样就将无限自由度系统变成一无质量的。这样就将无限自由度系统变成一无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。有限自由度系统。有限自由度系统。有限自由度系统。2) 2) 2) 2) 广义坐标法广义坐标法广义坐标法广义坐标法 -广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标-基函数基函数基函数基函数3) 3) 3) 3) 有限元法有限元法有限元法有限元法 和静力问题一样，可通过将实际结构和静力问题一样，可通过将实
11、际结构和静力问题一样，可通过将实际结构和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由离散化为有限个单元的集合，将无限自由离散化为有限个单元的集合，将无限自由离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。度问题化为有限自由度来解决。度问题化为有限自由度来解决。度问题化为有限自由度来解决。1) 1) 1) 1) 集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是集中在某些几何点上，除这些点之外物
12、体是集中在某些几何点上，除这些点之外物体是集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一无质量的。这样就将无限自由度系统变成一无质量的。这样就将无限自由度系统变成一无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。有限自由度系统。有限自由度系统。有限自由度系统。二二二二. . . . 自由度的确定自由度的确定自由度的确定自由度的确定 广义坐标个数即广义坐标个数即为自由度个数为自由度个数结点位移个数即结点位移个数即为自由度个数为自由度个数二二二二. . . . 自由度的确定自由度的确定自由度的确定自由度的确定 1) 1) 1) 1) 平面上的一个质点平面上的一个
13、质点平面上的一个质点平面上的一个质点W=2W=22) 2) 2) 2) W=2W=2弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度3) 3) 3) 3) 计轴变时计轴变时计轴变时计轴变时W=2W=2不计轴变时不计轴变时不计轴变时不计轴变时W=1W=1为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。计轴向变形。计轴向变形。计轴向变形。4) 4) 4) 4) W=1W=15) 5) 5) 5) W=2W=2自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个
14、数无关，但自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的不大于质点个数的不大于质点个数的不大于质点个数的2 2 2 2倍。倍。倍。倍。6) 6) 6) 6) W=2W=27) 7) 7) 7) W=1W=1二二二二. . . . 自由度的确定自由度的确定自由度的确定自由度的确定 8) 8) 8) 8) 平面上的一个刚体平面上的一个刚体平面上的一个刚体平面上的一个刚体W=3W=39)9)9)9)弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体W=3W=3W=2W=210) 10) 10) 10) 4) 4) 4) 4) W=1W=15) 5) 5) 5) W=2W=2
15、自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的不大于质点个数的不大于质点个数的不大于质点个数的2 2 2 2倍。倍。倍。倍。6) 6) 6) 6) W=2W=27) 7) 7) 7) W=1W=1W=1W=1二二二二. . . . 自由度的确定自由度的确定自由度的确定自由度的确定 8) 8) 8) 8) 平面上的一个刚体平面上的一个刚体平面上的一个刚体平面上的一个刚体W=3W=39)9)9)9)弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体W=3W=310) 10) 10) 10) W=
16、2W=211) 11) 11) 11) 12) 12) 12) 12) W=13W=13自由度为自由度为自由度为自由度为1 1 1 1的体系称作单自由度体系；的体系称作单自由度体系；的体系称作单自由度体系；的体系称作单自由度体系；自由度大于自由度大于自由度大于自由度大于1 1 1 1的体系称作多（有限）自由度体系的体系称作多（有限）自由度体系的体系称作多（有限）自由度体系的体系称作多（有限）自由度体系; ; ; ;自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。 1.4 1.4 1.4 1.4 体系
17、的运动方程体系的运动方程体系的运动方程体系的运动方程 要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的下面介绍建立在达朗泊尔原
18、理基础上的下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法动静法动静法动静法”。m m运动方程运动方程运动方程运动方程施施施施力力力力物物物物体体体体惯性力惯性力惯性力惯性力m m形式上的平衡方程，实质上的运动方程形式上的平衡方程，实质上的运动方程形式上的平衡方程，实质上的运动方程形式上的平衡方程，实质上的运动方程一、柔度法一、柔度法一、柔度法一、柔度法m mEIl=1l柔度系数柔度系数柔度系数柔度系数柔度法步骤：柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。一、柔度法一、柔度法m mEIl=1l柔度系数柔度系数
19、柔度系数柔度系数柔度法步骤：柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。二、刚度法二、刚度法m mEIl1y刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数刚度法步骤：刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。柔度法步骤：柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。三、列运动方程例题三、列运动方程例题刚度法步骤：刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。例例1.1.m mEIlEI
20、l=1l例例2.2.=1lm mEIlEIl/2l/2P(t)Pl/4柔度法步骤：柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。三、列运动方程例题三、列运动方程例题刚度法步骤：刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。例例3.3.m mEIlEIl1例例4.4.m mEIl/2EIl/2三、列运动方程例题三、列运动方程例题例例3.3.m mEIlEIl1例例4.4.m mEIl/2EIl/21层间侧移刚度层间侧移刚度m mEIlEIl1 对于带刚性横梁的刚架对于带刚性横梁的刚架(
21、(剪切型刚架剪切型刚架),),当两层之间发生相对单位水平位移时当两层之间发生相对单位水平位移时, ,两两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度层的层间侧移刚度. .EIllEIEIEI层间侧移刚度层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架对于带刚性横梁的刚架( (剪切型刚架剪切型刚架),),当两层之间发生相对单位水平位移时当两层之间发生相对单位水平位移时, ,两两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度层的层间侧移刚度. .EIllEIEIEIEIllEIEIEI三、列运动方程例题三、列运动方程例题列运动方程时可
22、不考虑重力影响列运动方程时可不考虑重力影响例例5.5.m mEIl/2l/2W-P(t)-P(t)引起的动位移引起的动位移-重力引起的位移重力引起的位移质点的总位移为质点的总位移为加速度为加速度为三、列运动方程例题三、列运动方程例题例例6.6.m m1EIl/3l/3l/3m m2= =简记为简记为位移位移向量向量柔度矩阵柔度矩阵荷载向量荷载向量质量质量矩阵矩阵加加速速度度向向量量例例7.7.m m1m m2= =刚度矩阵刚度矩阵例例7.7.m m1m m2= =+ +例例7.7.m m1m m2例例8 8 建立图示体系的运动方程建立图示体系的运动方程m m2mlllk kA Ay(t)2y(
23、t)3y(t)llEIm m例例9 9 建立图示体系的运动方程建立图示体系的运动方程AB例例10 10 图示体系为质量均匀分布的刚性平板图示体系为质量均匀分布的刚性平板, ,试建立运动方程试建立运动方程. . 总质量为总质量为M, ,转动惯量为转动惯量为J.设设 水平位移为水平位移为x 竖向位移为竖向位移为y 转角为转角为2b2a2.单自由度体系的振动分析单自由度体系的振动分析2.1 2.1 2.1 2.1 不计阻尼自由振动不计阻尼自由振动不计阻尼自由振动不计阻尼自由振动自由振动自由振动-由初位移、初速度引起的由初位移、初速度引起的, ,在振动中无动荷载作用的振动。在振动中无动荷载作用的振动。
24、 分析自由振动的目的分析自由振动的目的分析自由振动的目的分析自由振动的目的-确定体系的动力特性：频率、周期。确定体系的动力特性：频率、周期。确定体系的动力特性：频率、周期。确定体系的动力特性：频率、周期。一一. .运动方程及其解运动方程及其解 阻尼阻尼阻尼阻尼-耗散能量的作用。耗散能量的作用。耗散能量的作用。耗散能量的作用。m mEIl令令令令 二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程一一. .运动方程及其解运动方程及其解m mEIl令令令令 二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程其通解为其通解为
25、由初始条件由初始条件可得可得令令令令其中其中其中其中二二. .振动分析振动分析其通解为其通解为由初始条件由初始条件可得可得令令令令其中其中其中其中单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. .自振周期自振周期自振园频率自振园频率( (自振频率自振频率) )与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性A 振幅振幅初相位角初相位角二二. .振动分析振动分析单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动. .自振周期自振周期自振园频率自振园频率( (自振频率自振频率) )与外界无关与外界无关, ,体系
26、本身固有的特性体系本身固有的特性A 振幅振幅初相位角初相位角三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算1.1.计算方法计算方法(1)(1)利用计算公式利用计算公式(2)(2)利用机械能守恒利用机械能守恒三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算1.1.计算方法计算方法(1)(1)利用计算公式利用计算公式(2)(2)利用机械能守恒利用机械能守恒(3)(3)利用振动规律利用振动规律位移与惯性力同频同步位移与惯性力同频同步. .1m mEIl幅值方程幅值方程三三. .自振频率和周期的计算自振频率和周期的计算2.2.算例算例例一例一. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和
27、周期. .m mEIlEIl=1=1ll/2l解解: :例二例二. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. .=1解解: :m mEIllm/2EIEIll例三例三. .质点重质点重W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期. .解解: :EIkl1k例四例四. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. .解解: :m mlmmlllkk1.1.能量法能量法2.2.列幅值方程列幅值方程A2.2 2.2 2.2 2.2 简谐荷载作用下的受迫振动简谐荷载作用下的受迫振动简谐荷载作用下的受迫振动简谐荷载作用下的受迫振动( ( ( (不计阻尼不计阻尼不计阻尼不计阻尼)
28、) ) )一一. .运动方程及其解运动方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程二阶线性非齐次常微分方程受迫振动受迫振动-动荷载引起的振动动荷载引起的振动. .m mEIlP(t)P(t)P -P -荷载幅值荷载幅值-荷载频率荷载频率运动方程运动方程或或通解通解其中其中设设代入方程代入方程代入方程代入方程, , , ,可得可得可得可得通解为通解为二二. .纯受迫振动分析纯受迫振动分析m mEIlP(t)P(t)设设代入方程代入方程代入方程代入方程, , , ,可得可得可得可得通解为通解为-荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
29、荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移-动力系数动力系数动力系数动力系数-稳态振幅稳态振幅稳态振幅稳态振幅1 1 1 11 1 1 1-频比频比频比频比二二. .纯受迫振动分析纯受迫振动分析m mEIlP(t)P(t)-荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移-动力系数动力系数动力系数动力系数-稳态振幅稳态振幅稳态振幅稳态振幅1 1 1 11 1 1 1-荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
30、-动力系数动力系数动力系数动力系数-频比频比频比频比-稳态振幅稳态振幅稳态振幅稳态振幅-共振共振共振共振增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数为避开共振为避开共振为避开共振为避开共振 一般应大于一般应大于一般应大于一般应大于1.251.251.251.25或小于或小于或小于或小于0.75.0.75.0.75.0.75.1.251.251.251.250.750.750.750.75共振区若要使振幅降低若要使振幅降低若要使振幅降低若要使振幅降低, , , ,应采取何种措施应采取何种措施应采取何种措施应采取何种措施? ? ? ?通过改变频比可增加或减小振幅通过改变频比可增加或减小振幅通过
31、改变频比可增加或减小振幅通过改变频比可增加或减小振幅. . . .增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数-共振共振共振共振为避开共振为避开共振为避开共振为避开共振 一般应大于一般应大于一般应大于一般应大于1.251.251.251.25或小于或小于或小于或小于0.75.0.75.0.75.0.75.应使频比减小应使频比减小应使频比减小应使频比减小. . . .增加结构自频增加结构自频增加结构自频增加结构自频. . . .增加刚度、减小质量增加刚度、减小质量增加刚度、减小质量增加刚度、减小质量. . . .应使频比增大应使频比增大应使频比增大应使频比增大. . . .减小结构自频减小结
32、构自频减小结构自频减小结构自频. . . .减小刚度、增大质量减小刚度、增大质量减小刚度、增大质量减小刚度、增大质量. . . .例例1 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知三三. .动位移、动内力幅值计算动位移、动内力幅值计算计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤: : : : 1.1.1.1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力；位移、内力；位移、内力；位移、内力； 2.2.2.2.计算动力系数；计算动力系数；计算动力系数；计算动力系数； 3.3.3.3.将得到的位
33、移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。 m mEIEIl lPl/4解解. . Pl/3动弯矩幅值图动弯矩幅值图例例2 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知: :解解. . Ql l/2l l/2重力引起的弯矩重力引起的弯矩重力引起的位移重力引起的位移l l/4振幅振幅动弯矩幅值动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最大弯矩跨中最大位移跨中最大位移 动荷载不作用于质点时的计算动
34、荷载不作用于质点时的计算 m m=1=1令令P仍是位移动力系数仍是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力系数吗? ?运动方程运动方程稳态解稳态解振幅振幅 列幅值方程求内力幅值列幅值方程求内力幅值 解解: :例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知同频同步变化同频同步变化m mEIl/2l/2P PP P=1P动弯矩幅值图动弯矩幅值图解解: :例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知m mEIl/2l/2P PP P=1解解: :例例: :求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅P动弯矩幅值图动弯矩幅值图m
35、mlm mkllAPo一一一一. . . .阻尼与阻尼力阻尼与阻尼力阻尼与阻尼力阻尼与阻尼力 阻尼阻尼阻尼阻尼: : : :使振动衰减的作用使振动衰减的作用使振动衰减的作用使振动衰减的作用. . . . 阻尼产生原因阻尼产生原因阻尼产生原因阻尼产生原因: : : : 材料的内摩擦材料的内摩擦材料的内摩擦材料的内摩擦, , , ,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. . . .c-阻尼系数 2.3 2.3 2.3 2.3 阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响阻尼对振动的影响阻尼对振动
36、的影响阻尼力：阻尼力：阻尼力：阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。二二二二. . . .计阻尼自由振动计阻尼自由振动计阻尼自由振动计阻尼自由振动 1.1.1.1.运动方程及其解运动方程及其解运动方程及其解运动方程
37、及其解m m令令令令运动方程运动方程运动方程运动方程设设设设特征方程特征方程特征方程特征方程根为根为根为根为令令令令方程的通解为方程的通解为方程的通解为方程的通解为由初始条件由初始条件由初始条件由初始条件二二二二. . . .计阻尼自由振动计阻尼自由振动计阻尼自由振动计阻尼自由振动 1.1.1.1.运动方程及其解运动方程及其解运动方程及其解运动方程及其解m m令令令令运动方程运动方程运动方程运动方程设设设设特征方程特征方程特征方程特征方程不振动不振动不振动不振动-临界阻尼系数临界阻尼系数临界阻尼系数临界阻尼系数-阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比不振动不振动不振动不振动小阻尼情况临界阻尼情况超阻尼情况2
38、.2.2.2.振动分析振动分析振动分析振动分析根为根为根为根为令令令令方程的通解为方程的通解为方程的通解为方程的通解为由初始条件由初始条件由初始条件由初始条件不振动不振动不振动不振动-临界阻尼系数临界阻尼系数临界阻尼系数临界阻尼系数-阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比不振动不振动不振动不振动小阻尼情况临界阻尼情况超阻尼情况周期延长周期延长周期延长周期延长计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼2.2.2.2.振动分析振动分析振动分析振动分析周期延长周期延长周期延长周期延长计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼计算频率和周期可不计阻尼计算频
39、率和周期可不计阻尼振动是衰减的振动是衰减的振动是衰减的振动是衰减的对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率 利用此式利用此式利用此式利用此式, , , ,通过实验可确定通过实验可确定通过实验可确定通过实验可确定体系的阻尼比体系的阻尼比体系的阻尼比体系的阻尼比. . . .上式也可写成上式也可写成上式也可写成上式也可写成例例例例: : : : 对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验. . . .用钢用钢用钢用钢 丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置2 2 2 2cmcm, , , ,用用
40、用用 力力力力16.416.416.416.4kNkN, , , ,将绳突然切断将绳突然切断将绳突然切断将绳突然切断, , , ,开始作开始作开始作开始作 自由振动自由振动自由振动自由振动. . . .经经经经4 4 4 4周期周期周期周期, , , ,用时用时用时用时2 2 2 2秒秒秒秒, , , ,振幅振幅振幅振幅降为降为降为降为1 1 1 1cmcm. . . .求求求求 1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数
41、阻尼系数振动是衰减的振动是衰减的振动是衰减的振动是衰减的对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率 利用此式利用此式利用此式利用此式, , , ,通过实验可确定通过实验可确定通过实验可确定通过实验可确定体系的阻尼比体系的阻尼比体系的阻尼比体系的阻尼比. . . .上式也可写成上式也可写成上式也可写成上式也可写成6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg800kg800kg800kg体系体系体系体系的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少2cm2cm解解解解: : : :1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数
42、刚度系数刚度系数刚度系数例例例例: : : : 对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验. . . .用钢用钢用钢用钢 丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置2 2 2 2cmcm, , , ,用用用用 力力力力16.416.416.416.4kNkN, , , ,降绳突然切断降绳突然切断降绳突然切断降绳突然切断, , , ,开始作开始作开始作开始作 自由振动自由振动自由振动自由振动. . . .经经经经4 4 4 4周期周期周期周期, , , ,用时用时用时用时2 2 2 2秒秒秒秒,
43、, , ,振幅振幅振幅振幅降为降为降为降为1 1 1 1cmcm. . . .求求求求 1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg800kg800kg800kg体系体系体系体系的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少2cm2cm解解解解: : : :1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系
44、数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg,800kg,800kg,800kg,体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比 为多少为多少为多少为多少三三. .计阻尼简谐荷载受迫振动计阻尼简谐荷载受迫振动1.1.运动方程及其解运动方程及其解设设或或通解通解初位移、初速度引初位移、初速度引起的自由振动分量起的自由振动分量动荷载激起的按结构自振动荷载激起的按结构自振频率振动的分量频率振动
45、的分量,称为称为伴伴随自由振动随自由振动纯受迫振动纯受迫振动2.2.阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响在平稳阶段在平稳阶段随随 增大而减小增大而减小阻尼在共振区内影响显著阻尼在共振区内影响显著, ,在共振区外可不计阻尼在共振区外可不计阻尼. .的最大值并不发生在的最大值并不发生在位移滞后于荷载位移滞后于荷载3.3.动内力、动位移计算动内力、动位移计算除动力系数计算式不同外，除动力系数计算式不同外，其它过程与无阻尼类似。其它过程与无阻尼类似。1 1 1 11 1 1 1例例. .图示为块式基础图示为块式基础. .机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ; ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ; ;竖向
46、振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min, ,其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为P=30kN. .求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。解：解：m m将荷载看成是连续作用的一系将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。荷载引起的位移。2.4 2.4 2.4 2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析一般动荷载作用时的受迫振动分析一般动荷载作用时的受迫振动分析一般动荷载作用时的受迫振动分析一一. .瞬时冲量的反应瞬时冲量的反应1.1.t=0
47、时作用瞬时冲量时作用瞬时冲量m m2.2. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量2.4 2.4 2.4 2.4 一般动荷载作用时的受迫振动分析一般动荷载作用时的受迫振动分析一般动荷载作用时的受迫振动分析一般动荷载作用时的受迫振动分析2.2. 时刻作用瞬时冲量时刻作用瞬时冲量二二. .动荷载的位移反应动荷载的位移反应m m-杜哈美积分杜哈美积分计阻尼时计阻尼时若若t=0 时体系有初位移、初速度时体系有初位移、初速度例例. .求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m m解：解：动力系数为动力系数为 2 23.多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动
48、分析3.1 3.1 自由振动分析自由振动分析自由振动分析的目的是确定体系的动力特性自由振动分析的目的是确定体系的动力特性. .可不计阻尼。可不计阻尼。一一. .运动方程及其解运动方程及其解或或m m1m m2运动方程运动方程设方程的特解为设方程的特解为代入方程代入方程, ,得得-频率方程频率方程m m1m m2解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根或或运动方程运动方程设方程的特解为设方程的特解为代入方程代入方程, ,得得-频率方程频率方程-振型方程振型方程值小者记作值小者记作称作第一频率称作第一频率也称作基本频率也称作基本频率; ; 值大者记作值大者记作称为第二频率或高阶频率称为第二频率或
49、高阶频率. .将将 频率代入振型方程频率代入振型方程特解特解1 1特解特解2 2m m1m m2解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根值小者记作值小者记作称作第一频率称作第一频率也称作基本频率也称作基本频率; ; 值大者记作值大者记作称为第二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率. .将将 频率代入振型方程频率代入振型方程特解特解1 1特解特解2 2通解通解二二. .频率与振型频率与振型体系按特解振动时有如下特点体系按特解振动时有如下特点1)1)各质点同频同步各质点同频同步; ;2)2)任意时刻任意时刻, ,各质点位移的比各质点位移的比 值保持不变值保持不变定义定义: :体系上所有质量按相同
50、频率作自由振动时体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。的振动形状称作体系的主振型。几点说明：几点说明：1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。2.2.发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的. .3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, , 与外界因素无关与外界因素无关. .几点说明：几点说明：1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移
51、 比值相同。比值相同。2.2.发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的. .3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, , 与外界因素无关与外界因素无关. .4 4。N N自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得 的的N N, ,从小从小到大排列到大排列依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高阶频率阶频率. .将频率代入振型方程将频率代入振型方程得得N N个振型个振型N N个振型是线性无关的个振型是线性无关
52、的. .5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. .4 4。N N自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得 的的N N, ,从小从小到大排列到大排列依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高阶频率阶频率. .将频率代入振型方程将频率代入振型方程得得N N个振型个振型N N个振型是线性无关的个振型是线性无关的. .振型方程振型方程频率方程频率方程按振型振动时按振型振动时5 5。若已知柔度矩阵时。若
53、已知柔度矩阵时6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. .振型方程振型方程频率方程频率方程按振型振动时按振型振动时m m1m m2振型可看作是体系按振型振动时，振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移三三. .求频率、振型例题求频率、振型例题例一例一. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解令令1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型对称体系的振型分对称体系的振型分成两组成两组: :一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反
54、对称振型1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型对称系的振型分对称系的振型分成两组成两组: :一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反对称振型按对称振型振动按对称振型振动=1=1l/3按反对称振型振动按反对称振型振动1 11 1第二振型第二振型对称系的振型分对称系的振型分成两组成两组: :一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反对称振型按对称振型振动按对称振型振动=1=1l/3按反对称振型振动按反对称振型振动对称系的振型分对称系的振型分成两组成两组: :一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反对称振型按对称振型振动按对称振型振动=1=1l/3
55、按反对称振型振动按反对称振型振动=1=1l/9解解: :例二例二. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型. . 已知已知: :m m1m m21 11.6181.6181 10.6180.618练练l/2l/2CQMNMPMiM1MP例例3.3.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解: :令令例例3.3.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解: :令令例例3.3.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解: :令令3.2 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析简谐荷载作用下的受迫振动分析运动方程运动方程设特解为设特解为解方程解方程, ,得得其中其中3.2 3.
56、2 简谐荷载作用下的受迫振动分析简谐荷载作用下的受迫振动分析运动方程运动方程设特解为设特解为解方程解方程, ,得得其中其中1.1.在平稳阶段在平稳阶段, ,作简谐振动作简谐振动, ,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时3.3.当当 时时3.2 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析简谐荷载作用下的受迫振动分析解方程解方程, ,得得其中其中1.1.在平稳阶段在平稳阶段, ,作简谐振动作简谐振动, ,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时3.3.当当 时时4.4.当当 或或 时时n自由度体系有自由度体系有n个共振区。个共振区。3.2 3.2 简谐荷载作用下的受迫
57、振动分析简谐荷载作用下的受迫振动分析1.1.在平稳阶段在平稳阶段, ,作简谐振动作简谐振动, ,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时3.3.当当 时时4.4.当当 或或 时时n自由度体系有自由度体系有n个共振区。个共振区。5.5.求稳态振幅可列幅值方程求稳态振幅可列幅值方程-惯性力幅值惯性力幅值3.2 3.2 简谐荷载作用下的受迫振动分析简谐荷载作用下的受迫振动分析1.1.在平稳阶段在平稳阶段, ,作简谐振动作简谐振动, ,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时3.3.当当 时时4.4.当当 或或 时时n自由度体系有自由度体系有n个共振区。个共振区。5.5
58、.求稳态振幅可列幅值方程求稳态振幅可列幅值方程-惯性力幅值惯性力幅值6.6.内力幅值的计算内力幅值的计算例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。已知：已知：解：解：不存在统一的动力系数不存在统一的动力系数利用对称性可简化计算利用对称性可简化计算对称荷载对称荷载反对称荷载反对称荷载作业解答：作业解答：165165页页 7-17-1（a a）165165页页 7-17-1（b b）2i2i4i4i4i4il/8/8l/8/89l/64l/32l/165l/32l/2165165页页 7-17-1（c c）165165页页 7-17-1（e e）3.3 3.3
59、 振型分解法振型分解法一一. .振型正交性振型正交性i i振型振型i i振型上的振型上的惯性力惯性力j j振型振型i i振型上的惯性力振型上的惯性力在在j j振型上作的虚功振型上作的虚功j j振型上的惯性力振型上的惯性力在在i i振型上作的虚功振型上作的虚功由虚功互等定理由虚功互等定理i i振型上的惯性力振型上的惯性力在在j j振型上作的虚功振型上作的虚功j j振型上的惯性力振型上的惯性力在在i i振型上作的虚功振型上作的虚功由虚功互等定理由虚功互等定理振型对质量的正交性的物理意义振型对质量的正交性的物理意义i i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j j振型上作振型上作的虚功等于的虚功等于0 0
60、振型对刚度的正交性振型对刚度的正交性: :振型对质量的正交性的物理意义振型对质量的正交性的物理意义i i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j j振型上作振型上作的虚功等于的虚功等于0 0振型对刚度的正交性振型对刚度的正交性: :振型对刚度的正交性的物理意义振型对刚度的正交性的物理意义i i振型上的弹性力在振型上的弹性力在j j振型上作振型上作的虚功等于的虚功等于0 0振型正交性的应用振型正交性的应用1.1.检验求解出的振型的正确性。检验求解出的振型的正确性。例例: :试验证振型的正确性试验证振型的正确性2.2.对耦联运动微分方程组作解对耦联运动微分方程组作解 耦运算等等耦运算等等. .例例: :
61、已知图示体系的第一振型已知图示体系的第一振型, , 试求第二振型试求第二振型. .解解: :例例: :已知图示体系在动荷载作用下的振幅为已知图示体系在动荷载作用下的振幅为解解: :试从其中去掉第一振型分量试从其中去掉第一振型分量. .二二. .振型分解法振型分解法( (不计阻尼不计阻尼) )运动方程运动方程设设-j-j振型广义质量振型广义质量-j-j振型广义刚度振型广义刚度-j-j振型广义荷载振型广义荷载折算体系折算体系二二. .振型分解法振型分解法( (不计阻尼不计阻尼) )运动方程运动方程设设-j-j振型广义质量振型广义质量-j-j振型广义刚度振型广义刚度-j-j振型广义荷载振型广义荷载折
62、算体系折算体系计算步骤计算步骤: :1.1.求振型、频率求振型、频率; ;2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ;3.3.求组合系数求组合系数; ;4.4.按下式求位移按下式求位移; ;例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. .解解: :计算步骤计算步骤: :1.1.求振型、频率求振型、频率; ;2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ;3.3.求组合系数求组合系数; ;4.4.按下式求组合系数按下式求组合系数; ;EIEI例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. .解解: :EIEI例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态
63、振幅. .解解: :EIEI例一例一. .求图示体系的稳态振幅求图示体系的稳态振幅. .解解: :EIEI从结果看从结果看, ,低阶振型贡献大低阶振型贡献大一般不需要用全部振型叠加一般不需要用全部振型叠加, ,用前几个低阶振型叠加即可。用前几个低阶振型叠加即可。例二例二. .求图示体系在突加荷载作用下的位移反应求图示体系在突加荷载作用下的位移反应. .解解: :m m1m m2已知已知: :加荷前静止。加荷前静止。三三. .振型分解法振型分解法( (计阻尼计阻尼) )阻尼力阻尼力-阻尼矩阵阻尼矩阵-当质点当质点j j有单位速度有单位速度 , ,其余质点速度为其余质点速度为0 0时时, ,质点质
64、点i i上的阻尼力上的阻尼力. .若下式成立若下式成立则将则将 称作正交阻尼矩阵称作正交阻尼矩阵, , 称作振型称作振型j j的广义阻尼系数的广义阻尼系数. .运动方程运动方程设设三三. .振型分解法振型分解法( (计阻尼计阻尼) )运动方程运动方程设设令令-第第j j振型阻尼比振型阻尼比( (由试验确定由试验确定).).计算步骤计算步骤: :1.1.求振型、频率求振型、频率; ;2.2.求广义质量、广义荷载求广义质量、广义荷载; ;4.4.求组合系数求组合系数; ;5.5.按下式求位移按下式求位移; ;3.3.确定振型阻尼比确定振型阻尼比; ;正交阻尼矩阵的构成正交阻尼矩阵的构成-比例阻尼比
65、例阻尼( (RayleighRayleigh阻尼阻尼) )已知两个阻尼比已知两个阻尼比例例. .求图示体系的正交阻尼矩阵求图示体系的正交阻尼矩阵 和阻尼比和阻尼比 . .mmm321已知已知: :解解: :4. 频率、振型的实用计算方法频率、振型的实用计算方法4.1 4.1 能量法（瑞利法）能量法（瑞利法）能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法。能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法。设体系按设体系按i i振型作自由振动。振型作自由振动。t时刻的位移为时刻的位移为速度为速度为动能为动能为势能为势能为动能为动能为势能为势能为最大动能为最大动能为最大势能为最大势能为由能量守恒，有由能量守恒
66、，有最大动能为最大动能为最大势能为最大势能为由能量守恒，有由能量守恒，有 选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向选满足位移边界条件的，形状与振型相近的向量代入上式求频率的近似值。量代入上式求频率的近似值。 通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值。基本频率的近似值。例例. .用能量法计算图示体系的基频用能量法计算图示体系的基频. .mmm321解解: :1.1.取自重引起的位移取自重引起的位移mgmgmg精确解精确解: :2.2.取直线取直线mmm321mgmgmg3.3.取常数取常数精确解精确解: :4.2 4.2 迭代法迭代法 对于
67、给定的方阵对于给定的方阵 , ,满足上式的向量满足上式的向量 和数值和数值 称作称作 的特征的特征向量和特征值向量和特征值. .合称为特征对合称为特征对. . 有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。有限自由度体系求频率、振型，属于矩阵特征值问题。-标准特征值问题标准特征值问题-广义特征值问题广义特征值问题柔度法建立的振型方程柔度法建立的振型方程令令-动力矩阵动力矩阵-标准特征值问题标准特征值问题刚度法建立的振型方程刚度法建立的振型方程-广义特征值问题广义特征值问题一一. . 迭代法求基频和基本振型迭代法求基频和基本振型1.1.作法作法假设振型假设振型 , ,计算计算 , ,若若 是真
68、的振型是真的振型, ,则下式成立则下式成立即即 与与 成比例成比例. .柔度法建立的振型方程柔度法建立的振型方程令令-动力矩阵动力矩阵-标准特征值问题标准特征值问题若不成比例若不成比例, , 不是振型不是振型. .迭代式为迭代式为这时将这时将 归一化归一化, ,得得 ; ;在将在将 其作为新的假设振型继续计算其作为新的假设振型继续计算. .一直算到一直算到 与与 成比例为止成比例为止. .为基本振型为基本振型. . 这时下式成立这时下式成立基本频率由下式计算基本频率由下式计算2.2.算例算例: : 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型用迭代法计算图示体系的基频和基本振型. .设设mmm321解
69、解: :归一化归一化归一化归一化归一化归一化2.2.算例算例: : 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型用迭代法计算图示体系的基频和基本振型. .设设mmm321解解: :归一化归一化归一化归一化归一化归一化2.2.算例算例: : 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型用迭代法计算图示体系的基频和基本振型. .设设mmm321解解: :归一化归一化基本振型为基本振型为基本频率为基本频率为精确值为精确值为3.3.收敛的原因收敛的原因每迭代一次会使基本振型分量比重增加每迭代一次会使基本振型分量比重增加, ,而使其它振型分量所占比重减少而使其它振型分量所占比重减少, ,随着迭代次数逐渐增多随着迭代次数逐渐增多, ,除基本振型外的其它振型分量越来越少直至可略除基本振型外的其它振型分量越来越少直至可略去不计去不计, ,这时得到的即为基本振型这时得到的即为基本振型. .一一. . 迭代法求第二频率及振型迭代法求第二频率及振型-滤型矩阵滤型矩阵计算步骤计算步骤: :-滤型矩阵滤型矩阵1.1.求求2.2.求求3.3.迭代求解迭代求解迭代法的优点迭代法的优点: :求其它高阶振型及频率与此类似求其它高阶振型及频率与此类似, ,不再赘述不再赘述. .迭代法的缺点迭代法的缺点: :
